教育专题：26均值定理

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,均 值 定 理,主讲人：邹彩苹,中江县职业中专学校,电子专业部,复习引入,a,+b,2ab,问：,？,引入课题,设a=x,，则 ，叫做a的平方根，叫做a的算术平方根。,对于两个正实数,a,、,b,，是,a,与,b,乘积的算术平方根，又叫做,a,与,b,的,几何平均数,。,叫做,a,与,b,的,算术平均数,。,证明,证明：对任意正实数,a,、,b,，有,均值定理,对于任意两个,正实数,a,、,b,，有,等号成立当且仅当,a=b,，这个结论通常称为,均值定理,。,两个正数的算术平均数大于或等于它们的几何平均数。,条 件,均值定理的三个条件：,一正,二定,三相等,两个数都是正数,两数和或积为固定值,等号成立，两数相等,常见变式,举 例,例,2,求证：对于任意正实数,a,，有,等号成立当且仅当,a=1.,证明：因为,a0,所以,则由均,值,定理得,等号成立当且仅当 ，,即,a=1,。,故命题得证！,P71,一正,二定,三相等,变式一,练习一,求证：对于任意正实数a、b，有,举 例,例,4,已知,a0,b0,，且,ab=16,，求,a+b,的最小值。,解：因为,a0,b0,，,由均值定理，得,等号成立当且仅当 ，此时,a+b,达到最小值,8.,P72,一正,二定,三相等,变式一,应 用,用一根长为,16cm,的铁丝，围成一个矩形小框，长与宽各为多少时，面积最大？,解：,设矩形的长与宽分别为,x cm,，,y cm,。,由题可得,2x+2y=16,，则,x+y=8.,据均值定理得,等号成立当且仅当 ，此时,xy,达到最大值,16,。,答：长与宽都等于,4cm,时，面积最大，达到,16cm,。,x,y,变式二,练习二,已知a0,b0，且ab=49，求a+b的最小值。,小 结,对于均值定理,1,、使用的条件是“一,正,，二,定,，三,相等,”,2,、,积定,，,和,有最,小,值；,和定,，,积,有最,大,值。,3,、常用变式为：,作业布置,P74,A组,5,、,11,B组,6,、,8,谢 谢！,