知其然更知其所以然中国先哲

,Click to edit Master text styles,Second level,Third level,Fourth level,Fifth level,*,Click to edit Master title stylea,乐经良,Company Logo,Click to edit Master text styles,Second level,Third level,Fourth level,Fifth level,Click to edit Master title stylea,*,知其然,更知其所,以然,.,-,中国先哲,哪里有数,哪里就,有美,.,-Proclus,数学实验,上海交大数学科学学院,的,计 算,你也许能写出,=,3.1415926535,实际问题,圆周率,我们十分熟悉的常数,.,用,Matlab,可以求出,到,几百位,digits(100),vpa(pi),但你会计算,的值吗？你又能用几种方法计算,？,ans,=,刘徽割圆法,从正六边形开始，逐步求边长与面积,o,A,B,C,D,相应,OAC,的,面积,设边数为,62,n,的正多边形边长为,a,n,递推法,于是,的值,(,刘徽计算到,1,92,边形面积，得到,3.141,),用,Mat,lab,计算,m,文件,function,calpi(n),a(1)=1;,for,i=1:n-1,a(i+1)=sqrt(2-sqrt(4-a(i)2);,end,S=3*2(n-1)*a(n),命令窗口输入,format long g,calpi(5),如何提高精度,提高多边形的边数,不能完全达到目的,在,Matlab,文件中解决 符号运算,function,calpi1(n),a(1)=sym(1);,for,i=1:n-1,a(i+1)=sym(sqrt(2-sqrt(4-a(i)2);,end,S=3*2(n-1)*a(n);,vpa(S,60),%,最后进行数值计算，,60,为数值计算过程中保留的有效数字,任务,1,德国人鲁道夫用一生计算圆周率。他同样是用圆的内接多边形逼近圆周，不过他是从正方形开始成倍增加边数。试推导出他计算所采用的递推公式，然后求,的近似值到,10,位和,20,位,.,利用幂级数计算,积分导出,取,x=,1,(,S,n,的迭代格式,),用,Mat,lab,计算,创建,m,文件,calpi 2.m,，,内容如下,：,function,calpi2(n),S=0;,for,i=1:n,if,mod(i,2)=0,S=S-1/(2*i-1);,else,S=S+1/(2*i-1);,end,end,S=4*S,calpi2(1000),ans,=,calpi2(10000),ans,=,3.,结果如何,?,calpi2(20000),ans,=,3.,精度提高很慢,!,能不能算得更快一点、更精确一点？,Machin,公式,简单公式,用,Mat,lab,创建,m,文件,function,calpi2_1(n),S=0;,for,i=1:n,if,mod(i,2)=0,S=S-1/(2*i-1)*(1/(2(2*i-1)+1/(3(2*i-1);,else,S=S+1/(2*i-1)*(1/(2(2*i-1)+1/(3(2*i-1);,end,end,S=vpa(4*S,30)%,观察,30,位有效数字,calpi2_1(10),ans,=,计算结果,calpi2_1(20),ans,=,calpi2_1(50),ans,=,一个结论,算法很重要,计算机速度,300,次,/,秒,33.8610,40,兆,/,秒,从,1950,2000,年,10,4,次,/,秒,10,12,次,/,秒，提高,1,亿倍,算法,(,解线性方程组,高斯消去法,多重网格法,),计算机速度,运算次数：,10,18,次,10,6,次，提高,1,万亿倍,任务,2,2),验证公式,1),用反正切函数的幂级数展开式结合有关公式,简单公式和,Machin,公式所用的项数,.,求,，若要精确到,40,位、,50,位数字，试比较,试试用此公式右端作幂级数展开完成任务,1),所需的项数,3,）回忆在微积分中学习到的其它级数形,式是否可用来求,的值到,10,位、,20,位、,30,位，相应需要级数的多少项？,将,0,1,区间,n,等分，取,x,k,=k/n,利用数值积分方法,y,k,=,1/(1+,x,k,2,),Mat,lab,计算,创建,m,文件,梯形法,function,calpi3(n),x=0:1/n:1;,y=1./(1+x.2);,S=2*sum(y)-1-0.5;,2*S/n,calpi3(100),ans,=,calpi3(500),ans,=,calpi3(10000),ans,=,用数值积分计算,，分别用梯形法和,Simpson,法精确到,10,位数字，用,Simpson,法精确到,15,位数字,.,任务,3,针与平行线相交的次数为,n,Monte Carlo,法,从,Buffon,落针实验谈起：,纸上一组平行线距离为,1,，,将长度为,1,的针多次地扔到,纸上。若扔针次数为,m,而其中,Buffon,指出：,的数值与,m/n,有关，他由此,求出,的近似值为,3.142,设计方案,4,m/n,计算机模拟：产生区间,0,1,上数目为,n,的一组,在正方形,0,x,1,0,y,1,上随机的投大量的点，那么,落在四分之一园内的点数,数,m,与在正方形内的点数,n,之比,m/n,应为这两部分图形,面积之比,/4,故,随机数,(,x,y,),，,计算满足,x,2,+y,2,1,的点数,m,Mat,lab,计算,创建,m,文件,function,y=calpi4(k),m=0;,for,n=1:k,if,rand(1)2+rand(1)2=1,m=m+1;,end,;,end,;,y=4*m/k;,观察结果，思考为什么？,2),设计方案用计算机模拟,Buffon,实验,任务,4,看能否求得,5,位精确数字？,1),用,Monte Carlo,法计算,，除了加大随机数，,在随机数一定时可重复算若干次后求平均值，,其他方法,1/,的展开式,Ramanujan,公式,算术几何平均值迭代法,利用积分,推导公式,任务,5,用此公式计算,的近似值，效果如何？,有必要计算那么精确吗,十位小数就足以使地球周界准确到一英,寸以内，三十位小数便能使整个可见宇宙周,边准确到连最强大的显微镜都不能分辨的一个,度量，三十五位小数的,值计算能把太阳系,包围起来的圆的周长，误差还不到质子直径的,百万分之一,计算,的意义,反映数学和计算技术发展的一个侧面,“,历史上一个国家所算得的圆周率的准确程度，可以作为衡量这个国家当时数学发展水平的指标。”,3.1415926,3.1415927,(,领先世界,900,余年,),位数,100,万,10.1,亿,2061,亿,12411,亿,2.7,万亿,10,万亿,年代,1973 1989 1999 2002 2010.1 2011.10,国家,法国 美国 日本 日本 法国 日本,人工计算：实验法,几何法 分析法,用计算机,:,始于,1949,2035,位,（,Von Neumann,）,最高记录：,808,位,(1948),家用电脑,运用超级计算机,已算到小数位,60,万亿位,引发新的概念、方法和思想,产生新的问题,测试或检验超级计算机的各项性能,(,Super PI,),Intel,公司推出奔腾（,Pentium,）时发现问题,雅虎科技公司的研究员尼古拉斯,斯则,(Nicholas Sze),，采用“云计算”技术，利用,1000,台电脑同时计算，历时,23,天，将圆周率精确到小数点后,2,千万亿位,1),利用学习过的知识,(,或查阅资料,),，提出其他,计算,的方法,(,先用你学过的知识证明,),，然后,2),对你在实验中应用的,计算,的方法进行比较,实践这方法,.,任务,5,分析讨论,任务,e,是一个重要的超越数,还有,试用上述公式或其他方法近似计算,e,谢谢各位！,