不等式证明的基本方法

,高中新课标总复习（第,1,轮）,理科数学,湖南,人教版,*,立足教育 开创未来,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,高中新课标总复习（第,1,轮）,文科数学,湖南,人教版,复习目标,*,课前演练,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,高中新课标总复习（第,1,轮）,文科数学,湖南,人教版,*,知识要点,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,高中新课标总复习（第,1,轮）,文科数学,湖南,人教版,*,典例精讲,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,高中新课标总复习（第,1,轮）,文科数学,湖南,人教版,*,方法提炼,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,高中新课标总复习（第,1,轮）,文科数学,湖南,人教版,*,走进高考,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,高中新课标总复习（第,1,轮）,文科数学,湖南,人教版,*,本节完，谢谢聆听,立足教育，开创未来,不等式证明的基本方法,1,不等式的证明常用的方法有：,比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法,等,.,1.,比较法,证不等式有作差（商）、变形、判断三个步骤，变形的主要方向是因式分解、配方，判断过程必须详细叙述，如果作差以后的式子可以整理为关于某一个变量的二次式，则考虑用判别式法证,.,2,2.,综合法,是从命题提供的条件，或是已证明过的结论，或是已知的定义、公理、定理等条件及事实出发，经正确的推理得到结论的方法，是一种直接的演绎推理方法，也就是“由因导果”的方法,.,综合法的思维过程的全貌可概括为下面形式：,“已知可知,1,可知,结论”,.,3,3.,分析法,是指“执果索因”的思维方法，即从结论出发，不断地去寻找需知，直至达到已知事实为止的方法,.,分析法的思维全貌可概括下面形式：,“结论需知,1,需知,2,已知”,.,4.,反证法,：从否定结论出发，经过逻辑推理，导出矛盾，证实结论的否定是错误的，从而肯定原结论是正确的证明方法,.,5.,放缩法,：欲证,A,B,，可通过适当,放大和缩小,，借助一个或多个中间量，使得,B,3 3 -6=9-6=3,即,+3.,3,3,11,(1),两种证法的差别在于不等式的左端实行不同的恒等变形，其目的都是为了有效地利用有关的基本不等式，这是利用基本不等式证明不等式的一个难点,.“,变形”的形式很多，常见的是拆、并项，也可乘一个数或加上一个数等,.,(2),常见已证过的不等式有以下几种形式：,a,2,0(,a,R);,|,a,|0(,a,R);,12,a,2,+,b,2,2,ab,(,a,、,b,R,),的变形有：,a,2,+,b,2,2|,ab,|2,ab,a,2,+,b,2,(,a,+,b,),2,(,a,+,b,),2,4,ab,(),2,;,(,a,0,b,0),及其变形,+2(,ab,0),+-2(,ab,b,0,求证：,-,-2 -+2=,这与,|,f,(3)|,矛盾,.,故,|,f,(1)|,、,|,f,(2)|,、,|,f,(3)|,中至少有一个不小于,.,17,(,证法二,),假设,|,f,(1)|,、,|,f,(2)|,、,|,f,(3)|,都小于,而,f,(1)+,f,(3)-2,f,(2)=1+,p,+,q,+9+3,p,+,q,-2(4+2,p,+,q,)=2.,又,|,f,(1)+,f,(3)-2,f,(2)|,f,(1)|+|,f,(3)|+|2,f,(2)|,+2 =2,矛盾,故,|,f,(1)|,、,|,f,(2)|,、,|,f,(3)|,中至少有一个不小于,.,反证法实质上是通过证明原命题的逆否命题而实现的，在否定结论时必须对结论反面的各种情形都予以考虑，不能有所遗漏,.,18,题型五,利用,放缩法,证明不等式,例,4,已知,a,、,b,R,求证,:+.,不等式的两端是绝对值，需对,a,、,b,是,同号,和,异号,进行讨论,.,19,(,证法一,),放缩法,.,由真分数的性质知，,左边,=,=+,+=,右边,.,(,证法二,),构造函数法,.,设,f,(x,)=(,x,-1),，判断,f,(,x,),在,0,+,）上的单调性,.,设,0,x,1,x,2,且,x,1,、,x,2,0,+),20,则,f,(,x,1,)-,f,(,x,2,)=-=0,所以,f,(,x,),在,0,+),上为增函数,.,又,0|,a,+,b,|,a,|+|,b,|,所以,f,(|,a,+,b,|),f,(|,a,|+|,b,|),即,=+,+.,21,1,、用,数学归纳法,证明：,1+2+2,2,+,+2,n-1,=2,n,-1,(,nN,*),证明,:(1),当,n=1,时,左边,=1,右边,=1,等式是成立的。,(2),假设当,n=k,时等式成立，就是,1+2+2,2,+,+2,k-1,=,2,k,-1,那么，,1+2+2,2,+,+2,k-1,+2,k,=,2,k,-1,+2,k,=22,k,-1,=2,k+1,-1,这就是说，当,n=k+1,时，等式也成立。,因此,根据,(1),和,(2),可断定,等式对于任,nN,*,都成立。,练习：,22,拉格朗日中值定理：若函数,f,(,x,),是闭区间,a,b,上连续不断的函数，且在区间,(,a,b,),内导数都存在，则在,(,a,b,),内至少存在一点,x,0,使得,f,(,x,0,)=,.,如我们所学过的指、对数函数，正、余弦函数等都符合拉格朗日中值定理条件,.,试用拉格朗日中值定理证明,:,当,0,a,b,时,ln,(,可不用证明函数的连续性和可导性,).,23,令,g,(,x,)=,ln,x,x,(,a,b,),，,则,g,(,x,),符合拉格朗日中定理的条件，,即存在,x,0,(,a,b,),使,g,(,x,0,)=.,因为,g,(,x,)=,由,x,(,a,b,),0,a,0,即,g,(,x,0,)=,=,所以,ln,.,24,放缩法的理论依据主要有：,不等式的传递性；等量加不等量为不等量；同分子（分母）异分母（分子）的两个分式大小的比较,.,5.,换元法是数学中的基本方法，它的应用十分广泛，不仅在不等式的证明中用到它，在其他数学问题的研究中也经常用到它,.,三角换元法有一定的规律性,.,25,学例,1,(2007,江苏卷,),设,f,(,x,)=-,a,ln,x,(,a,R,).,(1),求,f,(,x,),的单调区间；,(2),证明：,ln,x,0).,若,a,0,，则,f,(,x,)=-0,对一切,x,(0,+),恒成立；,若,a,0,，则当,x,0,时，,f,(,x,)0 ,x,2,a,x,2,-4,a,2,x,-4,a,2,0,所以,x,2,a,2,+2,a,;,27,f,(,x,)0,x,2,-4,a,2,x,-4,a,2,0,所以,0,x,0,时，,f,(,x,),在,(0,2,a,2,+2,a,),内单调递减，在,(2,a,2,+2,a,+),内单调递增,.,28,(2),证明：由,(1),知,g,(,x,)=-,ln,x,在,(0,2+2 ),内单调递减，在,(2+2 ,+),内单调递增,.,g,(,x,),min,=,g,(2+2 )=-ln(2+2 ),=1+-ln(2+2 ),所以,-ln,x,1+-ln(2+2 ).,又,2+2 51+-lne,2,=-10,所以,ln,x,.,29,