《常系数微分方程》PPT课件

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,4.2 常系数线性微分方程的解法,-对于一般的线性微分方程没有普遍的解法,基本点,常系数线性,微分方程及可化为这一类型的方程的解法-,只,须,解,一个,代数,方程。,某些,特殊,的,非齐次微分方程,也可通过代数运算和微分运算求得它的通解。,掌握：,特征方程与特征根，及求常系数线性方程的通解,待定系数法与拉普拉斯变换法求非齐次线性方程的特解。,4.2.1 复值函数与复值解,复值函数,定义,极限与连续,导数与微分,可微函数的性质,1.,复值可微函数与实值可微函数一样具有线性性。,是方程的复值解,则,都是实值函数,定理8,如果方程(4.2)中所有系数,和共轭复值函数,复值解：,如果定义于区间a,b上的实值变量复值函数x=z(t)称为,方程(4.1)的，如果,和,有复值解,都是实,定理9,如果方程,4.2.2 常系数齐次线性微分方程和欧拉方程,定义：,设齐次线性微分方程中所有系数都是常数，即,解法,：用欧拉待定系数法求方程(4.19)的基本解组.,(3),根据特征根的不同情况分别进行讨论:,特征根是单根的情形,如果特征根有复根，由于方程(4.19)的系数为实常数，因此复,根总是成对出现的。,特征根是有重根的情形,如果特征根有重复根，由于方程(4.19)的系数为实常数，因此复根总是成对出现的。,作业,P164 2(),思考 p164 1,特征根是有重根的情形,证明 分两种情况：,可得,直接计算易得,因此,于是(4.19)化为,从而,y=f(x),只要找到y，,就能找到x,（通过f,且通过等式联系）,于是,(4.26),全体n个解构成方程(4.19)的,基本解组,。,证明（反证法）假若这些函数线性相关，则有,证明（反证法）假若这些函数线性相关，则有,这就产生了矛盾。因此证明了(4.26)全部n个解线性无关，从而构,成了方程(4.19)的基本解组。,例1,求方程,例2,求方程,解 特征方程,故方程的通解为,解 特征方程,例3,求方程,例4,求方程,因此方程有,四个实值解,cost,tcost,sint,tsint.,故通解为,解 特征方程,因此方程的通解为,解 特征方程,欧拉方程：,欧拉方程解法,：,例5,求方程,例6,求方程,4.2.3 非齐次线性微分方程,求非齐次线性方程的通解的的方法：,常数变易法,比较系数法,拉普拉斯变换法,常系数非齐次线性微分方程：,(1)比较系数法,类型I,比较系数法确定(4.33)中的待定常数：,分两种情形讨论：,下面对此加以证明.,例7,求方程,例8,求方程,例9,求方程,作业,P,164,2(7,10),3(1,3),4(1),思考 2(15),(1)比较系数法,类型II,将,f(t),表为指数形式,根据非齐次线性微分方程的叠加原理(习题4.1第2题)，方程,与,的解之和必为方程(4.32)的解.,例10,求方程,例11,利用复数法求方程,(2)拉普拉斯变换法,拉普拉斯变换,给定微分方程,拉普拉斯变换,例12,求方程,例13,求解方程,例14,求方程,例15,求解方程,作业,P,164,2(17,19),3(1,3),4(2),思考 6，7,4.2.4 质点振动,(1)无阻尼自由振动,(2)有阻尼自由振动,(3)无阻尼强迫振动,(4)有阻尼强迫振动,(1)无阻尼自由振动,(4.39)的特征方程,因此方程(4.39)的通解为,(2)有阻尼自由振动,(4.43)的特征方程,(I)小阻尼的情形：,(II)大阻尼的情形：,(III)临界阻尼的情形：,(3)无阻尼强迫振动,(4.48)的特征方程,(4)有阻尼强迫振动,(4.43)的特征方程,(I)小阻尼的情形：,(II)大阻尼的情形：,(III)临界阻尼的情形：,