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单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,第八章,第七节,一、方向导数,机动 目录 上页 下页 返回 结束,二、梯度,三、物理意义,方向导数与梯度,一、方向导数,定义:,若函数,则称,为函数在点,P,处沿方向,l,的,方向导数,.,在点,处,沿方向,l,(方向角为,) 存在下列极限:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,记作,x,z,y,0,l, y, x,z,P,P,z = f,(,x,y,),Q,M,是曲面在,点,P,处沿,方向,l,的变化率，,即半切线,方向导数,.,方向导数几何意义,的斜率,N,定理:,则函数在该点,沿任意方向,l,的方向导数存在 ,证明,: 由函数,且有,在点,P,可微 ,得,机动 目录 上页 下页 返回 结束,故,机动 目录 上页 下页 返回 结束,对于二元函数,为, ,),的方向导数为,特别:,当,l,与,x,轴同向,当,l,与,x,轴反向,向角,例,1.,求函数,在点,P,(1, 1, 1) 沿向量,3) 的方向导数 .,机动 目录 上页 下页 返回 结束,解,:,向量,l,的方向余弦为,例2.,求函数,在点,P,(2, 3)沿曲线,朝,x,增大方向的方向导数.,解,:,将已知曲线用参数方程表示为,它在点,P,的,切向量为,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例3.,设,是曲面,在点,P,(1, 1, 1 )处,指向外侧的法向量,解:,方向余弦为,而,同理得,方向,的方向导数.,在点,P,处沿,求函数,机动 目录 上页 下页 返回 结束,二、梯度,方向导数公式,令向量,这说明,方向：,f,变化率最大的方向,模 :,f,的最大变化率之值,方向导数取最大值：,机动 目录 上页 下页 返回 结束,1. 定义,即,同样可定义二元函数,称为函数,f,(,P,) 在点,P,处的,梯度,记作,(gradient),在点,处的梯度,机动 目录 上页 下页 返回 结束,说明:,函数的,方向导数,为梯度在该方向上的投影.,向量,2. 梯度的几何意义,函数在一点的梯度垂直于该点等值面(或等值线) ,机动 目录 上页 下页 返回 结束,称为函数,f,的,等值线,.,则,L,*,上点,P,处的法向量为,同样, 对应函数,有等值面(等量面),当各偏导数不同时为零时,其上,点,P,处的法向量为,指向函数增大的方向.,3. 梯度的基本运算公式,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例4.,证,:,试证,机动 目录 上页 下页 返回 结束,处矢径,r,的模 ,三、物理意义,函数,(物理量的分布),数量场,(数性函数),场,向量场(矢性函数),可微函数,梯度场,( 势 ),如: 温度场, 电位场等,如: 力场,速度场等,(向量场),注意:,任意一个向量场不一定是梯度场.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,内容小结,1. 方向导数,三元函数,在点,沿方向,l,(方向角,的方向导数为,二元函数,在点,的方向导数为,沿方向,l,(方向角为,机动 目录 上页 下页 返回 结束,2. 梯度,三元函数,在点,处的梯度为,二元函数,在点,处的梯度为,3. 关系,方向导数存在,偏导数存在,可微,机动 目录 上页 下页 返回 结束,梯度在方向,l,上的投影.,思考与练习,1. 设函数,(1) 求函数在点,M,( 1, 1, 1 ) 处沿曲线,在该点切线方向的方向导数;,(2) 求函数在,M,( 1, 1, 1 ) 处的,梯度,与(1)中,切线方向,的夹角,.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,曲线,1. (1),在点,解答提示:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,函数沿,l,的方向导数,M,(1,1,1) 处切线的方向向量,机动 目录 上页 下页 返回 结束,备用题,1.,函数,在点,处的梯度,解:,则,注意,x,y,z,具有轮换对称性,(92考研),机动 目录 上页 下页 返回 结束,指向,B,( 3, 2 , 2) 方向的方向导数是,.,在点,A,( 1 , 0 , 1) 处沿点,A,2.,函数,提示:,则,(96考研),机动 目录 上页 下页 返回 结束,将二元函数,z,=,f,(,x , y,),在点,(,x,y,),的以下七个命题填入框图：,（1）有定义 （2）有极限 （3）连续 （4）偏导存在,（5）方向导数存在 （6）偏导连续 （7）可微,（6）,（7）,（3）,（4）,（5）,（1）,（2）,问题：箭头是否可逆？,不可逆的试举出反例。,
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