理论力学-空间力系与重心

Click to edit Master title style,Click to edit Master text styles,Second level,Third level,Fourth level,Fifth level,*,Click to edit Master title style,Click to edit Master text styles,Second level,Third level,Fourth level,Fifth level,Theory of,Mechanics,理论力学,第四章,空间力系和重心,2,第四章 空间力系和重心,第,1,节 空间汇交力系,第,2,节 力对点的矩和力对轴的矩,第,3,节 空间力偶,第,4,节 空间任意力系向一点的简化,主矢和主矩,第,5,节 空间力系的平衡方程,第,6,节 重心,3,第,1,节 空间汇交力系,一、,力在空间直角坐标轴上的投影,1.,直接投影法,F,x,=,F,cos,F,y,=,F,cos,F,z,=,F,cos,cos,2,+,cos,2,+,cos,2,=1,参见动画：空间力在正交轴上的投影,4,先将力投影到对应的坐标面上，然后再投影到相应的坐标轴上，这种方法称为二次投影法（间接投影法）。,2.,二次投影法,F,x,=,F,sin,cos,F,y,=,F,sin,sin,F,z,=,F,cos,F,xy,=,F,sin,参见动画：二次投影法,5,三棱柱底面为直角等腰三角形，在其侧平面,ABED,上作用有一力,F,，,力,F,与,OAB,平面夹角为,30,，求力,F,在三个坐标轴上的投影。,例题,例 题 1,空间,力系,参见动画：例题,1(1),6,利用二次投影法，先将力,F,投影到,Oxy,平面上，然后再分别向,x,，,y,，,z,轴投影。,解：,空间,力系,例题,例 题 1,F,xy,=,F,cos30,o,F,x,=-,F,cos30,o,cos45,o,F,y,=,F,cos30,o,sin45,o,F,z,=,F,sin30,o,参见动画：例题,1(2),7,例 题 2,例题,如图所示圆柱斜齿轮，其上受啮合力,F,n,的作用。已知斜齿轮的啮合角(螺旋角),和压力角,，,试求力,F,n,沿,x,，,y,和,z,轴的分力。,空间,力系,8,例 题 2,例题,运 动 演 示,空间,力系,参见动画：,圆柱斜齿轮受力分析,9,例 题 2,例题,将力,F,n,向,z,轴和,Oxy,平面投影,解：,空间,力系,10,例 题 2,例题,沿各轴的分力为,将力,F,xy,向,x,，,y,轴投影,空间,力系,11,二、空间汇交力系的合力与平衡条件,空间汇交力系的合力等于各分力的矢量和，合力的作用线通过汇交点。,1、空间汇交力系的合力,合力,F,R,的大小为:,合力,F,R,的方向余弦为,:,12,例 题 3,例题,在刚体上作用着四个汇交力，它们在坐标轴上的投影如下表所示，试求这四个力的合力的大小和方向。,由表得：,解,：,F,1,F,2,F,3,F,4,单位,F,x,1,2,0,2,kN,F,y,10,15,5,10,kN,F,z,3,4,1,2,kN,空间,力系,13,例 题 3,例题,所以合力的大小为,合力的方向余弦为,合力,F,R,与,x，y，z,轴间夹角,空间,力系,14,空间汇交力系平衡的必要和充分条件为：,该力系中所有各力在三个坐标轴上的投影的代数和分别等于零。,2、空间汇交力系的平衡条件,即,空间汇交力系平衡的必要和充分条件为：,该力系的合力等于零。,称为平衡方程,空间汇交力系的平衡方程,15,例 题 4,例题,如图所示，用起重机吊起重物。起重杆的,A,端用球铰链固定在地面上，而,B,端则用绳,CB,和,DB,拉住，两绳分别系在墙上的,C,点和,D,点，连线,CD,平行于,x,轴。已知,CE=EB=DE,角,=30,o,，,CDB,平面与水平面间的夹角,EBF,= 30,o,重物,G=,10 kN。,如不计起重杆的重量,试求起重杆所受的力和绳子的拉力。,空间,力系,参见动画：例题,4,16,例 题 4,例题,1.,取杆,AB,与重物为研究对象，受力分析如图。,解：,x,z,y,30,o,A,B,D,G,C,E,F,z,y,30,o,A,B,G,E,F,F,1,F,A,其侧视图为,空间,力系,x,z,y,30,o,A,B,D,G,C,E,F,F,1,F,2,F,A,17,例 题 4,例题,3,.,联立求解,。,2,.,列平衡方程。,空间,力系,x,z,y,30,o,A,B,D,G,C,E,F,F,1,F,2,F,A,z,y,30,o,A,B,G,E,F,F,1,F,A,18,第,2,节 力对点的矩和力对轴的矩,一、力对点的矩的矢量表示,矢量的模：,矢量的方位：,和力矩作用面的法线方向相同,矢量的指向：,由右手螺旋法则确定,力对点的矩矢等于矩心到该力作用点的矢径与该力的矢量积。,力矩矢,参见动画：,空间力对点的矩,19,力矩矢不可任意移动为定位矢量。,20,二、,力对轴的矩,力对轴之矩：是使物体绕轴转动效应的度量。,21,动画,力对轴的矩,参见动画：,力对轴的矩(1),22,力对轴的矩,力对轴的矩是一个代数量，其绝对值等于该力在垂直该轴的平面上的投影对于这个平面与该轴交点的矩。其正负号如下确定：从,z,轴正端来看，若力的这个投影使物体绕该轴逆时针转动，则取正号，反之为负。,动画,右手螺旋法则：,拇指指向与,z,轴一致为正，反之为负。,1,、定义,参见动画：,力对轴的矩(,2,),23,力对轴的矩,2、力对轴的矩等于零的情形 ：,力和轴平行；,力的作用线与轴相交。,动画,当力与轴在同一平面时，力对该轴的矩等于零。,参见动画：,力对轴的矩等于零,24,3、力对轴的矩之解析表达式,如力,F,在三个坐标轴上的投影分别为,F,x,，,F,y,，,F,z,，,力作用点,A,的坐标为,x,，,y,，,z,，,则,参见动画：,力对轴的矩解析表达式,25,三、力对点的矩与力对通过该点的轴的矩的关系,力对点的矩矢在通过该点的某轴上的投影，等于力对于该轴的矩。,又由于,所以力对点,O,的矩为：,力对点之矩的计算可以先计算力对轴之矩，然后自用上式来求力对点之矩。,26,例 题 5,空间,力系,例题,手柄,ABCE,在平面,Axy,内,在,D,处作用一个力,F,，,如图所示，它在垂直于,y,轴的平面内，偏离铅直线的角度为,。,如果,CD=b，,杆,BC,平行于,x,轴,杆,CE,平行于,y,轴，,AB,和,BC,的长度都等于,l,。,试求力,F,对,x,，,y,和,z,三轴的矩。,参见动画：,例题5,27,例 题 5,应用合力矩定理求解。,力,F,沿坐标轴的投影分别为：,由于力与轴平行或相交时力对该轴的矩为零，则有,解：,空间,力系,方法1,例题,28,例 题 5,应用力对轴的矩之解析表达式求解。,因为力在坐标轴上的投影分别为：,力作用点,D,的坐标为：,空间,力系,方法,2,例题,则,29,在轴,AB,的手柄,BC,的一端作用着力,F,，,试求这力对轴,AB,的矩。已知,AB=,20 cm，,BC=,18 cm，,F=,50N，,且,=45，,=,60。,x,z,y,A,B,C,F,x,1,y,1,例题,空间,力系,例 题 6,30,例 题 6,x,z,y,A,B,C,F,F,x,1,y,1,解：,力,F,对,AB,的矩等于这力在平面,Bxy,上的投影,F,对点,B,的矩，即,例题,空间,力系,31,第,3,节 空间力偶,1、力偶矩以矢量表示 力偶矩矢,空间力偶的三要素,（1） 大小：力与力偶臂的乘积；,（2） 方向：转动方向；,（3） 作用面：力偶作用面。,32,力偶矩矢,33,作用在同一刚体上的两个空间力偶，如果其力偶矩矢相等，则它们彼此等效。,空间力偶可以平移到与其作用面平行的任意平面上而不改变力偶对刚体的作用效果；,可以同时改变力与力偶臂的大小或将在其作用面内任意移转，,只要力偶矩矢的大小,、方向不变，其作用效果不变。,力偶矩矢是空间力偶系的唯一度量。,二、空间力偶等效定理,34,任意个空间分布的力偶可合成为一个合力偶，合力偶矩矢等于各分力偶矩矢的矢量和。,三、空间力偶系的合成与平衡条件,即：,合力偶矩矢的大小和方向余弦,1、空间力偶系的合成,35,例 题 7,例题,工件如图所示，它的四个面上同时钻五个孔，每个孔所受的切削力偶矩均为,80,Nm,。,求工件所受合力偶的矩在,x,，,y,，,z,轴上的投影,M,x,，,M,y,，,M,z,，,并求合力偶矩矢的大小和方向。,空间基本,力系,36,例 题 7,例题,将作用在四个面上的力偶用力偶矩矢表示，并平移到,A,点,。,可得,所以合力偶矩矢的大小,合力偶矩矢的方向余弦,解：,A,空间基本,力系,参见动画：,空间力偶系的合成,37,2、空间力偶系的平衡条件,空间力偶系平衡的必要和充分条件是：该力偶系的合力偶矩等于零，亦即所有力偶矩矢的矢量和等于零。,即：,空间力偶系的平衡方程,空间力偶系平衡的必要和充分条件是：该力偶系中的所有力偶矩矢在三个坐标轴上投影的代数和分别等于零。,38,图示的三角柱刚体是正方体的一半。在其中三个侧面各自作用着一个力偶。已知力偶（,F,1,，,F,1,）,的矩,M,1,=20 Nm；,力偶（,F,2,，,F,2,）,的矩,M,2,=20 Nm；,力偶（,F,3,，,F,3,）,的矩,M,3,=20 Nm。,试求合力偶矩矢,M,。,又问使这个刚体平衡，还需要施加怎样一个力偶。,例 题 11,例题,x,z,y,O,F,1,F,2,F,3,空间基本,力系,39,1,.,画出各力偶矩矢。,例 题 11,例题,2,.,合力偶矩矢,M,的投影。,解：,空间基本,力系,参见动画：,例题11,40,3,.,合力偶矩矢,M,的大小和方向。,4,.,为使这个刚体平衡，,需加一力偶，其力偶矩矢为,M,4,= M,。,x,z,y,45,O,M,1,45,M,2,M,3,例 题 11,例题,空间基本,力系,41,第,4,节 空间任意力系向一点的简化主矢和主矩,1、空间任意力系向一点的简化,参见动画：,力系向点简化,42,i,=1,，,2,，,n,43,空间任意力系向一点,O,简化，可得一力和一力偶。这个力的大小和方向等于该力系的主矢，作用线通过简化中心；这力偶的矩矢等于该力系对简化中心的主矩。,主矢与简化中心的位置无关，主矩一般与简化中心的位置有关。,44,俯仰力矩,飞机仰头,偏航力矩,飞机转弯,滚转力矩,飞机绕,x,轴滚转,侧向力,飞机侧移,有效升力,飞机上升,有效推进力,飞机向前飞行,空间力系简化的实际意义,参见动画：,空间力系简化的实际意义,45,2、空间任意力系的简化结果分析,（1）若 则力系可合成一个,合力偶,，其矩等于原力系对于简化中心的主矩,M,O,。,此时主矩与简化中心的位置无关,。,（2）若 ，则力系可合成为一个,合力,，主矢 等于原力系合力矢 ，合力 通过简化中心,O,点。,（此时与简化中心有关，换个简化中心，主矩不为零）,（3）,若 此时分三种情况讨论,。,即：,既不平行也不垂直时,46,O,R,M,d,F,=,r,合力作用线距简化中心为,d,可进一步简化为一合力。,若,若,为力螺旋的情形,（又移动又转动）,力螺旋中心轴过简化中心,47,动画,力螺旋实例,第4章,空间任意力系,参见动画：,用改锥拧螺钉时施加的力螺旋,参见动画：,钻头钻孔时施加的力螺旋,48,时，空间力系为平衡力系,当,力螺旋中心轴距简化中心为,当 既不平行也不垂直时,（4）若,拧螺丝,炮弹出膛时炮弹螺线,49,第,5,节 空间力系的平衡方程,空间任意力系平衡的必要和充分条件是：该力系的主矢和对于任一点的主矩都等于零。,1.空间任意力系的平衡方程,空间平行力系的平衡方程,2.空间约束类型举例,P88,表4-1,50,球 铰 链,动画,空间约束及其约束力,参见动画：,球铰约束结构以及约束力与示意简图,参见动画：,带有销子的夹板,51,3,.,解题步骤、技巧与注意问题,：,1),解题步骤,：, 选研究对象,(与平面的相同) 画受力图, 选坐标、列方程, 解方程、求出未知数,4.空间力系平衡问题举例,2),解题技巧,：, 用取矩轴代替投影轴，解题常常方便。,一般从整体局部的研究方法。,52,例 题 12,水平传动轴上装有两个胶带轮,C,和,D,，,半径分别是,r,1,=,0.4 m,，,r,2,=,0.2 m,.,套在,C,轮上的胶带是铅垂的，两边的拉力,F,1,=,3 400 N,，,F,2,=,2 000 N,，,套在,D,轮上的胶带与铅垂线成夹角,=,30,o,，,其拉力,F,3,=,2,F,4,。,求在传动轴匀速转动时，拉力,F,3,和,F,4,以及两个径向轴承处约束力的大小。,空间,力系,例题,53,例 题 12,以整个系统为研究对象，建立如图坐标系,Oxyz,，,画出系统的受力图,。,解：,为了看清胶带轮,C,和,D,的受力情况，作出右视图。,空间,力系,例题,54,例 题 12,下面以对,x,轴之矩分析为例说明力系中各力对轴之矩的求法。,力,F,Ax,和,F,Bx,平行于轴,x,，,力,F,2,和,F,1,通过轴,x,。,它们对轴,x,的矩均等于零。,力,F,Az,和,F,Bz,对轴,x,的矩分别为,F,Az,0.25 m,和,F,Bz,1.25 m,。,力,F,3,和,F,4,可分解为沿轴,x,和沿轴,z,的两个分量，其中沿轴,x,的分量对轴,x,的矩为零。所以力,F,3,和,F,4,对轴,x,的矩等于,（,F,3,+,F,4,）cos 30,o, 0.75 m,空间,力系,例题,55,例 题 12,系统受空间任意力系的作用，可写出六个平衡方程。,又已知,F,3,=,2,F,4,，,故利用以上方程可以解出所有未知量。,56,例 题 12,如将坐标轴建立在点,A,，,则平衡方程更简单。,又已知,F,3,=,2,F,4,，,故利用以上方程可以解出所有未知量。,57,例题,例 题 12,空间,力系,将空间力系问题转化为平面问题求解,1. 以系统为研究对象,2. 受力分析如图示,3.整个系统的受力图向三个坐标平面投影，可得到三个平面平衡力系：,58,4.整个系统的受力图向平面,Oxz,投影，可得到一个平面平衡力系：,F,3,=,2,F,4,F,3,=,5600N,F,4,=,2800,N,例题,例 题 12,空间,力系,59,5.整个系统的受力图向平面,Oyz,投影，可得到一个平面平衡力系：,F,Az,=-,2075N,F,Bz,=,5750,N,例题,例 题 12,空间,力系,60,6.整个系统的受力图向平面,Oxy,投影，可得到一个平面平衡力系：,F,Bx,=-,2800N,F,Ax,= -1400N,例题,例 题 12,空间,力系,61,第,6,节 重心,空间平行力系，当它有合力时，合力的,作用点,C,就是此,空间平行力系的中心,。,一、空间平行力系的中心,由合力矩定理,：,物体重心问题可以看成是空间平行力系中心的一个特例,。,62,63,二、重心坐标公式,重心就是平行力系的中心。,1重心坐标的一般公式,2均质物体的重心坐标公式,这时的重心称为,体积的形心,64,3,薄壳的重心,均质物体的重心就是物体的几何中心，通常也称形心。,4,均质等截面细杆的重心,这时的重心称为,面积的重心,这时的重心称为,线段的重心,65,三、物体重心的求法,1简单几何形状物体的重心,对称性: 矩形, 圆,查表,表,6,-2,P123,2用组合法求物体的重心,组合物体由简单几何图形的物体组合而成，而这些物体的重心是已知的，利用重心坐标公式即可求出组合形物体的重心。,若在物体内切去一部分，要求剩余部分物体的重心，可应用分割法，只是切去部分的面积（或体积）应取负值。,（1）分割法,（2）负面积法（负体积法）,66,3用实验法求物体的重心,对于形状复杂不易用公式计算的物体，工程中还采用实验方法来测定复杂形状物体的重心,（1）悬挂法,两直线相交于点,C,即为重心,图,a,中左右两部分的重量是否一定相等？,67,（2）称重法,则,有,整理后，得,68,例题,例 题 14,空间,力系,解,：,由于对称关系，该圆弧重心必在,Ox,轴，即,y,C,=0。,取微段,求半径为,R,，,顶角为2,的均质圆弧的重心,。,O,69,例题,例 题 14,空间,力系,解,：,方法：利用积分来求重心；,又：,求半径为,R,，,顶角为2,的均质扇形面积的重心,。,方法：利用刚才所求弧,长 重心的结果：,即：,O,求半径为 弧长的重心，,70,图示为,Z,形钢的截面,图中尺寸单位为,cm,。,求,Z,形截面的重心位置。,将,图,形截面分割为三部分，每部分都是矩形。设坐标,Oxy,，,它们的面积和坐标分别为：,解:,A,1,=10,30=300（,cm,2,）；,x,1,=-15（,cm,），,y,1,=45（,cm,）,A,2,=40,10=400（,cm,2,）；,x,2,=5（,cm,），,y,2,=30（,cm,）,A,3,=30,10=300（,cm,2,）；,x,3,=15（,cm,），,y,3,=5（,cm,）,例题,例 题 15,空间,力系,71,A,1,=10,30=300（,cm,2,）；,x,1,=-15（,cm,），,y,1,=45（,cm,）,A,2,=40,10=400（,cm,2,）；,x,2,=5（,cm,），,y,2,=30（,cm,）,A,3,=30,10=300（,cm,2,）；,x,3,=15（,cm,），,y,3,=5（,cm,）,例题,例 题 15,空间,力系,72,已知振动器中的偏心块的几何尺寸，,R,=10（,cm,），,r,=1.3（,cm,），,b,=1.7（,cm,）,，,求偏心块重心的位置。,设坐标,Oxy,，,其中,Oy,轴为对称轴。根据对称法性，,x,C,=0,。,将偏心块分割为三部分：,半径为,R,的半圆,半径为,（,r,+,b,）,的半圆,半径为,r,的小圆,解：,例题,例 题 16,空间,力系,73,三部分的面积及其坐标为：,y,3,=0,半径为,R,的半圆,半径为,（,r,+,b,）,的半圆,半径为,r,的小圆,例题,例 题 16,空间,力系,74,偏心块重心,C,的坐标分别为：,x,C,=0，,y,C,=3.9（,cm,）,例题,例 题 16,空间,力系,75,6,-1，,6,-6，,6,-,10,，,6,-14,6,-,15,，,6,-,19,习题,