椭球的几何参数与椭球面上有关数学性质

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,第四章 地球椭球及其数学投影变换的基本理论,第四章 第一讲主要内容,一、地球椭球的几何、物理参数,二、地球椭球参数间的相互关系,三、旋转椭球面上的几种坐标系,四、各坐标系间的关系,上一讲应掌握的内容,1、垂线偏差公式,和,拉普拉斯方程,2、,测定垂线偏差的方法,天文大地测量方法、,重力测量方法,、天文重力测量方法、GPS测量方法,(维宁.曼尼兹公式),3、测定大地水准面差距的方法,地球重力场模型法、,斯托克司方法,、,卫星无线电测高方法、GPS高程拟合法、,最小二乘配置法,等,上一讲应掌握的内容（续）,4.,实现椭球定位的方法,一点定位,多点定位,5.确定地球形状的基本概念,天文大地测量方法：,弧线法；面积法,重力测量方法,一、,旋转椭球基本几何参数,旋转椭球的形状和大小常用子午椭圆的五个基本几何参数(或称元素)表示,:,长半轴,a,短半轴,b,椭圆的扁率,椭圆的第一偏心率,椭圆的第二偏心率,b,平,行,圈,赤,道,K,.,午,子,圈,O,X,Y,Z,A,N,S,a,a,e,和,e,是子午椭圆的焦点离开中心的距离与椭圆半径之比。,它们之间的几个关系式：,b,平,行,圈,赤,道,K,.,午,子,圈,O,X,Y,Z,A,N,S,a,a,用两个几何元素即可椭球的形状和大小，但至少一个长度元素。通常用:,a,或,旋转椭球的直角坐标方程,黑板画图,二、地球椭球（正常椭球）4个基本参数及关系,地球椭球（正常椭球）仅用几何元素不能反映其物理意义，通称用4个基本参数来反映几何物理特征。,根据,4个基本参数可求得椭球扁率：,近似公式：,精密公式：,式中：,三、旋转椭球计算常用符号及互相关系,为简化书写，在,旋转椭球计算中,常引入以下符号,将：,a、b、,、c、e、e、,t、,2,、,W、V,写在黑板,四、经线和纬线的曲线方程,起始子午线的曲线方程：,经度为,L,的经线方程：,两个面的截线,纬度为,B,的纬线方程：,五、经线、纬线、法线的特性,B,M,经线与纬线互相垂直,除赤道、两极上的法线外，法线不通过椭球中心,纬度较高的点，其法线与旋转轴的交点就较低,同一点的,经线切线,与,纬线切线,垂直，也与,法线,垂直，三者可构成三维直角坐标系,平行圈的,主法线,、,副法线,及,切线,亦可构成三维直角坐标系,R,S,T,P,O,N,Z,六、表示旋转椭球面上的点的几种坐标系,1.子午面直角坐标系,设椭球面上,P,点的大地经度为,L,，在过,P,点的子午面上，以子午圈椭圆中心为原点，建立,x,y,平面直角坐标系。,(,L,x,y,),2.地心纬度坐标系,设椭球面上,P,点的大地经度为,L,，在此子午面上以椭圆中心,O,为原点，以,地心纬度,，,向经,为参数建立的坐标系。点的位置用（,L,，,，,）,表示。,3.归化纬度坐标系,设椭球面上,P,点的大地经度为,L,，在此子午面上以椭圆中心,O,为圆心，,以椭球长半径,a,为半径作辅助圆，延长,与辅助圆相交,点，则,OP,与,X,轴夹角称为,P,点的,归化纬度,u,，,以归化纬度,u,为参数建立的坐标系。点的位置用（,L,，,u,）,表示。,图,4.大地极坐标系,y,x,o,P,P,2,x,y,y,x,o,P,P,P,1,P,2,y,x,o,u,N,P,M,A,S,七、各坐标系间的关系,（一）,子午平面坐标系与大地坐标系的关系,N,子午平面坐标系与大地坐标系的关系(续),L,（二）,空间直角坐标与子午面直角坐标系的关系,y,x,x,（三）,空间直角坐标系与大地坐标系的关系,在椭球面上的点：,不在椭球面上的点：,由空间直角坐标计算相应大地坐标,书上错,x,y,（四）,空间直角坐标系与归化纬度坐标系的关系,B,始子午线的参数方程,空间直角坐标系,同归化纬度坐标系的关系,对于经度为任意值的椭球面上有,b,a,y,M,0,x,O,（五）,空间直角坐标系与地心纬度坐标系的关系,（六）,B、u、,之间的关系,在赤道圈上,：,B,=,u,=,=,0,在两极处,:,B,=,u,=,=,90,在其他处,:,B,u,u,B,大地纬度、地心纬度、归化纬度之间的差异很小，经过计算，当,B=45,时,八、旋转椭球面的几何性质,对称性,：对于三个坐标面、三个坐标轴、坐标原点都是对称的。,有界性,：,正则性,：旋转椭球面是一个连续、封闭的正则曲面，即每个曲面点都有唯一确定的非零的法向量。,不可展性,：（柱面、锥面是可展曲面）,地图投影须顾及旋转椭球面不可展性。,结束,谢谢!,天文大地测量方法,弧线法：,按子午圈弧长或平行圈弧长的弧度测量法。在子午圈上测量纬度差，在平行圈上测量经度差。,面积法：,现代推求新的椭球元素是在原有旧的椭球元素基础上，综合利用天文、大地、重力及空间测量等资料，同椭球定向、定位等一起实现的。,广义弧度测量方程式,广义弧度测量方程式,其未知数是三个平移参数：,X,0,，,Y,0,，,Z,0,，三个旋转参数：,x,，,y,，,z,，一个尺度比参数,m,，及椭球大小和形状参数,a,，,。通常，在实用上舍去旋转和尺度比参数。,在每个天文大地点上都可以列出如上的弧度方程式，依据,条件下求出椭球元素、定位元素、定向元素等,多点定位的方法过程,（对于我国）,1)由,广义弧度测量方程,采用最小二乘法求椭球定位参数,采用,IUGG 75,椭球参数。,2)由广义弧度测量方程计算得到大地原点上的:,大地原点处80椭球的垂线偏差,K,=,-,1.9,及,K,=,-,1.6,，高程异常值差,K,=,-,14.2m。,忽略两种椭球坐标轴指向不平行的影响。,3)再由大地原点上测得的 ，按垂线偏差公式与拉普拉斯方程计算大地原点的起算数据。,利用拉普拉斯点的成果和以有椭球参数求解,重力测量方法,应用克莱罗定理确定椭球大小和形状参数。,在地面上至少测定二个点的重力，并把它们归算到平均海水面上，并用天文方法测定这两点大地纬度及地球自转角速度，用几何方法确定椭球长半轴,a,，就可用,克莱罗定理求解椭球扁率,。,