CH174泰勒公式与极值问题

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,第4节,一、高阶偏导数,二、中值定理与泰勒公式,泰勒公式与极值问题,第17章,三、极值问题,1,一、高阶偏导数,设,z = f,(,x , y,)在域,D,内存在连续的偏导数,若这两个偏导数仍存在偏导数，,则称它们是,z = f,(,x , y,),的,二阶偏导数,.,按求导顺序不同, 有下列四个二阶偏导,数:,2,类似可以定义更高阶的偏导数.,例如，,z = f,(,x,y,) 关于,x,的三阶偏导数为,z = f,(,x,y,) 关于,x,的,n,1 阶偏导数 , 再关于,y,的一阶,偏导数为,3,例1.,求函数,解,:,注意:,此处,但这一结论并不总成立.,的二阶偏导数及,4,例如,二者不等,5,例2.,证明函数,满足拉普拉斯,证：,利用对称性 , 有,方程,6,则,定理.,例如,对三元函数,u = f,(,x , y , z,) ,说明:,本定理对,n,元函数的高阶混合导数也成立.,函数在其定义区域内是连续的 ,故求初等函数的高阶导,数可以选择方便的求导顺序.,因为初等函数的偏导数仍为初等函数 ,当三阶混合偏导数,在点 (,x , y , z,),连续,时, 有,而初等,7,证:,令,则,则,定理.,令,8,同样,在点,连续,得,9,为简便起见 , 引入记号,例3.,设,f,具有二阶连续偏导数,求,解:,令,则,10,例4:,已知,解:,11,注意,:,熟记常用导数符号.,称为混合偏导数,在计算时注意合并同类项!,设,12,二、中值定理与泰勒公式,一元函数,的泰勒公式:,推广,多元函数泰勒公式,13,记号,(设下面涉及的偏导数连续):,一般地,表示,表示,14,定理1,.,的某一邻域内有直,到,n,+ 1 阶连续偏导数 ,为此邻域内任,一点,则有,其中, 称为,f,在点(,x,0,y,0,)的,n,阶泰勒公式,称为其,拉格,朗日型余项,.,15,证,:,令,则,利用多元复合函数求导法则可得:,16,一般地,由,的麦克劳林公式, 得,将前述导数公式代入即得二元函数泰勒公式.,17,说明,:,(1) 余项估计式.,因,f,的各,n,+1 阶偏导数连续,在某闭,邻域其绝对值必有上界,M,则有,18,(2),式中若只要求,的某一邻域内有,直到,n,阶连续偏导数 ,便有,19,(3) 当,n,= 0 时, 得二元函数在,凸域上,的拉格朗日中值公式:,(4) 若函数,在区域,D,上的两个一阶偏导数,恒为零,由中值公式可知在该区域上,见教材P,133,-TH17.8(中值定理),凸域概念介绍.,并注意与P,112,-TH17.3比较,20,例1.,求函数,解:,的三阶泰,勒公式.,因此,21,其中,22,回顾一元函数极值概念及存在条件,(,必要,充分,).,三、极值问题,23,实例：某商店卖两种牌子的果汁，本地牌子每瓶进价1元，外地牌子每瓶进价1.2元，店主估计，如果本地牌子的每瓶卖 元，外地牌子的每瓶卖 元，则每天可卖出 瓶本地牌子的果汁， 瓶外地牌子的果汁.问：店主每天以什么价格卖两种牌子的果汁可取得最大收益？,每天的收益为,求最大收益即为求二元函数的最大值.,问题的提出,24,1、 多元函数的极值概念,及必要条件,定义:,若函数,则称函数在该点取得,极大值(极小值),.,例如 :,在点 (0,0) 有极小值;,在点 (0,0) 有极大值;,在点 (0,0) 无极值.,极大值和极小值,统称为,极值,使函数取得极值的点称为,极值点.,的某邻域内有,25,26,27,28,29,30,31,32,33,34,35,说明:,使偏导数都为 0 的点称为,驻点,.,例如,定理1,(必要条件),函数,偏导数,证:,据一元函数极值的必要条件可知定理结论成立.,取得极值 ,取得极值,取得极值,但驻点不一定是极值点.,有驻点( 0, 0 ),但在该点不取极值.,且在该点取得极值 ,则有,存在,故,36,2、极值充分条件,定理2,(充分条件),的某邻域内具有二阶连续偏导数, 且,若函数,令,则(1)当,是正定矩阵时,f,在,P,0,具有极小值;,(2)当,是负定矩阵时,f,在,P,0,具有极大值;,(3)当,是不定矩阵时,f,在,P,0,不取极值.,37,证明:,的2 阶泰勒公式,令,(1),是正定矩阵时,恒有对,于是存在,q0,(P,137,注)使得,38,从而对充分小的,只要,就有,所以,f,在,P,0,具有极小值;,(2),是负定矩阵时,同理可证.,(3)当,是不定矩阵时,f,在,P,0,不取极值.,(反证法),若,f,在,P,0,取极值,不妨设取极大值,易知沿任意过,P,0,直线,39,在,t=0,亦取极大值,故,而,故,是负半定矩阵.,这与,是不定矩阵矛盾!,f,在,P,0,不取极值.,40,时,具有极值,的某邻域内具有二阶连续偏导数, 且,令,则: 1) 当,A 0 时取极小值.,2) 当,3) 当,时,没有极值.,时,不能确定, 需另行讨论.,若函数,定理2,(充分条件),41,证:,由二元函数的泰勒公式, 并注意,则有,所以,42,其中,是当,h,0 ,k,0 时的无穷小量 ,于是,(1) 当,AC,B,2,0,时,必有,A,0 , 且,A,与,C,同号,可见 ,从而,z,0 ,因此,43,从而 ,z,0,(2) 当,AC,B,2,0,时,若,A,C,不全为零, 无妨设,A,0,则,时, 有,异号;,同号.,可见 ,z,在 (,x,0,y,0,) 邻近有正有负,44,+,+,若,AC,0 ,则必有,B,0 ,不妨设,B,0 ,此时,可见 ,z,在 (,x,0,y,0,) 邻近有正有负,(3) 当,AC,B,2,0,时,若,A,0,则,若,A,0 ,则,B,0 ,为零或非零,45,此时,因此,不能断定 (,x,0,y,0,) 是否为极值点 .,46,例1.,求函数,解,:,第一步 求驻点.,得驻点,: (1, 0) , (1, 2) , (3, 0) , (3, 2) .,第二步 判别.,在点,(1,0),处,为极小值;,解方程组,的极值.,求二阶偏导数,47,在点,(,3,0),处,不是极值;,在点,(,3,2),处,为极大值.,在点,(1,2),处,不是极值;,48,例2.,讨论函数,及,是否取得极值.,解:,显然 (0,0) 都是它们的驻点 ,在(0,0)点邻域内的取值, 因此,z,(0,0) 不是极值.,因此,为极小值.,正,负,0,在点(0,0),并且在 (0,0) 都有,可能为,49,3、最值应用问题,函数,f,在闭域上连续,函数,f,在闭域上可达到最值,最值可疑点,驻点,边界上的最值点,特别,当区域内部最值存在, 且,只有一个,极值点,P,时,为极小 值,为最小 值,(大),(大),依据,50,解:,如图,51,52,53,解,由,54,无条件极值,：,对自变量除了限制在定义域内外，并无其他条件.,55,例5,.,解:,设水箱长,宽分别为,x,y,m,则高为,则水箱所用材料的面积为,令,得驻点,某厂要用铁板做一个体积为2,根据实际问题可知最小值在定义域内应存在,的有盖长方体水箱,问当长、宽、高各取怎样的尺寸时, 才能使用料最省?,因此可,断定此唯一驻点就是最小值点.,即当长、宽均为,高为,时, 水箱所用材料最省.,56,4.最小二乘法,问题的提出:,已知一组实验数据,求它们的近似函数关系,y,f,(,x,) .,需要解决两个问题,:,1. 确定近似函数的类型,根据数据点的分布规律,根据问题的实际背景,2. 确定近似函数的标准,实验数据有误差,不能要求,57,偏差,有正有负,值都较小且便于计算,可由偏差平方和最小,为使所有偏差的绝对,来确定近似函数,f,(,x,) .,最小二乘法原理:,设有一列实验数据,分布在某条曲线上,通过,偏差平方和最小,求该曲线的方,法称为,最小二乘法,找出的函数关系称为,经验公式 ., 它们大体,58,特别, 当数据点分布近似一条直线时,问题为确定,a,b,令,满足:,使,得,解此线性方程组,即得,a,b,称为法方程组,59,例1.,为了测定刀具的磨损速度, 每隔 1 小时测一次刀,具的厚度, 得实验数据如下:,找出一个能使上述数据大体适合的经验公式.,解:,通过在坐标纸上描点可看出它们,大致在一条直线上,列表计算:,故可设经验公式为,27.0 26.8 26.5 26.3 26.1 25.7 25.3 24.8,0 1 2 3 4 5 6 7,0 1 2 3 4 5 6 7,60,得法方程组,解得,故所求经验公式为,0 0 27.0 0,7 49 24.8 137.6,28 140 208.5 717.0,为衡量上述经验公式的优劣,计算各点偏差如下:,61,称为均方误差,对本题均方误差,它在一定程度上反映了经验函数的好坏.,偏差平方和为,27.0 26.8 26.5 26.3 26.1 25.7 25.3 24.8,0 1 2 3 4 5 6 7,27.125 26.518 25.911 25.303,26.821 26.214 25.607 25.000,0.125 0.018 0.189 0.003,0.021 0.086 0.093 0.200,62,例2.,在研究某单分子化学反应速度时, 得到下列数据:,57.6 41.9 31.0 22.7 16.6 12.2 8.9 6.5,3 6 9 12 15 18 21 24,1 2 3 4 5 6 7 8,其中,表示从实验开始算起的时间,y,表示时刻,反应,物的量.,试根据上述数据定出经验公式,解:,由化学反应速度的理论知, 经验公式应取,其中,k,m,为待定常数.,对其取对数得,(线性函数),(书中取的是常用对数),63,因此,a,b,应满足法方程组:,经计算得,解得:,所求经验公式为,其均方误差为,64,观测数据:,用最小二乘法确定,a,b,通过计算确定某些经验公式类型的方法:,65,作业,P140 1 (1),(3),(5),(7) ; 2 ;,7(1) ; 8(2) ; 9(1) ; 11 ; 12 ; 15.,66,