角形的重点知识

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,三角形基础知识复习,复习指南,本课时复习主要解决下列问题.,1.三角形的有关概念及三角形的三边关系,此内容为本课时的重点.为此设计了归类探究中的例1；限时集训中的第1，11，12，13，15题.,2.三角形内角和定理、外角性质,此内容为本课时的重点.为此设计了归类探究中的例2；限时集训中的第2，3，4，5,7，9，10题,.,3.三角形中位线的性质与应用,此内容为本课时的重点,，,又是难点,.,为此设计了归类探究中的例3,；,限时集训中的第6,8，14，16题.,考点管理,1.三角形的有关概念及分类,定义：,由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接而组成的图形叫做三角形.,注意：,三个特征：（1）三条线段；（2）不在同一直线上；（3）首尾顺次相接.,分类：,2.三角形的角平分线,定 义：,三角形一个角的平分线和这个角的对边相交，这个角的顶点和,交点之间的线段叫做三角形的角平分线.,表达方式：,如图25-1所示.,（1）AD是ABC的角平分线；,（2）AD平分BAC交BC于D；,（3）BAD=DAC=12BAC；,(4)BAC=2BAD=2DAC.,特性：三角形的三条角平分线相交于一点，这一点叫做三角形的内心.,规律：（1）三角形两条角平分线的交点一定在第三条角平分线上；,（2）三角形的内心到三边的距离相等.,3.三角形的高线,定义：从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线,简称高.,表达方式：如图25-2所示.,（1）AD是ABC的高；,（2）AD垂直于BC，垂足为D；,（3）ADB=ADC=90.,特性：三角形的三条高所在的直线相交于一点，这一点叫做三角形的垂.,注意：锐角三角形三条高的交点在三角形的内部；钝角三角形三条高的交点在三角形的外部；直角三角形的两条高线恰好是它的两条直角边，因此三条高的交点在直角顶点上.,4.三角形的中线,定义：,在三角形中，连接一个顶点和它对边中点的线段叫做三角形的中.,表达方式：如图25-3所示.,（1）AM是ABC的中线；,（2）AM是ABC中BC边上的中线；,（3）点M是BC的中点；,（4）BM=MC=12BC；,（5）BC=2BM=2MC；,（6）SABM=SACM=12SABC.,特性：,三角形的三条中线交于三角形内一点，这一点叫做三角形的重心.,规律：,（1）三角形的一条中线将三角形分成两个面积相等（等底同高）,的三角形；,（2）三角形的重心把三角形的中线分成两部分的比为12.,5.三角形的中位线,定义：,连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线.,定理：,三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半.,注意：,正确理解三角形的中线和中位线的概念，三角形的中线平分面积，三角形的中位线分得三角形两,部分的面积比为13.,6.三角形三边的关系,关系：（,1）三角形任意两边之和大于第三边；,（2）三角形任意两边之差小于第三边.,注意：,三角形的三边关系揭示了三条线段构成一个三角形的条件，要注意,理解“任意”两字的含义.,7.三角形的内角和定理及推论,定理：,三角形的三个内角和等于180.,推论：（,1）三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和；,（2）三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角；,（3）直角三角形的两个锐角互余；,（4）三角形的外角和等于360.,类型之一 三角形的三边关系,现有四根木棒，长度分别为4 cm，6 cm，8 cm，10,cm，从中任取三根木棒，能组成三角形的个数为（ ）,A.1个 B.2个,C.3个 D.4个,【解析】四组中：（4，6，8），（4，6，10），（4，8，10），（6，8，10），只有（4，6，10）中的4+6=10，不能组成三角形.选C.,【点悟】三角形两边之和大于第三边，或两边之差小于第三边是判断任意,三条线段能否组成三角形的重要依据.,类型之二 三角形的内角和定理的运用,如图25-4所示，将ABC沿着DE翻折，若1+2=80，,则B= 40.,C,【解析】设BED=x,BDE=y,则x=(180-1)12,y=(180-)12,x+y=12360-(1+2),=12(360-80)=140，B=40.,【点悟】解决此类问题关键是：对折后重叠部分的角度相等；灵活运,用整体代入的方法；内角与平角的综合运用.,类型之三 三角形中位线的性质运用,如图25-5，D是AB边上的中点，将ABC沿过点D的直线折叠，使点A落在BC边上的点F处,，,若B=50,，,则 BDF=80 度,【解析】由题意知BD=DA，又AD=DF，,BD=DF，B=DFB=50，,BDF=180-250=80.,【点悟】折叠相当于轴对称变换，图形经过轴,对称变换后形状和大小不发生改变，,但位置发生改变.,等腰三角形复习,复习指南,本课时复习主要解决下列问题.,1.等腰三角形的有关概念，性质及判定,此内容为本课时的重点.为此设计了归类探究中的例1(包括预测变形1，2，3，4,5)，例2；限时集训中的第1，2，3，4，5，7，8题.,2.等边三角形的有关概念，性质及判定,此内容为本课时的重点.为此设计了归类探究中的例3；限时集训中的第11，13题.,3.运用等腰三角形的性质与判定解决有关问题,此内容为本课时的难点.为此设计了限时集训中的第6,9，10,12，14题.,考点管理,1.等腰三角形的概念,定义,：有 相等的三角形叫做等腰三角形，其中相等的两边叫做腰，另,一边叫做底边，两腰的夹角叫做 ，腰与底边的夹角叫做底角.,2.等腰三角形的性质,性质,：（1）等腰三角形的两个底角相等（简称为“等边对等角”）；,（2）等腰三角形的顶角平分线、底边上的高线、底边上的中线,（简称为“三线合一”）.,两边,顶角,互相集合,3.等腰三角形的判定,判定,：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简称为,“等角对等边”）.,注意,：要正确区别等腰三角形的性质和判定.“性质”指的是由边相等得出角相,等，即“等边对等角”；,而“判定”指的是根据一些条件来判定三角形是不是等腰三角形,即最后得出边相等.,4.等边三角形,定义,：三边都相等的三角形叫做等边三角形.,注意,：等边三角形是等腰三角形的特殊情况，它是底边与腰相等的等腰三角形.,5.等边三角形的性质和判定,性质,：（1）等边三角形的三条边都 ；,（2）等边三角形的每一个角都等于.,判定,：（1）各边或角都相等的三角形是等边三角形；,（2）有一个角等于的等腰三角形是等边三角形.,相关规律,：（1）边长为a的等边三角形面积等于 ;,（2）等边三角形的内心、外心、垂心和重心重合于一点.,60,相等,60,6.线段的垂直平分线,定义：,经过线段的与这条线段 的直线叫做这条线段的垂直平分线.,注意：,线段的垂直平分线的两个要点“垂直”和“平分”要同时存在.,性质：,线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离 .,判定：,与一条线段两个端点距离 的点，在这条线段的垂直平分线上.,中点,垂直,相等,相等,预测变形如图27-3，ABC中，DE垂直平分AC交AB于E，A=30，ACB=80，则BCE= 50,【解析】DE垂直平分AC，DCE=A=30，,BCE=ACB-DCE=80-30=50.,预测变形如图27-4，在RtABC中，B=90，ED是AC的垂直平,分线，交AC于点D，交BC于点E已知BAE=10，则C的度数为,（ ）,B,预测变形1如图27-2，等腰 ABC中，AB=AC，A=20，线段AB的垂直平分线交AB于D，交AC于E，连接BE，则CBE等于 （ ）,A.80 B.70,C.60 D.50,【解析】DE垂直平分AB，DBE=A=20,CBE=(180-A)1/2-A=60.,C,归类探究,类型之一 等腰三角形的性质的运用,如图27-1，等腰ABC的周长为21，底边BC=5，AB的垂,直平分线DE交AB于点D，交AC于点E，则BEC的周长为 （ ）,【解析】由线段的垂直平分线性质可知AE=BE，,BCE的周长为腰AC与底BC之和，即5+（21-5）12=13，选A.,A,预测变形如图27-3，ABC中，DE垂直平分AC交AB于E，A=30，ACB=80，则BCE=50,【解析】DE垂直平分AC，DCE=A=30，,BCE=ACB-DCE=80-30=50.,预测变形如图27-4，在RtABC中，B=90，ED是AC的垂直平分线，交AC于点D，交BC于点E已知BAE=10，则C的度数为,（ ）,A.30 B.40,C.50 D.60,【解析】设C=x,则DAE=x,则10+2x=90,x=40,选B.,B,预测变形在ABC中，AB=AC，AB的垂直平分线与AC所在的直线相交所得锐角为50，则B=70或20,【解析】当A为锐角时,可知A=40,B=（180-40）12=70;,当A为钝角时，可知A的补角=40，,A=180-40=140，,B=12(180-140)=20.,B=70或20.,预测变形5如图27-5，在ABC中，BC边上的垂直平分线DE交边BC于点D，交边AB于点E.若EDC的周长为24，ABC与四边形AEDC的周长之差为12，则线段DE的长为6,【解析】ABC的周长-四边形AEDC的周长=12，BE+BD-DE=12，EC+DC-DE=12.DE+EC+DC=24，2DE=24-12，DE=6.,类型之二 等腰三角形的判定,如图27-6，点E，F在BC上，BECF，AD，BC，AF与DE交于点O,(1)求证：ABDC；,(2)试判断OEF的形状，并说明理由,【解析】（1）证明ABFDCE;(2)由等角对等边可判断其形状.,证明：（）BECF，,BEEFCFEF，,即BFCE,又AD，BC，,ABFDCE（AAS），,ABDC,（）OEF为等腰三角形.,理由如下：ABFDCE，,AFB=DEC，,OE=OF，,OEF为等腰三角形,【点悟】一般判定等腰三角形的方法是“两边相等”和“等角对等边”两种，这就涉及证明线段相等或角相等的问题，因此需要结合三角形全等解决线段相等或角相等的问题.,类型之三 等边三角形的性质与判定,如图27-7，已知ABC为等边三角形，点D、E分别在BC、AC边上，且AE=CD，AD与BE相交于点F.,（1）求证：ABECAD；,（2）求BFD的度数.,【解析】（1）利用“SAS”证明.,(2)利用（1）中的结论将ABF转化到FAE上去，即可求出BFD的度数.,(1)证明：ABC为等边三角形，BAC=C=60，AB=CA.在ABE和CAD中，AB=CA，BAE=C，AE=CD，,ABECAD.,(2)解：BFD=ABE+BAD,又ABECAD，,ABE=CAD，BFD=CAD+BAD=BAC=60.,【点悟】在几何问题的解答过程中，有一部分思路来源于灵感，这种灵感建立在对一些几何图形的基本性质（如本题是等边三角形的基本性质）的掌握之上，借助这些图形的特性，可以启发我们寻找解答问题的思路和方法，从而达到解决问题的目的.,