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单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,第二章 随机向量,2.1,多元分布,2.2,数字特征,2.3,欧氏距离和马氏距离,*2.4,随机向量的变换,*,2.5,特征函数,1,2.1,多元分布,一、多元概率分布函数,*,二、两个常用的离散型多元分布,三、多元概率密度函数,四、边缘分布,五、条件分布,六、独立性,2,一、多元概率分布函数,一个向量，若它的分量都是随机变量，则称之为,随机向量,。,随机变量,x,的,分布函数,：,随机向量,的,分布函数,：,3,三、多元概率密度函数,一元的情形：,多元的情形：,多元密度,f,(,x,1,x,p,),的,性质,：,4,四、边缘分布,设,x,是,p,维随机向量，由它的,q,(0,。,(2),设,A,为常数矩阵，,b,为常数向量，则,当,p,=1,时，退化为,例,的分量之间存在线性关系（以概率,1,）。,15,例,2.2.3,设,x,=(,x,1,x,2,x,3,),的数学期望和协差阵分别为,令,y,1,=2,x,1,x,2,+4,x,3,y,2,=,x,2,x,3,y,3,=,x,1,+3,x,2,2,x,3,试求,y,=(,y,1,y,2,y,3,),的数学期望和协方差矩阵。,(3),设,A,和,B,为常数矩阵，则,(4),设,为常数矩阵，则,16,推论,证明,（,先证推论，再证性质,(4),）,17,(5),设,k,1,k,2,k,n,是,n,个常数，,x,1,x,2,x,n,是,n,个相互独立的,p,维随机向量，则,18,三、相关矩阵,随机变量,x,和,y,的,相关系数,定义为,的,相关阵,定义为,19,若,(,x,y,)=0,，则表明,x,和,y,不相关。,x,=,y,时的相关阵,(,x,x,),称为,x,的,相关阵,，记作,R,=(,ij,),，这里,ij,=,(,x,i,x,j,),ii,=1,。即,R,=(,ij,),和,=(,ij,),之间有关系式：,R,=,D,1,D,1,其中,；,R,和,的相应元素之间的关系式为,20,前述关系式即为,21,标准化变换,最常用的,标准化变换,是令,22,可见，相关阵,R,也是一个非负定阵。,23,2.3,欧氏距离和马氏距离,一、欧氏距离,二、马氏距离,24,一、欧氏距离,之间的,欧氏距离,为,平方欧氏距离为,25,不适合直接使用欧氏距离的例子,下面是各国家和地区男子径赛记录的数据（,1984,年）：,国家和地区,100,米,（秒）,200,米,（秒）,400,米,（秒）,800,米,（分）,1500,米,（分）,5000,米,（分）,10000,米,（分）,马拉松,（分）,阿根廷,10.39,20.81,46.84,1.81,3.7,14.04,29.36,137.72,澳大利亚,10.31,20.06,44.84,1.74,3.57,13.28,27.66,128.3,奥地利,10.44,20.81,46.82,1.79,3.6,13.26,27.72,135.9,比利时,10.34,20.68,45.04,1.73,3.6,13.22,27.45,129.95,百慕大,10.28,20.58,45.91,1.8,3.75,14.68,30.55,146.62,巴西,10.22,20.43,45.21,1.73,3.66,13.62,28.62,133.13,缅甸,10.64,21.52,48.3,1.8,3.85,14.45,30.28,139.95,加拿大,10.17,20.22,45.68,1.76,3.63,13.55,28.09,130.15,智利,10.34,20.8,46.2,1.79,3.71,13.61,29.3,134.03,中国,10.51,21.04,47.3,1.81,3.73,13.9,29.13,133.53,哥伦比亚,10.43,21.05,46.1,1.82,3.74,13.49,27.88,131.35,26,即使单位全相同，但如果各分量的变异性差异很大，则变异性大的分量在欧氏距离的平方和中起着决定性的作用，而变异性小的分量却几乎不起什么作用。,平均,大小,等于,27,图中两个外点哪个更离群？,在实际应用中，为了消除单位的影响和均等地对待每一分量，我们常须先对各分量作标准化变换，然后再计算欧氏距离。,令,，则,28,由于,，故平方和中各分量所起的平均作用都一样。,欧氏距离经变量的标准化之后能够消除各变量的单位或方差差异的影响，但不能消除变量之间相关性的影响。,29,二、马氏距离,之间的平方,马氏距离,定义为,到总体,的平方,马氏距离,定义为,特点,(1),马氏距离不受变量单位的影响，是一个无单位的数值。,30,比例单位变换,如,x,的分量是长度、重量、速度、费用和用时等，则变量的单位变换可表达为,其中 。,31,带有常数项的单位变换,例子,摄氏温度与华氏温度的换算公式：,F,(,C,9,5),32,，,C,(,F,32)5,9,式中,F,华氏温度，,C,摄氏温度。,32,特点,(1),的证明,x,1,x,2,经单位变换后为,y,1,y,2,，即有,33,特点,(2),马氏距离是,x,和,y,经标准化之后的欧氏距离，即,其中,，它们的均值,皆为,0,，协差阵皆为单位阵,I,。,特点,(3),若,，则,即当各分量不相关时马氏距离即为各分量经标准化后的欧氏距离。,34,
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