数列的概念与简单表示(第1-2课时)

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,第二章 数 列,第一课时,2.1 数列的概念与简单表示,问题提出,1.到目前为止，第29届北京奥运会,中国，美国，英国，澳大利亚，韩国，所获得的金牌数分别是多少？中国队所获得的金牌、银牌、铜牌数分别是多少？,2.如果在某次数学考试中，甲、乙、丙、丁的成绩依次是90，85，95，78.在另一次数学考试中，甲、乙、丙、丁的成绩依次是85，95，90，78.那么这两次考试的结果一样吗？,3.在大自然中，不同类型的花卉，其花瓣数量也不全相同，如百合花3瓣，梅花5瓣，飞燕草8瓣，万寿菊13瓣等，你能看出这几个数字呈现了什么数学规律吗？,4.生活离不开数字，在特定背景下研究数字的排列或变化规律，也就成为一个数学问题，我们将对此作些了解和学习.,数列的有关概念,知识探究（一）：,数列的基本概念,思考1：,从1984年洛杉矶奥运会到2008年北京奥运会，中国体育代表团每届获得的金牌数，按先后次序排成怎样的一列数？,思考2：,在某次庆典活动中，举办方为了加大保洁力度，在1km长的路段上从起点开始，每隔10kn放置一个垃圾桶.那么由近到远各垃圾桶与起点的距离排成怎样的一列数？,思考3：,某种放射性物质不断变化为其他物质，每经过一年剩留的质量约是原来的84%，设这种物质最初的质量为1，那么该物质各年开始时的剩留量依次排成怎样的一列数？,思考4：,传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家经常在沙滩上研究数学问题，他们在沙滩上画点或用小石子来表示数字.下图中各三角形分别表示哪些数？这些数有什么排列规律吗？,思考5：,下图中各正方形分别表示哪些数？这些数与相应正方形的序号有什么关系？,思考6：,在上述问题中，若抛开具体背景抽象数字特征，所得到的每一列数都称为,数列,，那么数列应如何定义？,按照一定顺序排列着的一列数称为数列,思考7：,将相同的一组数按不同顺序排列时，所得到的数列是否为同一个数列？,思考8：,由数字1，2，3，4一共可以组成多少个不同的数列？,知识探究（二）：,数列的相关概念,思考1：,数列中的每一个数叫做这个数列的,项,.数列中的每一项都和它的序号有关，排在第一位的数称为这个数列的第1项（通常也叫做,首项,），排在第二位的数称为这个数列的第2项，排在第n位的数称为这个数列的第n项.如果用a,k,表示数列的第k项，那么数列一般形式可以怎样表示？,简记为a,n,思考3：,对于不同的数列，其项数有多有少，根据项数多少的不同，数列可分为哪几种类型？分别叫什么名称？,项数有限的数列叫做有穷数列，,项数无限的数列叫做无穷数列.,思考4：,数列中各项的大小是可以变化的，在一个数列中，各项的数可以重复吗？,思考5：,根据数列中各项大小的变化规律，数列又可分为哪几种类型？分别叫什么名称？,递增数列：,从第2项起，每一项都大于它的前一项的数列；,递减数列：,从第2项起，每一项都小于它的前一项的数列；,摆动数列：,从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列；,常数列：,各项都相等的数列.,思考6：,如何用数学式子表示递增数列、递减数列和常数列？,递增数列：,递减数列：,常数列：,思考7：,由数组成的集合称为数集，那么数列与数集有什么区别？,思考8：,将所有正奇数按从小到大的顺序组成数列：1，3，5，7，.这个数列的第n项是什么？,思考9：,我们把a,n,=2n1称为数列：1，3，5，7，的,通项公式,，一般地，数列的通项公式是什么概念？,如果数列的第n项与序号n之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式，即用序号n表示第n项a,n,的一个代数式.,思考10：,对任意给定的一个数列都能写出其通项公式吗？同一个数列的通项公式的外在形式是否唯一？,理论迁移,例1 判断下面的数列哪些是递增数列、递减数列、常数列、摆动数列？,（1）全体自然数构成数列：0，1，2，3，.,（2）1996,2002年某市普通高中生人数（单位：万人）构成数列：,82，93，105，119，129，130，132.,（3）无穷多个3构成数列：3，3，3，3，.,（4）目前通用的人民币面额按从大到小的顺序构成数列（单位：元）：,100，50，20，10，5，2，1，0.5，0.2，0.1，0.05，0.02，0.01.,（5）1的1次幂，2次幂，3次幂，4次幂构成数列：1，1，1，1，.,（6）的精确到1，0.1，0.01，0.001，的不足近似值与过剩近似值分别构成数列：,1，1.4，1.41，1.414，；,2，1.5，1.42，1.415，.,例2 写出下面数列的一个通项公式，使它的前4项分别是下列各数.,（1）1，,；,（2）2，0，2，0，.,（3）3，5，7，9，；,（4）2，4，8，16，.,例3 根据下面数列a,n,的通项公式，写出其前5项：,(1);,(2).,例4 已知数列a,n,的通项公式,为 ，试判断 和 是不是它,的项？如果是，是第几项？,小结作业,1.数列源于记数，它强调数的排列顺序，两个数列相同当且仅当组成数列的各数相同，且排列顺序一致.,2.数列的类型是根据不同的分类标准来划分的，同一类型的数列都具有某种共同性质，其中递增数列和递减数列统称为单调数列.,3.数列由其通项公式所确定，由数列的前几项写通项公式，就是找出数列的各项随项数变化的内在规律，在数学上是一种不完全归纳法.对于一个给定的数列，其通项公式的外在形式可能不唯一，也可能用初等方法不能写出其通项公式.,作业：,P31练习：,4.,P33习题2.1A组：,1，2，3.,第二章 数 列,第二课时,2.1 数列的概念与简单表示,问题提出,1.数列的定义是什么？,按照一定顺序排列着的一列数称为数列,2.有穷数列、无穷数列、递增数列、递减数列、摆动数列、常数列分别有什么含义？,3.什么叫数列的通项公式？如何理解一个数列与其通项公式的对应关系？,如果数列的第n项与序号n之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式，即用序号n表示第n项a,n,的一个代数式.,4.数列的通项公式是表示数列的一种方法，但不是唯一方法，对此，我们将作进一步探究.,数列的表示法,知识探究（一）：,数列与函数的关系,思考1：,数列中的项与项的序号是一种对应关系？这种对应关系是函数吗？,思考2：,数列是一种特殊的函数，数列的通项公式相当于函数的解析式，数列的各项就是当自变量从小到大依次取值时所对应的一列函数值，那么，这种函数的定义域是什么？,正整数集N*或其有限子集 1，2，3，n,思考3：,函数 与 ，当x依次取1，2，3，时，其函数值构成的数列各有什么特点？,思考4：,函数有哪几种表示法？相应地数列有哪几种表示法？,通项公式法、列表法、图象法.,思考5：,数列的图象有什么特点？,位于第一象限内一群孤立的点（离散点）.,思考6：,数列 ，和数列,用通项公式,法分别怎样表示？,知识探究（二）：,数列的递推公式,思考1：,有5个猴子共同分享一堆苹果，它们先后来到苹果前，第一个猴子将所有苹果平均分成5份，还剩1个，丢掉，自己拿走其中1份；第二个猴子又将余下的苹果平均分成5份，还剩1个，丢掉，自己拿走其中1份；依次类推.那么第n个猴子与第n1（n2）个猴子所得的苹果数应满足什么关系？,思考2：,如果数列a,n,满足,，那么数列a,n,是否,确定？,思考3：,上述给出数列的方法叫做,递推法,，其中 称为递推公式，一般地，数列的递推公式是什么概念？,数列的项与项之间的关系式称为递推公式,思考4：,递推法表示数列需要哪些要素？,初始项和递推公式,思考5：,数列1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，称为,斐波那契数列,，该数列的递推公式是什么？用递推法如何表示这个数列？,思考5：,称为数列a,n,的前n项和，记作S,n,，那么S,n1,表示什么？a,n,，S,n,，S,n1,三者之间有什么关系？,例1下图中的三角形称为,谢宾斯基三角形,，在下图四个三角形中，着色三角形的个数依次构成一个数列的前4项，写出这个数列的一个通项公式，并在直角坐标系中画出它的图象.,理论迁移,例2 设数列a,n,满足 ，,写出这个数列的前5项.,例3 已知数列a,n,满足 求这个数列的通项公式.,例4 已知数列a,n,满足,求这个数列的通项,公式.,1.数列是一种特殊的函数，其特殊性主要体现在函数的自变量只能依次取正整数.,小结作业,2.表示数列的方法有通项公式法、列表法、图像法、递推法四种，其中通项公式法和递推法是最常用的方法，并且二者可以相互转化.,3.数列的递推公式是反映数列相邻几项的关系式，根据数列的递推公式和初始项求数列的通项公式，是数列问题的一个重要题型，它有许多方法和技巧，需不断总结.,作业：,P33习题2.1A组：,4，5，6.,