案例7中美多项式的教学

Click to edit Master title style,Click to edit Master text styles,Second level,Third level,Fourth level,Fifth level,Click to edit Master title style,Click to edit Master text styles,Second level,Third level,Fourth level,Fifth level,Click to edit Master text styles,Second level,Third level,Fourth level,Fifth level,中美多项式教学的比较,背 景,时间：,2012,年,8,月,29,日,9:52-11:20,地点：美国俄亥俄州,Olney Friends School,课题：多项式,教材：数学,II,（初级微积分课程）,年级：,10,年级,信息技术工具：,TI-83,，,TI-84,，,TI-89,背 景,之前已学的相关内容,单项式、二项式,代数式,单项式及二项式的加、减、乘、除运算,一元一次方程、一元二次方程,一次函数、二次函数,中国多项式教学情况,年级：,8,年级,教材：人教版,8,年级上册（无选择性）,信息技术工具：不做要求,之前已学的相关内容,单项式的加、减、乘、除法运算,代数式,一次方程,一次不等式,一次函数,中国多项式教学情况,多项式的教学内容,整式概念,整式的加减,整式的乘法,乘法公式,整式的除法,因式分解,美国多项式的一堂课,T,：我们已经遇到过单项式如,2,x,3,，二项式如,x,2,+,3,x,，三项式如,2,x,2,-,x,-,1,。谁能写一个四项式？,T,板书,：,2,x,3,，,x,2,+,3,x,，,2,x,2,-,x,+,1,。,所有学生都很快写出了，其中一个写的是：,S1,：,x,5,+,2,x,2,+,4,x,-,1,。,美国多项式的一堂课,T,：谁能把,Sandy,写的四项式,x,5,+,2,x,2,+,4,x,-,1,改为一个五项式？一个六项式呢？,大部分学生都能正确写出，但有一人写了这样一个：,S2,：,x,5,+,2,x,2,+,4,x,-,1,+,x,2,+,x,。,美国多项式的一堂课,T,：,x,5,+,2,x,2,+,4,x,-,1,+,x,2,+,x,这个六项式写得对吗？,S3,：,不对，它其实是,x,5,+3,x,2,+5,x,-1,，,还是一个四项式。,T,：说得很好，大家都明白了吗？,S,：,明白了。,美国多项式的一堂课,T,：像我们刚才写的可以用一个表达式来表示,a,n,x,n,+,a,n,-1,x,n,-1,+,+,a,1,x,+,a,0,，,当,n,和,a,n,a,n,-1,a,1,a,0,取合适的值，就可以得到我们所写的这些表达式。我们把含有两项或两项以上的这些表达式叫做多项式，它可以用这个表达式来表示，这个表达式又叫做,n,次多项式。,美国多项式的一堂课,T,：现在请大家根据,n,次多项式,a,n,x,n,+,a,n,-1,x,n,-1,+,+,a,1,x,+,a,0,，,对,n,和,a,n,a,n,-1,a,1,a,0,取不同的值，写出不同的多项式。,每个学生都积极地在写，老师没有催他们，留了约,5,分钟的时间，每个学生都写出了很多多项式。,美国多项式的一堂课,T,：请大家计算：,（,1,）,2,x,3,(,3,x,2,+5,x,-4,),（,2,）,(,3,x,2,-2,x,-2,)(,x,2,-2,x,+3,),在约,4,分钟的时间里，题,(1),大家都对了。题,(2),只有,1,人出错，另有,2,人没有将结果合并同类项，还有,1,人没有将结果按降幂或升幂排列，结果完全符合老师要求的只有,2,人。,美国多项式的一堂课,T,：现在请大家把题,(2),的结果写成像这个,n,次多项式一样按,x,的指数由高到低排列的形式。,在约,2,分钟的时间里，大家都整理完了自己的结果。此时，除计算错误的那位学生外，其他人的结果都完全符合了老师的要求。,美国多项式的一堂课,T,：谁愿意讲讲你是如何计算题,(2),的？,S3,：,用第一个表达式的每一项分别乘第二表达式的每一项，然后相加，再写成像那个,n,次多项式的形式，就得到,T,：你说得很棒！大家都像她说的那样，检查一下，看结果是否和她说的一样？,这时大家结果都正确了。,美国多项式的一堂课,T,：大家请看,老师在,n,次多项式后添加了,“,=0,”,，变为,a,n,x,n,+,a,n,-1,x,n,-1,+,+,a,1,x,+,a,0,=0,这就变成了一个方程。请大家思考，如何解这样的方程？,所有学生都开始进行尝试，投入到了思考之中。,美国多项式的一堂课,在大家的思考过程中，老师只是时不时去看看学生做的情况。学生的情况大致如下：,开始都尝试直接解,n,次方程，但都没有头绪；,后来有人将有关参数取具体的值，试图模仿一次或二次方程的解法来求解；,又有人开始上网查询。,美国多项式的一堂课,开始有学生去问老师：,S3,：,我实在想不出来这个方程,(,n,次方程,),怎么解，你能告诉我吗？,T,：,这我也不知道，所以才让你们解呀。,S4,：,我上网查到了三次和四次方程的解法，但太复杂，有简单的嘛？,T,：,我不知道，你先按这些方法试试看。,美国多项式的一堂课,S3,又去问老师,S3,：,你能不能告诉我这个方程怎么解,x,5,-3,x,4,+3,x,3,-,2,x,2,+5,x,+1=0,T,：,这个我也不知道，但我可以用计算器试试,(,如右图,),。,S,3,：,我知道了，可以先画出左边这个多项式的图象，然后求出它与,x,轴的交点坐标就可以了。,美国多项式的一堂课,本堂课大家对多项式方程的思考、交流讨论花了半个多小时，在此过程中老师没有主动说过一句话。以下是学生最后的汇报：,可以用计算器画图得到,n,次方程的解；,我们查到了三次和四次方程的解法，但太麻烦；,五次以上的方程好像还没有解法。,美国多项式的一堂课,在本堂课结束前，老师作了如下总结：,解方程就是求使,f,(,x,),=0,的,x,的值；,我们可用计算器画出函数,f,(,x,),的图象，然后得到方程,f,(,x,),=0,的近似解；,无论是五次以上方程的解法，还是三次和四次方程的简单解法，还需要大家继续研究。,对中美多项式教学的反思,一、教学要寓于教材高于教材,两国关于多项式的教材内容有一定的共同之处，都建立在已学内容单项式和二项式的概念及运算、代数式、一次方程、一次函数的基础上。,两国关于多项式的教材内容也存在一定的差异。中国教材将二次方程、二次函数等相关内容放在多项式之后，强调多项式的概念及运算，突出知识的联系性和函数思想不够。而美国教材则将二次方程、二次函数等相关内容放在多项式之前，强调多项式的概念及运算不够，但突出知识的联系性，注重函数思想。,一、教学要寓于教材高于教材,中国的教学一般都很严谨，严格依据教材，教学目标和重点都立足当下教材内容，教学重视双基，讲得很细，训练也很到位。但对学科知识的纵向联系不关注或关注不够，讲思想和培养能力均拘于当下内容。,美国这堂课的教学似乎不够严谨,课堂管理也很松散。但在多项式的教学中，自始至终突出学生的思考和探究，从学科的高度去关注知识整体的联系，重视知识的系统性，不受教材的局限去完善学生的知识结构并通过知识的综合运用发展其能力。,二、信息技术的作用不可忽视,两国的教学现在都重视使用信息技术，但教师信息技术的素养和教学使用信息技术的层次还存在明显的差异。,中国教师对信息技术的掌握还参差不齐，很多人还停留在初级运用阶段，用什么技术、用在哪里、怎样用都是课前预设好的，实际教学只是再现，关注知识的发展和课堂情况的变化不够，不能从学科核心、思想方法的角度和教学的必要性出发来选择技术，技术的运用是被动和有局限的，工具性也不强，还做不到根据需要随手拈来。,二、信息技术的作用不可忽视,美国教师这堂课，表面上看技术运用简单，课前似乎也没有什么准备。但是，每次使用都是根据课堂教学发展需要临时决定的，整个过程都在学生面前展示，而且技术的使用不仅仅是为了解决教学难题，更注重引导学生进行思考，启发学生建立知识的联系，关注学科核心内容。,每个学生在课堂上都能够随时使用信息技术工具，大多数学生已具备用信息技术学习的习惯和基本技能，个别学生的技能缺乏也能够及时得到同伴互助和教师的指导。,横看成岭侧成峰，远近高低各不同,不识庐山真面目，只缘身在此山中,