数值计算方法第2版 第1章 数值计算引论

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,数值计算方法,第,1,章,数值计算引论,第,2,章 非线性方程的数值解法,第,3,章 线性代数方程组的数值解法,第,4,章 插值法,第,5,章 曲线拟合的最小二乘法,第,6,章 数值积分和数值微分,第,7,章 常微分方程初值问题的数值解法,数值计算方法,第,1,章,数值计算引论,1.1,数值计算方法,1.2,误差的来源,1.3,近似数的误差表示法,1.4,数值运算误差分析,1.5,数值稳定性和减小运算误差,第,1,章,数值计算引论,数值计算方法与误差分析,理工科大学本科生,科学研究。,现代科学研究的三大手段,理论分析、科学实验、科学计算。,1.1,数值计算方法,1.1.1,数值计算方法及其主要内容,1.,课程名称：科学与工程数值计算方法,简称：科学计算、科学与工程计算、数值分析、计算方法、数值计算方法。,科学与工程：从实用的角度，将科学研究与工程技术上遇到的实际问题用数学模型来描述，以便进行定量的分析、研究。,数值：数、数字，由,0-9,十个数字、小数点和正负号等组成的数。,计算方法：解题的方法。可以用自然语言、数学语言或约定的符号语言来描述。,计算：只能包括计算机能够直接处理的运算,即加减乘除等基本运算。,数值计算：相对于非数值计算，如查表、排序等。用（,0-9,十个数字、小数点、正负号等组成的）数，通过计算机进行加减乘除等基本运算。,2,。数值算法：对科学研究与工程技术上遇到的实际数学问题的解法归结为用数值进行加减乘除等基本运算，并有确定运算顺序，完整而准确的描述称为数值算法。,数值计算方法是研究用数字计算机解决数学问题的数值算法及其理论的一门课程。,3.,主要内容：工程上遇到的数学问题,数值计算的误差分析,非线性方程,线性方程组,插值法,最小二乘法,数值积分和数值微分,常微分方程,1.1.2,用计算机解题的步骤,当给定一个科学研究与工程技术上遇到的实际问题时，首先根据专业知识建立实际问题的数学模型，即模型化（,modeling,),或建模。然后对数学模型进行求解。,数学模型（包括公式、表格、图形等）求解有两条途径：求解析解和数值解。,求解析解，解以表达式表示，这是准确解。,求数值解，解是以一些离散点上取值的形式表示，多数情况下，数值解是近似的，求数值解要用计算机。求数学模型数值解的方法称为数值计算方法。,选择计算方法以后进行程序设计，即用程序语言把算法编成程序，然后上机得出数值解。,实际问题,-,数学问题,(,建模,)-,构造数值计算方法,-,程序设计,-,上机计算,-,数值解,-,结果分析,1.1.3,数值计算的特点：对算法的要求。,1.,只能包括计算机能够直接处理的运算,即加减乘除等基本运算。,2.,能任意逼近并达到精度要求，对近似算法要保证收敛性和稳定性。,3.,计算时间少，存储空间小。,4.,数值试验证明算法有效。,误差的来源即产生误差的原因。主要有四种：,1.,模型误差,-,建立的数学模型和实际的距离，客观量的准确值与数学模型的准确解的差。,例如自由落体运动方程,1-2,误差的来源,2.,观测误差：数学模型当中的参数或常数常常是是观测或实验来的，这样必然有误差，称为观测误差或测量误差，由观测数据而产生的误差。,例如自由落体运动方程,3.,截断误差,(,方法误差,)-,数学模型的准确解与利用数值计算方法得到的准确解之差。,无穷过程用有穷项代替,例如,:,无穷级数,取前,n,项代替,截断误差,用有限的过程代替无限的过程，和用简单的计算问题,代替复杂的计算问题所产生 的误差。,4.,舍入误差：计算工具字长是有限位，在计算时只能对有限位数字进行运算，超过这个位数时，要舍入，于是产生舍入误差。原始数据、中间步骤和最终结果都可能产生舍入误差。,如圆周率,3.14159265,一般实数不能精确存储，例如：在,10,位十进制数限制下：,1-3,近似数的误差表示,1.3.2,相对误差,1.3.3,有效数字：由绝对误差决定。,若近似值,x,*,的绝对误差,(,限,),是某位的半个单位，则说,x,*,精确到该位，若从该位到,x,*,的左面第一位非零数字一共有,n,位，则称近似值,x,*,有,n,位有效数字。,1.,用四舍五入得到的近似数的误差限是末位的半个单位。近似数的误差限是末位的半个单位，则有,n,位有效数字。因此用四舍五入得到的近似数是有效数字。,2.,在公式运算中，要先区分准确量和近似数。准确数有无穷多位有效数字,.,3.,有效数字位与小数点后有多少位数无直接关系。,1.3.4,有效数字与相对误差,1.,定理给出的是一个充分条件，而不是必要条件。定理的逆命题不成立。,2.,在实际应用时，为了要使所取近似数的相对误差满足一定要求，可以用定理，确定所取近似数应具有有效数字的位数。,1.,定理给出的是一个充分条件，而不是必要条件。定理的逆命题不成立。即若近似数有,n,位有效数字，相对误差不一定满足定理。,2.,在实际应用时，为了要使所取近似数具有,n,位有效数字，要求所取近似数的相对误差满足定理的要求。,1.4,数值运算误差分析,函数运算误差,算术运算误差,1.5,数值稳定性和减小运算误差,在计算过程中误差不会扩大或对计算结果的精度要求影响不大。,减小运算误差,:,1,要避免两相近数相减。,2,要防止大数吃掉小数。,3,要避免除数绝对值远小于被除数绝对值。,4,注意简化计算步骤，减少运算次数。,例：计算积分,写成递推公式,误差传递规律,公式改为,则误差按规律,逐渐缩小,1.5.1,数值稳定性,:,一个算法，如果计算结果受误差的影响小，就称这个算法具有较好的数值稳定性。否则，就称数值稳定性不好。因此要设法控制误差的传播。,1.5.2,减小运算误差,1.,要避免相近两数相减,13.5846-13.5839=0.0007,6,位有效数字变成了,1,位有效数字。损失了有效数字的位数。,当,x,接近于,0,时，应,例 解一元二次方程,a,x,2,+,bx+c,=0,，,其中,-,b,c,2,要防止大数“吃掉”小数，注意保护重要物理参数。,在,8,位十进制计算机上计算。要规格化和对阶。,结果，,大数“吃掉”小数。,类似地,改变计算方法,例 在,5,位十进制计算机上计算,在,5,位十进制计算机上计算。要规格化和对阶。,结果，,大数“吃掉”小数。,改变计算方法，按绝对值由小到大相加。,3,注意简化计算步骤，减少运算次数，避免误差积累,例：计算 的值。,又如,只需,14,次乘法。,采用“秦九韶算法”,例：计算多项式,只需,n,次乘法和,n,次加法。,