连续信号的正交分解

单击以编辑母版标题样式,单击以编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,3.5 傅里叶变换与非周期信号的频谱分析,以上两节讨论了周期信号的傅里叶级数，并得到周期信号的频谱具有离散性、谐波性、收敛性三个特点，本节把上述傅立叶分析方法推广到非周期信号中，导出非周期信号的傅立叶变换FT。,一、频谱密度函数,以周期矩形信号为例，当周期 （周期信号为非周期信号），,（离散频谱变成连续频谱），即谱线长度趋于零（无穷小）。,此时，原分析方法失效，但谱线长度（振幅）虽同为无穷小，但它们的大小并不相同，相对值仍有差别。,第三章 连续信号的正交分解,为了表明无穷小的振幅间的相对差别，有必要引入,一个新的量称为“频谱密度函数”。,设周期信号,“频谱密度函数”,Fourier transform for the nonperiodic Signals,3.5 傅里叶变换与非周期信号的频谱分析,从上式可以看出：,非周期信号和周期信号一样，也可以分解成许多不同频率的正、余弦分量。,不同的是，由于非周期信号的 于是它包含了从零到无限高的所有频率分量。,同时，三角函数振幅 ，故用频谱不能直接画出，必须用它的密度函数作出。,最后必须指出，从理论上讲，,FT,也应满足类似狄氏条件。,讨论：,讨论：,常数频谱1不满足绝对可积条件，反变换求解过程见书P120,物理意义：在时域中变化,异常剧烈的冲激函数包含,幅度相等的所有频率分量。,因此，这种频谱常称为“均,匀谱“或”白色谱“。,3.6 常用信号的傅里叶变换,2、矩形单脉冲信号（门函数）,3.单边指数函数,4.符号函数,故,求傅里叶变换的思路,四个基本信号,的傅里叶变换,其他常用信号,的傅里叶变换,所有信号的,傅里叶变换,利用傅里叶,变换的性质,利用已知,信号推广,求信号的傅里叶变换是一个难点,也是进入变换域分析的第一个积分变换!,3.7 周期信号的傅里叶变换,一、周期信号的FT,例 求周期单位冲激序列函数,T,(,t)的傅里叶变换,周期为,=2/T,表示在无穷小的频带,范围内（即谐频点）,取得了无限大的频谱,密度值。,例：,傅里叶变换,傅里叶变换,傅里叶级数,0 t 0,-2T T 0 T 2T t,0 t,例：,3.8 傅里叶变换的基本性质,线性特性：,时移特性：,频移特性：,表明信号延时了,t,0,秒并不会改变其频谱的幅度，但是使其相位变化了-,t,0,表明信号,f,(t)乘以 ，等效于其频谱 F(j,)沿频率右移,0,因为：,频谱搬移技术在通信系统中,得到广泛应用，如调幅、同步解调、变频等,过程都是在频谱搬移的基础上完成的。,尺度变换特性：,对称特性：,a,为非零的实常数。,可见，信号在时域中压缩(,a,1),等效于在频域中扩展；反之，信号在时域中扩展,(,a,1),则等效于在频域中压缩。信号在时域中反折,(,a=,-,1),则等效于在频域中也反折。,根据时移和尺变换特性有：,若,f,(t)是偶函数，,f,(t),R,(),，则,R,(t),2,f,(),，,则：,同学们可自行证明,奇偶特性：,若,f,(t)实函数,f,(t)偶函数：,可见，,R,(,)=,R,(-),为偶函数；,X,(,)=-,X,(-)为奇函数,；,若,f,(t)是实偶函数，,F,(j,)=,R,(),必为实偶函数。,若,f,(t)是实奇函数，,F,(j,)=j,X,(),必为虚奇函数。,|,F,(j,)|,是偶函数；()是奇函数。即有,F,(-j,)=,F,*,(j,),f,(t)奇函数：,1.常数 1,3.,cos,0,t,sin,0,t,已知：,(,t)1,利用对称特性：1 2(),2.,已知：,12(),利用频移特性：2(-,0,),已知：,根据线性特性：,已知：,根据线性特性：,例：,6.,cos,0,t(t),5,已知：,已知：,利用频移特性：,根据线性特性：,4.单位阶跃函数,(,t),已知：,7.脉冲调制信号 G,(t)cos,0,t,利用频移特性：,已知：,一般有:,9.双边指数函数,已知：,利用尺度变换特性：,8.,已知：,求下列信号的傅里叶变换。,解：,练习:,求下列信号的傅里叶变换。,解：,时域微分和积分特性,时域微分：,时域积分：,一般公式：,公式：,一般的求法：，先求 的频谱,由以上三式，可推出一般公式：,当,时，,一般公式：,其中：,时域微分和积分特性,结论：,每次对,f,(,t),求导后的图形的面积为，设f(t)求导后为y(t)，即,则,从上面公式可知，一个有始有终的信号,即,f,(,)=,f,(-,)=0,则 F(j,),中无()项。,一个无限信号是否含,(),，看是否有,f,(,)+,f,(-,)=0,例,求下列信号的傅里叶变换：,例：三角脉冲 Q,T,(t),根据时域微分特性：,频域微分和积分特性,公式：,例：,t,已知：，根据频域微分特性,例：,t,(t),已知：，根据频域微分特性,例：|,t,|,根据尺度变换特性：,也可以用时域微分特性,已知:,根据时域微分特性：,卷积定理,时域卷积定理：,三角脉冲的频谱，可用时域卷积特性来计算：,三角脉冲可以看成两个,相同门函数的卷积积分,门函数的傅里叶变换为：,根据时域卷积特性：,时域卷积定理,：,例：余弦脉冲,频域卷积定理：,根据频域卷积定理：,已知:,卷积定理,例：,根据频域卷积定理：,已知：，根据对称性：,将,换成2,c,，得：,又已知：,已知,f,(t),F,(j),，,求下列信号的傅里叶变换。,解：,已知,f,(t),F,(j),，,求下列信号的傅里叶变换。,解：方法1,方法2,信号为一电流,功率信号与功率谱：,功率信号：信号在时间区间(-,+,)内的能量为，但在一个周期(-T/2,+T/2)内的平均功率为有限值，这样的信号称为功率信号。周期信号即为功率信号。,功率信号的平均功率为：,时域求得的信号功率,频域求得的信号功率,i,的有效值 I 为：,非正弦周期电流的有效值各项谐波分量有效值的平方和的平方根。,3.9 帕塞瓦尔定理与能量频谱,信号作用于1殴电阻时，其功率为：,时域求得的信号功率,频域求得的信号功率,帕塞瓦尔定理,在周期信号的表示形式,对于周期信号，在时域中求得的信号功率,频域中的信号各谐波分量功率之和。,这就是,Parseval,定理在周期信号时的表示形式,功率谱：,将各次谐波的平均功率随,=,n,(,n,=0,1,2,),的分布关系画成图形，即得周期信号的双边功率频谱，简称功率谱。,单边功率谱:,可将各次谐波的平均功率 随,=,n,(,n,=0,1,2,),的分布关系画成图形，从而构成单边功率谱。,功率谱为离散谱。,能量信号：,信号在时间区间(-,+,)内的能量为有限值，而在时间区间(-,+,)内的平均功率,P=0,，这样的信号称为能量信号。非周期信号当它在有限时间范围内有一定的数值；而当,t,时数值为0时。即为能量信号。,能量信号的能量的计算公式：,信号的总能量：，可以推导出,：,时域求得的信号能量,频域求得的信号能量,帕塞瓦尔定理,在非周期信号的表示形式,非周期信号在时域中求得的信号能量等于,在频域中求得的信号能量。,这就是,Parseval,定理在非周期信号时的表示形式,定义：,为了表明信号能量在频率分量中的分布，定义能量频谱为G(,),能量谱为连续谱,它描述了单位频带内信号的能量随,分布的规律。可见能量谱为连续谱,信号的能量为:,即:,简称能量谱,能量谱：,求如图所示信号的功率谱和信号占有频带内的平均功率占整个信号平均功率的百分比。已知：,=0.05s,T=5=0.25s,。,故在信号的占有频带内共有个谐波分量。,整个信号的平均功率为,解:基波频率,=2/T=8,频带:,因,故,故,信号在占有频带内的平均功率为：,故百分比为 ,举例：,求信号 的能量。,解：已知：,根据频域卷积定理：,信号的能量为：,根据对称特性：,令,=10,求下列频谱函数,F,(j,),的傅里叶反变换,f,(t)。,解：,练习：,求下列频谱函数,F,(j,),的傅里叶反变换,f,(t)。,解：,练习：,求下列频谱函数,F,(j,),的傅里叶反变换,f,(t)。,解：,练习：,