初中数学等边三角形的判定

,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,九年级数学（上册）第一章 证明(二),1.你能证明它们吗,等边三角形的判定,驶向胜利的彼岸,八仙过海,一个三角形满足什么条件时便可成为等边三角形？,与同伴交流你在探索思路的过程中的具体做法,.,开启 智慧,A,C,B,60,0,A,C,B,60,0,A,C,B,60,0,你认为有一个角是,60,0,的等腰三角形是等边三角形吗？你能证明你的结论吗？,一个等腰三角形满足什么条件时便可成为等边三角形？,驶向胜利的彼岸,命题的证明,我能行,1,定理,:,有一个角是,60,0,的等腰三角形是等边三角形,.,证明:AB=AC,B=60,0,(已知),C=B=60,0,.(等边对等角).,A=60,0,(三角形内角和定理).,A=B（等式性质）.,AC=CB（等角对等边）.,AB=BC=AC（等式性质）.,ABC是等边三角形(等边三角形意义).,已知:如图,在ABC中AB=AC,B=60,0,.,求证:ABC是等边三角形.,A,C,B,60,0,几何的,三种语言,回顾反思,1,驶向胜利的彼岸,定理,:,有一个角是,60,0,的等腰三角形是等边三角形,.,在ABC中,AB=AC,B=60,0,(已知).,ABC是等边三角形(,有一个角是60,0,的等腰三角形是等边三角形,).,这又是一个判定等边三角形的根据之一,.,A,C,B,60,0,驶向胜利的彼岸,命题的证明,我能行,2,定理,:,三个角都相等的三角形是等边三角形,.,证明:A=B(已知),BC=AC,(等角对等边).,又B=C(已知),AB=AC,(等角对等边).,AB=BC=AC(等式性质).,ABC是等边三角形(等边三角形意义).,已知:如图,在ABC中,A=B=C.,求证:ABC是等边三角形.,A,C,B,几何的,三种语言,回顾反思,2,驶向胜利的彼岸,定理,:,三个角都相等的三角形是等边三角形,.,在ABC中,A=B=C(已知),ABC是等边三角形(,三个角都相等的三角形是等边三角形,).,这又是一个判定靠边三角形的根据之一,.,A,C,B,60,0,60,0,60,0,驶向胜利的彼岸,命题的猜想,我能行,3,1,操作,:,用两个含有,30,0,角的三角尺，你能拼成一个怎样的三角形？,能证明你的结论吗？,30,0,30,0,30,0,30,0,结论:,在直角三角形中,30,0,角,所对的直角边等于斜边的一半.,能拼出一个等边三角形吗？说说你的理由,.,由此你想到，在直角三角形中,30,0,角,所对的直角边与斜边有怎样的大小关系？,30,0,30,0,驶向胜利的彼岸,命题的证明,我能行,4,定理,:,在直角三角形中,如果有一个锐角等于,30,0,那么它,所对的直角边等于斜边的一半,.,在ABC中,ACB=90,0,A=30,0,(已知),B=,60,0,(直角三角形两锐角互余).,又 ACB=90,0,(已知),ACD=90,0,(平角意义).,在ABC与ADC中,BC=DC（作图）,ACB=ACD（已证）,AC=AC（公共边）,ABCADC（SAS）.,ABD是等边三角形(,有一个角60,0,是的等腰三角形是等边三角形,),BC=BD=AB(等式性质).,已知:如图,在ABC中,ACB=90,0,A=30,0,.,求证:BC=AB.,30,0,A,B,C,证明:如图,延长BC至D,使CD=BC,连接AD.,D,几何的,三种语言,回顾反思,3,驶向胜利的彼岸,这又是一个判定两条线段,成倍分,关系的根据之一,.,定理,:,在直角三角形中,如果有一个锐角等于,30,0,那么它,所对的直角边等于斜边的一半,.,在ABC中,ACB=90,0,A=30,0,.,BC=AB.(,在直角三角形中,30,0,角,所对的直角边等于斜边的一半).,A,B,C,30,0,学无止境,例题欣赏,1,这里有一个化归的数学思想即把问题转化为一个,纯数学,问题,.,驶向胜利的彼岸,分析:,如图,在ABC中AB=AC=2a,B=ACB=15,0,CDAB于D.,求:,CD=?,解:,B=ACB=15,0,(已知),DAC=B+ACB=15,0,+15,0,=30,0,(三角形的一个外角,等于和不相邻的两内角的和).,CD=AC=2a=a(在直角三角形中,如果有一个锐角等于,30,0,那么它,所对的直角边等于斜边的一半).,A,C,B,D,15,0,15,0,例2.已知:如图,等腰三角形的底角为15,0,腰长为2a.,求:,腰上的高,.,含,30,0,角的直角三角形,隋堂练习,2,驶向胜利的彼岸,1.已知:如图,在ABC中,ACB90,0,A=30,0,CDAB于D.,求证:BD=AB/4.,分析:因为A=30,0,所以BC=AB/2.要证明BD=AB/4,只要能使BD=BC/2即可,此时若BCD=30,0,就可以了.而由“双垂直三角形”即可求得.,你能规范地写出证明过程吗？你的证题能力有所提高吗?,A,C,B,D,三角形,认识,我吗,隋堂练习,3,2.已知:如图,点P,Q在BC上,且BP=AP=AQ=QC=a,PAQ=60,0,AHBC于H.,(1)求证:AB=AC;,(2)试在图中标出各个角的度数;,(3)求出图中各线段的长度,并说明理由.,驶向胜利的彼岸,胜利属于敢想敢干的人！,你能与同学们交流探索证题的全过程吗?,A,B,C,P,Q,H,反过来怎么样,逆向思维,命题,:,在直角三角形中,如果一条直角边等于斜边的一半,那么它,所对的锐角等于,30,0,.,是真命题吗,?,如果是,请你证明它,.,驶向胜利的彼岸,心动 不如行动,30,0,A,B,C,已知:如图,在ABC中,ACB=90,0,BC=AB/2.,求证:A=30,0,.,反过来怎么样,逆向思维,在ABD中,ACB=90,0,(已知),AB=AD(线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等).,又BC=AB/2(已知),BC=BD/2(作图),AB=BD(等量代换).,AB=BD=AD(等式性质）.,ABD是等边三角形(等边三角形意义).,B=60,0,(等边三角形意义).,A=30,0,(直角三角形两锐角互余).,驶向胜利的彼岸,心动 不如行动,30,0,A,B,C,D,证明:如图,延长BC至D,使CD=BC,连接AD.,几何的,三种语言,回顾反思,4,驶向胜利的彼岸,这是一个通过线段之间的关系来判定一个角的具体度数(,30,0,)的根据之一,.,定理,:,在直角三角形中,如果一条直角边等于斜边的一半,那么它,所对的锐角等于,30,0,.,在ABC中,ACB=90,0,BC=AB/2(已知),A=30,0,(在直角三角形中,如果一条直角边等于斜边的一半,那么它,所对的锐角等于,30,0,).,A,B,C,30,0,成功者的摇篮,试一试P14,2,1.如图(1):四边形ABCD是一张正方形纸片,E,F分别是AB,CD的中点,沿着过点D的折痕将A角翻折,使得A落在EF上(如图(2),折痕交AE于点G,那么ADG等于多少度?你能证明你的结论吗?,D,A,C,B,E,F,D,A,C,B,E,F,(1),(2),G,A,成功者的摇篮,试一试P14,2,1.如图(1):四边形ABCD是一张正方形纸片,E,F分别是AB,CD的中点,沿着过点D的折痕将A角翻折,使得A落在EF上(如图(2)中A,1,),折痕交AE于点G,那么ADG等于多少度?你能证明你的结论吗?,D,A,C,B,E,F,(2),G,A,1,答:ADG等于15,0,.,证明:,DF=DC/2(,中点意义,),A,1,D=AD=CD,(,正方形各边都相等,),DF=A,1,D/2(,等量代换,).,DA,1,F=,30,0,(,在直角三角形中,如果一条直角边等于斜边的一半,那么它,所对的锐角等于,30,0,).,又ADEF(,中点意义,),A,1,DA,=,DA,1,F=,30,0,(,两直线平行,内错角相等,).,ADG=A,1,DA/2=15,0,(,角平分线意义,).,30,0,回味无穷,等边三角形的判定:,定理:,有一个角是60,0,的等腰三角形是等边三角形,.,定理:,三个角都相等的三角形是等边三角形,.,特殊的直角三角形的性质:,定理:,在直角三角形中,如果有一个锐角等于,30,0,那么它,所对的直角边等于斜边的一半.,定理:,在直角三角形中,如果一条直角边等于斜边的一半,那么它,所对的锐角等于,30,0,.,老师提醒:,反证法,还认识你吗?,小结 拓展,知识的升华,独立,作业,P,9,习题1.3 1,2,3题.,祝你成功！,习题1.3,独立作业,1,驶向胜利的彼岸,1.,已知,:,如图,ABC,是等边三角形,DEBC,分别交,AB,AC,于点,D,E.,求,证,:,ADE,是等边三角形,.,证明1:,ABC等边三角形(已知),AB=A60,0,(已知),又 DEBC(已知),1=B=60,0,2=C=60,0,(两直线平行,同位角相等).,A=1=2(等量代换).,ADE是等边三角形(三个角相等的三角形是等边三角形).,B,E,C,D,A,F,1,2,习题1.3,独立作业,2,驶向胜利的彼岸,2.,房梁的一部分如图所示,其中,BCAC,A=30,0,AB=7.4m,点,D,是,AB,的中点,DEAC,垂足为,E.,求,:B,C,DE,的长,.,解:BCAC,A=30,0,AB=7.4m(已知),BC=AB/2=7.423.7(,在直角三角形中,如果有一个锐角等于,30,0,那么它,所对的直角边等于斜边的一半,),又 AD=AB/2=7.423.7(中点意义),DE=AD/2=3.721.85(,在直角三角形中,如果有一个锐角等于,30,0,那么它,所对的直角边等于斜边的一半,).,答:BC=3.7m,DE=1.85m.,老师提示:,对于含30,0,角的直角三角形边之间,角之间的关系要作为常识去认可.,B,E,C,D,A,30,0,习题1.3,独立作业,2,驶向胜利的彼岸,1.,已知,:,如图,ABC,是等边三角形,过它的三个顶点分别作对边的平行线,得到一个新的,DEF,DEF,是等边三角形吗,?,你还能找到其它的等边三角形吗,?,请证明你的结论,.,答:(1)DEF是等边三角形;(2)ABE,ACF,BCD也是等边三角形.,证明(1):ABC是等边三角形(,已知,),又EFBC,DEAC(已知),E60,0,(,三角形内角和定理,).,同理,D=60,0,F60,0,.,B,E,C,D,A,F,12=360,0,(,等边三角形的三个角都相等并且每个,角都等于60,0,).,4,2,1,3,4260,0,5160,0,(两直线平行,内错角相等).,5,DE=F60,0,(等量代换).,DEF是等边三角形(,三个角相等的三角形是等边三角形,).,习题1.3,独立作业,2,驶向胜利的彼岸,1.,已知,:,如图,ABC,是等边三角形,过它的三个顶点分别作对边的平行线,得到一个新的,DEF,DEF,是等边三角形吗,?,你还能找到其它的等边三角形吗,?,请证明你的结论,.,答:(1)DEF是等边三角形;,(2)ABE,ACF,BCD也都是等边三角形.,请同学们来证明(2)中的结论.,B,E,C,D,A,F,4,2,1,3,5,习题1.3,独立作业,2,驶向胜利的彼岸,1.,已知,:,如图,ABC,是等边三角形,过它的三个顶点分别作对边的平行线,得到一个新的,DEF,DEF,是等边三角形吗,?,你还能找到其它的等边三角形吗,?,请证明你的结论,.,答:(1)DEF是等边三角形;(2)ABE,ACF,BCD也是等边三角形.,证明(1):ABC是等边三角形(,已知,),又EFBC,DEAC(已知),E60,0,(,三角形内角和定理,).,同理,D=60,0,F60,0,.,B,E,C,D,A,F,12=360,0,(,等边三角形的三个角都相等并且每个,角都等于60,0,).,4,2,1,3,4260,0