材料力学-第9章扭转

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,Shanghai University,材料力学,第9章,材料力学,扭转,杆的两端承受大小相等、方向相反、作用平面垂直于杆件轴线的两个力偶，杆的任意两横截面将绕轴线相对转动，这种受力与变形形式称为扭转（torsion）。本章主要分析圆轴扭转时横截面上的剪应力以及两相邻横截面的相对扭转角，同时介绍圆轴扭转时的强度与刚度设计方法。,第9章,扭转,圆轴扭转横截面上,圆轴扭转破坏与强度条件,引言,剪应力互等定理与剪切胡克定律,第9章,扭转,动力传递与扭矩,极惯性矩与抗扭截面系数,圆轴扭转变形与刚度条件,引言,第9章,扭转,请判断哪一杆件,将发生扭转？,当两只手用力相等时，拧紧螺母的工具杆将产生扭转。,引言,第9章,扭转,引言,第9章,扭转,M,e,m,e,（c）,（a）,M,e,M,e,F,F,（b）,M,e,更多的实例,引言,第9章,扭转,变形特征：,杆件的各横截面环绕轴线发生相对的转动。,受力特征：,在杆的两端垂直于杆轴的平面内，作用着一对力偶，其力偶矩相等、方向相反。,扭转角,：,任意两横截面间相对转过的角度。,动力传递与扭矩,第9章,扭转,动力传递与扭矩,第9章,扭转,作用于构件的外扭矩与机器的转速、功率有关。在传动轴计算中，通常给出传动功率,P,和转速,n,，则传动轴所受的外加扭力矩,M,e,可用下式计算：,其中,P,为功率，单位为,千瓦,（kW）；,n,为轴的转速，单位为,转/分,（r/min）。,如果功率,P,的单位用马力（,1马力=735.5 N,m/s,），则,外加扭力矩,M,e,确定后，应用截面法可以确定横截面上的内力扭矩，圆轴两端受外加扭力矩,M,e,作用时，横截面上将产生分布剪应力，这些剪应力将组成对横截面中心的合力矩,称为扭矩（,twist moment,），用,M,x,表示。,+,M,e,M,e,n,M,e,M,x,M,x,动力传递与扭矩,第9章,扭转,n,M,e,M,x,_,M,x,如果只在轴的两个端截面作用有外力偶矩，则沿轴线方向所有横截面上的扭矩都是相同的，都等于作用在轴上的外力偶矩。,扭矩沿杆轴线方向变化的图形，称为,扭矩图,(diagram of torsion moment)。绘制扭矩图的方法与绘制轴力图的方法相似。,当在轴的长度方向上有两个以上的外力偶矩作用时，轴各段横截面上的扭矩将是不相等的，这时需用截面法确定各段横截面上的扭矩。,动力传递与扭矩,第9章,扭转,例题,1,圆轴受有四个绕轴线转动的外加力偶，各力偶的力偶矩的大小和方向均示于图中，其中力偶矩的单位为,N.m,，尺寸单位为,mm,。,试 ：,画出圆轴的扭矩图。,动力传递与扭矩,第9章,扭转,解：,1,确定控制面,外加力偶处截面,A,、,B,、,C,、,D,均为控制面。,2,应用截面法，,由平衡方程,确定各段圆轴内的扭矩,。,动力传递与扭矩,第9章,扭转,3,建立,M,x,x,坐标系，画出扭矩图,建立,M,x,x,坐标系，其中,x,轴平行于圆轴的轴线，,M,x,轴垂直于圆轴的轴线。,将所求得的各段的扭矩值，标在,M,x,x,坐标系中，得到相应的点，过这些点作,x,轴的平行线，即得到所需要的扭矩图。,动力传递与扭矩,第9章,扭转,剪应力互等定理与剪切胡克定律,第4章,扭转,薄壁圆筒：壁厚,（,r,0,为平均半径）,一、薄壁圆筒扭转时的切应力（实验）：,1.实验前：,绘纵向线，圆周线；,施加一对外力,m,。,第9章,扭转,剪应力互等定理与剪切胡克定律,薄壁圆管的扭转应力,2、实验后：,圆周线不变；纵向线倾斜同一个角度，变成平行的螺旋线。,3、结论：圆筒表面的各圆周线的形状、大小和间距均未改,变，只是绕轴线作了相对转动。,各纵向线均倾斜了同一微小角度,。,所有矩形网格均歪斜成同样大小的平行四边形。,第9章,扭转,剪应力互等定理与剪切胡克定律,5、薄壁圆筒剪应力,大小：,假定,平均分布 ,方向垂直于半径.,A,0,：平均半径所作圆的面积。,a,c,d,d,x,b,d,y,4、,分析,矩形变成平行四边形,各边长不变,所以两侧截面上只有切应力,无正应力.(实际上与扭矩对应的应力只能是切应力),第9章,扭转,剪应力互等定理与剪切胡克定律,x,y,z,d,x,d,y,d,z,第9章,扭转,剪应力互等定理与剪切胡克定律,微元能不能平衡？,哪些力互相平衡？,怎样才能平衡？,怎样才能平衡？,根据力偶平衡理论,x,y,z,d,x,d,y,d,z,第9章,扭转,剪应力互等定理与剪切胡克定律,剪应力成对定理,在两个互相垂直的平面上，剪应力必然成对存在，且数值相等，两者都垂直于两个平面的交线，方向则共同指向或共同背离这一交线，这就是,剪应力成对定理,（pairing principle of shear stresses）。,x,y,z,d,x,d,y,d,z,第9章,扭转,剪应力互等定理与剪切胡克定律,O,剪切胡克定律,当在弹性范围内加载时，剪应力与剪应变成正比:,这种线性关系称为剪切胡克定律。比例常数,G,称为材料的切变模量。,第9章,扭转,剪应力互等定理与剪切胡克定律,圆轴扭转横截面上的应力,第9章,扭转,应用平衡方法可以确定圆杆扭转时横截面上的内力分量扭矩，但是不能确定横截面上各点剪应力的大小。为了确定横截面上各点的剪应力，在确定了扭矩后，还必须知道横截面上的剪应力是怎样分布的。,圆轴扭转横截面上的应力,第9章,扭转,应力分布,应力公式,变 形,应变分布,平面假定,物性关系,静力方程,确定横截面上剪应力,的方法与过程,圆轴扭转横截面上的应力,第9章,扭转,平面假定,变形协调方程,物性关系剪切胡克定律,静力学方程,圆轴扭转时横截面上的剪应力表达式,圆轴扭转横截面上的应力,第9章,扭转,平面假定,圆轴扭转横截面上的应力,第9章,扭转,假定：圆轴受扭发生变形后，其横截面依然保持平面，两相邻横截面刚性地相互转过一角度。这一假定称为平面假定。,圆轴扭转横截面上的应力,第9章,扭转,圆轴扭转横截面上的应力,第9章,扭转,变形协调方程,圆轴扭转横截面上的应力,第9章,扭转,若将圆轴用同轴柱面分割成许多半径不等的圆柱，根据上述结论，在d,x,长度上，虽然所有圆柱的两端面均转过相同的角度d,，但半径不等的圆柱上产生的剪应变各不相同，半径越小者剪应变越小。,圆轴扭转横截面上的应力,第9章,扭转,设到轴线任意远,处的剪应变为,（,），则从图中可得到如下几何关系：,圆轴扭转横截面上的应力,第9章,扭转,物性关系剪切胡克定律,圆轴扭转横截面上的应力,第9章,扭转,剪切胡克定律,O,圆轴扭转横截面上的应力,第9章,扭转,圆轴扭转横截面上的应力,第9章,扭转,圆轴扭转横截面上的应力,第9章,扭转,静力学方程,圆轴扭转横截面上的应力,第9章,扭转,圆轴扭转横截面上的应力,第9章,扭转,式中,GI,P,扭转刚度；,I,P,横截面的极惯性矩。,圆轴扭转横截面上的应力,第9章,扭转,圆轴扭转时横截面上的,剪应力表达式,圆轴扭转横截面上的应力,第9章,扭转,圆轴扭转横截面上的应力,第9章,扭转,圆轴扭转横截面上的应力,第9章,扭转,最大剪应力,W,p,扭转截面系数。,圆轴扭转横截面上的应力,第9章,扭转,第9章,扭转,极惯性矩与抗扭截面系数,极惯性矩,p,扭转截面系数,p,其中d为圆截面直径（d、D为圆环内外径）,圆轴扭转横截面上的应力,第9章,扭转,第9章,扭转,圆轴扭转破坏与强度条件,受扭圆轴的强度设计准则,圆轴扭转破坏与强度条件,第9章,扭转,与抗压杆的强度设计相似，为了保证圆轴扭转时安全可靠地工作，必须将圆轴横截面上的最大剪应力,max,限制在一定的数值以下，即：,这一关系式称为受扭圆轴的强度设计准则，或称圆轴扭转的强度条件。,受扭圆轴的强度设计准则,为许用剪应力；,max,是指圆轴所有横截面上最大剪应力中的最大者，对于等截面圆轴，最大剪应力发生在扭矩最大的横截面上的边缘各点；,对于变截面圆轴，如阶梯轴，最大剪应力不一定发生在扭矩最大的截面，这时需要根据扭矩,M,x,和相应扭转截面系数,W,P,的,数值综合考虑才能确定。,圆轴扭转破坏与强度条件,第9章,扭转,已知：,P,1,14kW,n,1,=,n,2,= 120 r/min,z,1,=36,z,3,=12;,d,1,=70mm,d,2,=50mm,d,3,=35mm.,求:,各,轴,横截面上的最大切应力,。,3,例 题,3,圆轴扭转破坏与强度条件,第9章,扭转,P,1,=14kW,P,2,=,P,3,=,P,1,/2=7 kW,n,1,=,n,2,= 120r/min,3,解：,计算各轴的功率与转速,圆轴扭转破坏与强度条件,第9章,扭转,M,x1,=,T,1,=1114 N.m,M,x2,=,T,2,=557 N.m,M,x3,=,T,3,=185.7 N.m,3,解：,计算各轴的扭矩,圆轴扭转破坏与强度条件,第9章,扭转,3,解：,计算各轴的横截面上的最大切应力,圆轴扭转破坏与强度条件,第9章,扭转,圆轴扭转变形与刚度条件,第9章,扭转,圆轴扭转变形与刚度条件,第9章,扭转,受扭圆轴的相对扭转角,圆杆受扭矩作用时，dx微段的两截面绕轴线相对转动的角度称为相对扭转角,沿轴线方向积分，得到,受扭圆轴的相对扭转角,对于两端承受集中扭矩的等截面圆轴，两端面的相对扭转角为：,对于各段扭矩不等或截面极惯性矩不等的阶梯状圆轴，轴两端面的相对扭转角为,：,圆轴扭转变形与刚度条件,第9章,扭转,单位长度的相对扭转角,在很多情形下，两端面的相对扭矩角不能反映圆轴扭转变形的程度，因而更多采用单位长度扭转角表示圆轴的扭转变形，单位长度扭转角即扭转角的变化率。单位长度相对扭转角为：,圆轴扭转变形与刚度条件,第9章,扭转,受扭圆轴的刚度设计准则,为了机械运动的稳定和工作精度，机械设计中要根据不同要求，对受扭圆轴的变形加以限制，亦即进行刚度设计。,扭转刚度设计是将单位长度上的相对扭转角限制在允许的范围内，即必须使构件满足刚度设计准则或称刚度条件：,对于两端承受集中扭矩的等截面圆轴，刚度设计准则又可以写成：,圆轴扭转变形与刚度条件,第9章,扭转,受扭圆轴的刚度设计准则,其中，,为单位长度上的许用相对扭转角，其数值根据轴的工作要求而定。例如，精密机械的轴,(0.250.5) (,),m,；一般传动轴,(0.51.0) (,),m,；刚度要求不高的轴,2 （,）,m,。,圆轴扭转变形与刚度条件,第9章,扭转,需要注意的是：,刚度设计中要注意单位的一致性。上式不等号左边的单位为rad/m；而右边通常所用的单位为(,)m。因此，在实际设计中，若不等式两边均采用radm，则必须在不等式右边乘以（180）；若两边均采用(,)m，则必须在左边乘以（180）。,受扭圆轴的刚度设计准则,圆轴扭转变形与刚度条件,第9章,扭转,钢制空心圆轴的外直径,D,100 mm，内直径,d,50 mm。若要求轴在2m长度内的最大相对扭转角不超过1.5,，材料的剪切弹性模量,G,80.4 GPa。,例 题,5,解：,1,确定轴所能承受的最大扭矩,根据刚度设计准则，有,1.,求该轴所能承受的最大扭矩；,2. 确定此时轴横截面上的最大剪应力。,圆轴扭转变形与刚度条件,第9章,扭转,例 题,5,解：,1,确定轴所能承受的最大扭矩,根据刚度设计准则，有,由已知条件，许用的单位长度上相对扭转角为,空心圆轴截面的极惯性矩,轴所能承受的最大扭矩为,例 题,5,轴所能承受的最大扭矩为,9.688,10,3,N.m,9.688 kN.m,圆轴扭转变形与刚度条件,第9章,扭转,例：两端固定的圆截面等直杆AB，在截面C受外力偶矩m作用，试求杆两端的支座反力偶矩。,扭转静不定问题,解：,静力平衡方程为：,变形协调条件为：,即：,例：一圆钢管套在一实心圆钢轴上，长度均为，钢管与钢轴材料相同，先在实心圆轴两端加外力偶矩，使轴受扭后，在两端把管与轴焊起来，去掉外力偶矩。求此外管与内轴的最大剪应力。,CL5TU14,解：外管与内轴承受的扭矩相等，设为T,课外作业,91(c),93,96,917,920,9,22,