空间向量的正交分解及坐标表示

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,空间向量的,正交分解,及其坐标表示,学习目标,1.知识与技能：了解空间向量的基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及坐标表示,2.过程与方法：类比平面向量的有关知识，得出空间向量基本定理及坐标表示,。,3.情感态度与价值观：用发展的联系的眼光看问题，认识到事物都是在不断的发展变化的。,学习重点,空间向量基本定理,学习难点,探究空间向量基本定理的过程及定理的应用,1、,平面向量基本定理：,一、预备知识,a,p,一、预备知识,2、,下图中，如何用两个不共线向量 来表示？,O,P,y,x,1,2,3,1,2,i,j,3、,在平面直角坐标系中，取与X轴Y轴方向相同的两个单位向量,、作为基底，在图中作出 =，并写出 的坐标。,=,（,3,，,2,）,O,p,x,y,z,o,i,j,k,二、探究与发现,探究一,设 、为由公共起点,O,的三个两两互相垂直的向量，那么对于空间任意一个向量 ，如何用 、来表示？,Q,P,a,b,p,c,探究二,如果用任意三个不共面向量来代替上述两两互相垂直的向量 ，还有类似结论吗？,O,P,Q,空间向量基本定理：,如果三个向量,a,、,b,、,c,不共面，那么对空间任一向量,p,，存在有序实数组,x,，,y,，,z,，使得,p,xa,yb,zc,。,把不共面的三个向量,a,、,b,、,c,叫做空间的一个,基底,a,b,c,都叫做,基向量,注意,对于基底,a,b,c,需要明确以下几点：,1.,向量,a,b,c,不共面；,2.,空间任意三个不共面向量都可以做空间向量的一个基底；,3.,由于,0,可视为与任意一个非零向量共线，与任意两个非零向量共面，所以三个向量不共面，就隐含着它们都不是,0.,4.,一个基底指一个向量组，一个基向量是指基底中的某一个向量,.,单位正交基底：,如果空间的一个基底的三个基向量互相垂直，且长都为,1,，则这个基底叫做,单位正交基底,常用,e,1,e,2,e,3,表示,空间直角坐标系：,在空间选定一点,O,和一个单位正交基底,e,1,e,2,e,3,以点,O,为原点，分别以,e,1,e,2,e,3,的正方向建立三条数轴：,x,轴、,y,轴、,z,轴，它们都叫做坐标轴,.,这样就建立了一个空间直角坐标系,O-xyz,点,O,叫做原点，向量,e,1,e,2,e,3,都叫做,坐标向量,.,通过每两个坐,标轴的平面叫做,坐标平面,。,x,y,z,O,e,1,e,2,e,3,（,2,）空间向量的坐标表示,给定一个空间坐标系和向量,且设,e,1,e,2,e,3,为坐标向量，由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组,(x,y,z),使,p=xe,1,+ye,2,+ze,3,有序数组,(x,y,z),叫做,p,在空间直角坐标系,O-xyz,中的坐标，记作,.P=(x,y,z),（,2,）空间向量的坐标表示,x,y,z,O,e,3,e,1,e,2,P,三、空间向量的正交分解及其坐标表示,x,y,z,O,i,j,k,P,记作,=(,x,y,z,),由空间向量基本定理，对于空间任一,向量,存在唯一的有序实数组,(,x,y,z,),使,P,P,练习,.正方体,ABCD-A,1,B,1,C,1,D,1,的棱长为2，以A为坐标原点，以,AB,AD,AA,1,为x轴、y轴、z轴正方向建立空间直角坐标系，设向量,，,，为x轴、y轴、z轴正方向的单位向量，用向量,，,，表示向量,AC,1,和,BD,1,。,i,j,k,三、定理应用,例,1,如图，M、N分别是四面体OABC的边OA、BC的中点，P,Q是MN的三等分点。用向量 、表示 和 。,解：,=,解：,练习,.,空间四边形,OABC,中,OA=,a,OB=,b,OC=,c,点,M,在,OA,上,且,OM=2MA,N,为,BC,的中点,则,MN=().,O,A,B,C,M,N,(,A,),a,b,+,c,1,2,2,3,1,2,(B),a,+,b,+,c,1,2,2,3,1,2,(C),a,+,b,c,1,2,2,3,1,2,(D),a,+,b,c,1,2,2,3,2,3,四、学后反思,1,、知识点：,2,、问题探究过程的思路剖析：,课下探究,空间向量基本定理与课本,95,页“思考“栏目中的第二问题有什么联系？你有何体会？,五、作业：,P106 A,组,1.2.,练习,2,空间向量运算的坐标表示,空间向量基本定理：,如果三个向量,a,、,b,、,c,不共面，那么对空间任一向量,p,，存在有序实数组,x,，,y,，,z,，使得,p,xa,yb,zc,。,把不共面的三个向量,a,、,b,、,c,叫做空间的一个,基底,a,b,c,都叫做,基向量,则 叫做,点,A,在此空间坐标系,o-xyz,的,坐标,；,x,y,z,O,A,3.,坐标,向量的坐标,给定一个空间直角坐标系和向量,且设 为坐标向量，则存在唯一的,有序,实数组,(,a,1,a,2,a,3,),使,有序数组,(,a,1,a,2,a,3,),叫做 在空间直角坐标系,O-xyz,中的,坐标,，记作,.,(,a,1,a,2,a,3,),点的坐标,在空间直角坐标系,O-xyz,中，对空间任一点,A,对应一个向量 于是存在唯一的有序实数组,x,y,z,，使,记作,A,x,y,z,分别称作点,A,的,横坐标,纵坐标,竖坐标,.,则,二、空间向量的坐标运算,.,(,注：分母不为零,),若,A(,x,1,y,1,z,1,),B(,x,2,y,2,z,2,),则,AB,=,OB,-,OA=(,x,2,y,2,z,2,),-,(,x,1,y,1,z,1,),=(,x,2,-,x,1,y,2,-,y,1,z,2,-,z,1,),空间一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个,向量的有向线段的,终点的坐标减去起点的坐标,.,二、距离与夹角的坐标表示,1.,距离公式,（,1,）向量的长度（模）公式,注意：此公式的几何意义是表示长方体的对角线的长度。,在空间直角坐标系中，已知、,，则,（,2,）空间两点间的距离公式,2.,两个向量夹角公式,注意：,（,1,）当 时，同向；,（,2,）当 时，反向；,（,3,）当 时，。,练习一：,1.,求下列两个向量的夹角的余弦：,2.,求下列两点间的距离及中点坐标：,答案：,(1,1,，,1),(,1,0,1),解：设正方体的棱长为,1,，如图建,立空间直角坐标系，则,例,1,如图,在正方体中，,，求与所成的角的余弦值,.,如图长方体,ABCD-ABCD,底面边长均为,1,，棱,AA=2,，,M,、,N,分别是,AC,AA,的中点，,（,1,）求,CN,的长,;,（,2,）求,cos,的值,;,（,3,）求证,:ACDM.,A,D,C,B,A,C,D,B,N,M,例题,A,D,C,B,A,C,D,B,N,M,x,y,z,解：（,1,）如图建立空间直角坐标系，则,C(0,1,0),N(1,0,1),（,2,）,A(1,0,2),C(0,1,2),D(0,0,0),CA=(1,-1,2),，,DC=(0,1,2),，,（,3,）,ACDM,证明,:,设正方体的棱长为,1,建立如图的空间直角坐标系,x,y,z,A,1,D,1,C,1,B,1,A,C,B,D,F,E,S,C,B,A,D,O,x,y,z,P,C,B,A,O,练习,3.,如图,空间四边形,PABC,的每条边及对角线的长都是，试建立空间直角坐标系，并求出四个顶点的坐标,.,z,x,y,y,x,z,O,x,y,z,练习,:,3,小结：,1,、空间向量的坐标运算；,2,、利用向量的坐标运算判断空间几何关系的关键：,首先要选定单位正交基，进而确定各向量的坐标，再利用向量的坐标运算确定几何关系。,