隐函数定理及应用

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,上一页,下一页,主 页,返回,退出,第十八章 隐函数定理及应用,1 隐函数,隐函数概念,隐函数存在性条件的分析,隐函数定理,隐函数求导举例,一、,隐函数概念,在此之前我们所接触的函数其表达式是自变量的,某个算式，这种形式的函数称为,显函数.,例如,在实际问题中，经常遇到另一种形式的函数，其,自变量与因变量之间的对应法则由一个方程确定,例如,例如方程,确定了定义在(-1,1)上的隐函数,也确定了定义在(-1,1)上的另一隐函数,确定了定义在,I,上的隐函数,y,=,f,(,x,)，则有,并非任一方程都能确定出隐函数，例如方程,就不能确定任何函数,f,(,x,),，使得,本节讨论:,1)方程在,什么条件,下才能确定隐函数.,例如,方程,当,C,0 时,不能确定隐函数;,2)在方程能确定隐函数时,研究隐函数的,连续性、,可微性,及,求导方法,问题.,三、,隐函数定理,一个方程所确定的隐函数及其导数,所以由隐函数定理，方程,例如方程,函数,都在点(0,1)的某邻域连续，,以及偏导数,且,确定了定义在,x,0,=0 的某邻域,(-1,1)上的隐函数,在点(1,0)的某邻域呢？,思考,方程,所确定的隐函数,的导数为,四、,隐函数求导举例,例,.,验证方程,在点(0,0),某邻域,可,确定一个,单值可导隐函数,并求,解:,令,连续,由 定理18.2 可知,导的隐函数,则,在,x=,0,的某邻域内方程存在单值可,且,在点(0,0),某邻域,F,(,x,y,)连续,两边对,x,求导,两边再对,x,求导,令,x,=0,注意此时,求隐函数导数的另一方法：,例,.,设,解法1,再对,x,求导,方程两边分别对,x,求导,解法2,利用公式,设,则,两边对,x,求偏导,例.,设,F,(,x,y,)具有连续偏导数,解法1,利用偏导数公式.,确定的隐函数,则,已知方程,故,对方程两边求微分,:,解法,2,微分法.,例4（反函数的存在性与其导数）设,y,=,f,(,x,),在,x,0,的某邻域内有连续的导函数,考虑方程,由于,所以方程,隐函数，,其导数,能确定出在,y,0,的某邻域,U,(,y,0,)内的连续可微的,连续,作业,：P.151 1,3,4,