平面图形的几何性质

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,第4章 平面图形的几何性质,4.1 静矩与形心,4.2 惯性矩与惯性积,4.3 惯性矩的平行移轴公式,4.1 静矩与形心,选择材料,与材料的机械性质有关,确定尺寸,与截面大小、形状有关,拉压：,应力均布，仅需满足 ，不考虑形状；,扭转：,应力不均布，出现 ，,在面积,A,相同，但形状不同的情况下，应,力分布不同。,一、静矩,o,y,z,A,dA,y,z,A,yd,A,A,zd,A,图形对y轴的静矩,图形对z轴的静矩,微面积d,A,对,z,轴和,y,轴的一次矩。,静矩的单位为,mm,3,或m,3,。,4.1 静矩与形心,二、形心,平面图形的几何形状中心。,4.1 静矩与形心,静矩：,0；0；0。,三、静矩与形心坐标的关系,若图形形心C已知，由静力学可知：,求静矩的另一公式：,讨论：,则,y、z轴称为形心轴。,y,z,A,C,若已知,则可确定z轴、y轴通过截面形心。,4.1 静矩与形心,四、组合图形的静矩与形心,组合图形:,由若干简单图形组合而成的图形。,组合图形对,z,轴和,y,轴的静矩等于各部分图形对该轴静矩的代数和，即,组合图形的形心公式：,例4.1,求图所示半径为,R,的半圆形对,z,轴和,y,轴的静矩及其形心坐标。,解：,z,轴是半圆形的对称轴,因此,4.1 静矩与形心,如果是1/4圆，情况又如何？,例4.2,计算由抛物线、y轴和z轴所围成的平面图形对y轴和z轴的静矩，并确定图形的形心坐标。,4.1 静矩与形心,解：,4.1 静矩与形心,4.1 静矩与形心,例4.3,求如图所示槽形截面的形心位置。,解：该组合图形可以看成3个矩形的组合，也可看成是矩形,ABDE,减去矩形,abde,而组成，选取图示,Oyz,坐标系，由于,z,轴是图形的对称轴，故形心必在,z,轴上，即,y,c,=,0,。,设矩形ABDE的面积为A,1,，其形心坐标为z,1C,；矩形abde的面积为A,2,，其形心坐标为z,2C,，则,A,1,=120mm160 mm=19200mm,2,，,z,1C,=80mm,A,2,=80mm120 mm=9600mm,2,，,z,2C,=60mm,于是由式可得槽形截面的形心坐标,z,C,4.1 静矩与形心,一、惯性矩,o,y,z,A,dA,y,z,A,y,d,A,A,z,d,A,图形对y轴的惯矩,图形对z轴的惯矩,4.2 惯性矩与惯性积,微面积d,A,对,z,轴和,y,轴的二次矩。,惯性矩的的单位为mm,4,或m,4,。,讨论,（1）惯矩恒,0；,二、极惯性矩,o,y,z,A,dA,y,z,图形对o点的极惯矩,单位：,讨论,（1）,4.2 惯性矩与惯性积,o,y,z,A,dA,y,z,y,z,z,y,且,即,对o点极惯矩,=,对过o点同一平面内任意一,对相互垂直轴的惯矩之和,所以 只与原点o有关，即,（2）,4.2 惯性矩与惯性积,y,z,b,h,例：4-4,矩形。求,解：,z,dz,同理,c,4.2 惯性矩与惯性积,2圆形,3三角形,4.2 惯性矩与惯性积,三、惯性半径,将惯性矩表示为图形面积A与某一长度平方的乘积，即,=,=,或改写为,i,y,和,i,z,分别称为图形对,y,轴和,z,轴的,惯性半径。,4.2 惯性矩与惯性积,四、惯性积,惯性积：,=,惯性积,I,yz,与坐标轴有关，因为坐标的乘积,yz,可为正或负，所以惯性积,I,yz,的数值可为正或负，也可为零。,惯性积的单位为,mm,4,或m,4,。,1、主惯性轴和主惯性矩,主惯性轴：,若在坐标系的两个坐标轴中，有一个是图形的对称轴，则图形对这对坐标轴的惯性积必为零。,这一对轴称为,主惯性轴。,主惯性矩：,图形对于主惯性轴的惯性矩。,2、形心主惯性轴和形心主惯性矩,形心主惯性轴：,通过形心的主惯性轴。,形心主惯性矩：,图形对于形心主惯性轴的惯性矩。,形心主惯性平面：,横截面的形心主惯性轴与杆件轴线所确定的平面。,凡是两形心主惯性矩相等的几何图形，通过形心的所有轴均为形心主惯性轴，且形心主惯性矩均相等。,注意：对称轴一定是主轴，主轴不一定是对称轴。,4.2 惯性矩与惯性积,三、组合图形的惯性矩与惯性积,d,D,根据定义：,整个图形对某一轴的惯矩（惯性积）等于各个分图形对同一轴的惯矩,（惯性积）,之和。,I,II,III,y,z,4.2 惯性矩与惯性积,例如:,则,I,II,III,y,z,同理,4.2 惯性矩与惯性积,一、平行移轴公式,图形对形心轴,y,C,和,z,C,的惯性矩和惯性积为,=,，,=,，,=,由图可知,y=y,C,+b,，z=z,C,+a,图形对,y,轴的惯性矩为：,=,=,=,+,+,故,=,+,a,2,A,4.3 平行移轴公式,=,+,a,2,A,=,+,b,2,A,=,+,abA,注意：,（1）,y,、,z,轴必须是,y,y,C,，,z,z,C,；,（2）,a,和,b,是形心,C,在,Oyz,坐标系中的坐标，可为正，也可为负；,（3），,和,是图形对形心轴的惯性矩和惯性积；,（4）对形心轴的惯性矩最小。,同理可得,4.3 平行移轴公式,例4.5,求图所示T型截面对形心轴,y,C,的惯性矩。,（1）确定截面的形心位置,（2）求图形对,y,C,轴的惯性矩,4.3 平行移轴公式,