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单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,高阶偏导数,隐函数,求导法则,复合函数,求导法则,全微分,概念,偏导数,概念,第九章,多元函数微分学,1,、区域,（,1,）邻域,连通的开集称为区域或开区域,（,2,）区域,一、,基本,概念,2,、多元函数的定义,定义,类似地可定义三元及三元以上函数,1.,求下列函数的定义域,练 习 一,则,2.,设,_.,二、多元函数的极限,说明：,（,1,）定义中 的方式是任意的；,（,2,）二元函数的极限也叫二重极限,（,3,）二元函数的极限运算法则与一元函数类似,例,1,求极限,解,无穷小乘有界量仍是无穷小,例,2,解,定义,3.,设二元函数,定义在,D,上,如果函数在,D,上,各点处,都连续,则称此函数,在,D,上,如果存在,否则称为,不连续,此时,称为,间断点,.,则称 二元函数,连续,.,连续,三、多元函数的连续性,练 习 二,求下列极限,练习二答案,四、偏导数,1,、,解,例,1,求,在点,处的偏导数,.,例,2,求函数,的偏导数,.,解,2,、高阶偏导数,混合偏导,定义 二阶及二阶以上的偏导数统称为高阶偏导数,.,解,例,3,设,求,例,4.,求函数,解,:,的二阶偏导数,.,五、全微分概念,例,5.,计算函数,在点,(2,1),处的全微分,.,解,:,例,6.,计算函数,的全微分,.,解,:,练 习 三,求,1,、设,2,、已知,求,3,、,求,设,六、复合函数求导法则（链式法则）,以上公式中的导数,称为,全导数,.,解,解,例,9.,设,求全导数,解,:,练 习 四,隐函数的求导公式,七、隐函数的求导法则,解,令,则,解,令,则,1,、设,求,练 习 五,2,、求由方程,，求,确定的隐函数,的偏导数,3,、已知,八、多元函数的极值及其求法,二元函数极值的概念,条件极值,拉格朗日乘子法,1,、二元函数的极值,定义,1,设函数,在点,的某一邻域,内有定义,对于该邻域内异于,的任意一点,如果,则称函数在,有,极大值,;,如果,则称函数在,有,极小值,;,极大值、,极小值统称为,极值,.,使函数取得极值的点,称为,极值点,.,例,1,函数,在点,处有极小值,.,从几何上看,表示一开口向上的,从,椭圆抛物面,点,是它的顶点,如图,(1),.,例,2,函数,在点,处有极大值,.,从几何上看,一开口向下的,半圆锥面,点,是它的顶点,.,如图,(2),.,表示,例,3,函数,无极值,.,从几何上看,它表示双曲抛物面,(,马鞍面,),.,在点,处,如图,(3),.,2,、多元函数取得极值的条件,定理,1,(,必要条件,),设函数,在点,具有偏导数,且在点,处有极值,的偏导数必然为零,即,则它在该点,与一元函数的情形类似,对于多元函数,一阶偏导数同时为零的点称为函数的,驻点,.,凡是能使,可偏导的极值点一定是驻点,(,定理,1,），,但驻点不一定是极值点,!,问题：,如何判定一个驻点是否为极值点？,注意：,时,具有极值,定理,2(,充分条件,),的某邻域内具有一阶和二阶连续偏导数,且,令,则,:1),当,A0,时取极小值,.,2),当,3),当,时,没有极值,.,时,不能确定,需另行讨论,.,若函数,例,4,求函数,的极值,.,解,先解方程组,解得驻点为,再求出二阶偏导数,在点,(1,0),处,故函数在该点处有极小值,又,故函数在该点处有极大值,又,在点,处,在点,(1,2),处,故函数在这两点处没有极值,;,处,3,、多元函数的最值,函数,f,在闭域上连续,函数,f,在闭域上可达到最值,最值可疑点,驻点,边界上的最值点,依据,注：,当区域内部最值存在,且,只有一个,极值点,P,时,为极小 值,为最小 值,(,大,),(,大,),二、条件极值,极值问题,无条件极值,:,条 件 极 值,:,对自变量只有定义域限制,对自变量除定义域限制外,还有其它条件限制,下面我们要介绍求解一般条件极值问题的,拉格,朗日乘子法,.,拉格朗日乘子法,问题,:,求目标函数,在所给条件,下的极值,.,下面介绍,拉格朗日函数,即构造,将条件极值问题化为上述拉格朗日函数,拉格朗日乘数法来求解,的无条件极值问题,.,再通过求解拉格朗日函数的,无条件极值问题求得原问题的解,.,的方法,就是,拉格朗日乘子法,.,这种求条件极值,例,5,求表面积为,而体积为最大的长方体的体积,.,解,设长方体的三棱长为,则问题就是在条件,(1),下,求函数,的最大值,.,作拉格朗日函数,由,得唯一可能的极值点,:,此点就是所求最大值点,.,即,表面积为,的长方体中,方体的体积为最大,最大体积,由问题本身意义知,以棱长为,的正,解,则,练 习 六,1,求函数,的极值,.,解,先解方程组,解得驻点为,再求出二阶偏导数,在点,(0,0),处,故函数在该点处有极大值,又,在点,(0,2),处,故函数在该点处有极小值,又,在点,(1,1),处,故函数在该点处无极值；,在点,(-1,1),处,故函数在该点处无极值,.,2,、,（,90,，,140,）,
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