无穷小量和无穷大量

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,一、无穷小量,1、定义:,极限为零的变量称为无穷小量.,5 无穷小量与无穷大量,设,f,在某,U,(,x,0,),内有定义,若,则称,f,为当,x,x,0,时的无穷小量。,若函数,g,在某,U,(,x,0,),内有界，则称,g,为,x,x,0,时的有界量。,类似可定义,xx,0,+,xx,0,-,x+,x,以及,x,时的无穷小量与有界量。,任何无穷小量都是有界量,。,例1,注意,（1）无穷小是一种,变量,不能与,很小,的,数,混淆;,（2）零是可以作为无穷小的唯一的常数.,问：,无穷小是否为,很小的数,？,很小的数,是否为无穷小？,二、无穷小量与极限的关系,定理1,意义：,（1）将一般极限问题转化为特殊极限问题(无穷小量);,三、无穷小量的性质,性质1,有限个,相同类型的,无穷小量的和、差、积仍是 无穷小量,.,性质2,（,同一过程中的,）,有界量,与无穷小量的乘积是无穷小,，,即 O(1),o(1)=o(1).,用迫敛性可以证明。,证法1：,证法2,性质2,（,同一过程中的,）O(1),o(1)=o(1).,即 O(1),o(1)=o(1).,。,时，恒有,使得当,即,M,x,u,x,x,M,-,$,),(,0,0,0,1,0,1,d,d,注意,无穷多个,无穷小量,的代数和,未必,是无穷小；,无穷多个,无穷小量,的乘积,未必,是无穷小.,四、无穷小量阶的比较,无穷小量之比,的极限（,0/0,）可以出现各种情况：,出现不同情况的原因是无穷小趋向于零的,速度,不同.,例如,不可比.,观察各极限,设当,xx,0,时，,f,与g均为无穷小量，,1,若 则称当,x,x,0,时,f,为,g,的,高阶,无,穷小量,或称,g,为,f,的,低阶,无穷小量，记作,例如，当,x,0时，,x,x,2,x,n,(,n,为正整数)等都是无穷小量，有,若存在,正数,K,和,L,，使得在某,U,(,x,0,),上有,则称,f,与,g,为当,x,x,0,时的,同阶,无穷小量。,f,与,g,必为同阶无穷小量。,2.,注,若,f,(,x),g,(,x,)是同阶无穷小量，则可记作,f,(,x),=,O,(,g,(,x,),但若,f,(,x),=,O,(,g,(,x,),则,f,(,x),与,g,(,x,)不一定是同阶无穷小量。,属于,函数类,3,若 则称当,x,x,0,时,f,与,g,是等价无,穷小量，记作,f,(,x,),g,(,x,)(,xx,0,).,注：并不是任何两个无穷小量都可以进行这种阶的比较。,例如，当,x,0,时，,x sin 1/x,和,x,2,都是无穷小量，,当,x,0,时不是有界量，,当,x,0,时不是有界量，,故当,x,0时，,x sin 1/x,和,x,2,不能比较。,例1,例,解,常用等价无穷小:,五、等价无穷小量在求极限问题中的作用,定理 3,设函数,f,g,h,在,U,(,x,0,),内有定义，且有,f(x)g(x)(,xx,0,).,证（2）,推论,证,证毕,例5,解,例6,解,解,错,注意：,只可对乘积中的无穷小因子作等价无穷小代换，对于代数和中各无穷小项不能随意作等价无穷小量代换。,作 业,P66.1(4),2(2),六、无穷大量,定义2,设函数,f,在某,U,(x,0,)内有定义，若,则称函数,f,当,x,x,0,时有非正常极限，记作,若将,“,|,f,(,x,)|,G,”,换成,“,f,(,x,),G,”,或“,f,(,x,),G,”,则分别称,f,当,x,x,0,时有非正常极限,或,，分别记作,类似可定义其他极限过程 的非正常极限。,定义 3,对于自变量,x,的某种趋向（或,n,时），所有以，或为非正常极限的函数（包括数列），都称为无穷大量。,至此，我们定义了极限的全部24种情形。,刻画函数极限值情况。,刻画自变量变化情况。,注意,（1）无穷大量是变量,不能与很大的数混淆;,（3）无穷大量是一种特殊的无界变量,但是无界变量未必是无穷大量.,证,证,七、无穷小与无穷大的关系,定理4,在同一过程中,无穷大量的倒数为无穷小量;恒不为零的无穷小量的倒数为无穷大量,.,证,意义：,关于无穷大的讨论,都可归结为关于无穷小的讨论.,注,对无穷大量也可以比较它们趋于无穷大的速度，定义,高（低、同）阶无穷大,以及,等价无穷大,；也可以进行,等价无穷大量替换,。,例3,分析,证明,证明,八、曲线的渐近线,定义:,1.垂直渐近线,即动点沿着上下方向无限远离原点时，动点到直线,x,=,x,0,距离趋于0。,例如,有垂直渐近线两条:,求垂直渐近线，一般关注分式中分母为0的点。,2.水平渐近线,例如,有水平渐近线两条:,即动点沿着左右方向无限远离原点时，动点到直线,y,=,b,距离趋于0。,3.斜渐近线,即动点沿着直线,y=kx,方向无限远离原点时，动点到直线,y,=kx+,b,距离趋于0。,由此得到斜渐近线的求法:,注意,:,例4,解,作 业,P66.4（3）,