ch1-1 100927集合、映射与函数(1)(精品)

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,2012年10月8日,南京航空航天大学 理学院 数学系,*,第,1,章 函数、极限、连续,第,1,节 集合、映射与函数,第,2,节 数列的极限,第,3,节 函数的极限,第,4,节 无穷小量及无穷大量,第,5,节 连续函数,2012年10月8日,1,南京航空航天大学 理学院 数学系,第,1,节 集合、映射与函数,1.1,集合及其运算,1.2,实数集的完备性与确界定理,1.3,映射与函数的概念,1.4,复合映射与复合函数,1.5,逆映射与反函数,1.6,初等函数与双曲函数,2012年10月8日,2,南京航空航天大学 理学院 数学系,集合论产生于十九世纪七十年代，它是德国数学家,康托,（,Cantor,）,创立的，不仅是分析学的基础，同时，它的一般思想已渗入到数学的所有部门。“集合论观点”与现代数学的发展不可分割地联系在一起。,2012年10月8日,3,南京航空航天大学 理学院 数学系,1.1,集合及其运算,1,、集合概念,具有某种确定性质对象的全体,.,组成这个集合的每个对象称为该,集合,元素,(,简称,元,),(,集,),元素,.,集合的,通常以大写字母,等表示集合,以小写字母,等表示集合的元素,.,否则,记,记作,或,集合中元素的特性：,确定性；互异性；无序性,2012年10月8日,4,南京航空航天大学 理学院 数学系,不含任何元素的集合称为,空集,记作,.,含有有限个元素的集合称为,有限集,；,即不是有限集又不是空集的集合称为,无限集。,2012年10月8日,5,南京航空航天大学 理学院 数学系,(1),列举法,：,把集合的全部元素一一列出来,例,有限集合,自然数集,(2),描述法,：,x,所具有的性质,P,(,x,),例,整数集合,或,有理数集,p,与,q,互质,实数集合,x,为有理数或无理数,外加花括号,.,正整数集,2,表示法,2012年10月8日,6,南京航空航天大学 理学院 数学系,3,集合之间的关系,子集,设有集合,则称,子集,记作,(,读作,A,含,于,B,),或,(,读作,B,包含,A,).,则称,真子集,记作,如,N,Z,Q,R.,规定,空集为任何集合的子集,.,则称,集合,A,与,B,相等,集合相等,记作,如,则,2012年10月8日,7,南京航空航天大学 理学院 数学系,集合之间的相等与包含关系具有以下几个性质,:,(1),反身性,(2),对称性,(3),传递性,2012年10月8日,8,南京航空航天大学 理学院 数学系,给定两个集合,A,B,并集,交集,且,差集,但,定义下列运算,:,积,集,特例,:,记,为平面上的全体点集,或,4,集合的运算,(,乘积集或笛卡儿乘积,),法国数学家、哲学家,(Descartes 15961650,年,),2012年10月8日,9,南京航空航天大学 理学院 数学系,注,研究某个问题时所考虑的对象的全体,记作,余集,或,补集,.,并用,X,表示,称为,全集,或,基本集,并把差积,特别称为,A,的,例如,在,实数集,R,中,集合,的,余集,B,关于,A,的,余,(,补,),集,2012年10月8日,10,南京航空航天大学 理学院 数学系,5.,集合的运算法则,为任意三个集合,则下列法则成立,:,(1),交换律,A,B,=B,A,A,B,=B,A,;,(2),结合律,(,A,B,),C,=A,(,B,C,),(,A,B,),C,=A,(,B,C,);,(3),分配律,(,A,B,),C,=,(,A,C,)(,B,C,),(,A,B,),C,=,(,A,C,)(,B,C,);,(4),幂等律,A,A,A,A,(5),吸收律,A,=A,=A,;,=A,A,=,A,=B,A,=,2012年10月8日,11,南京航空航天大学 理学院 数学系,对偶原理,(,A,B,),C,=,A,C,B,C,(,A,B,),C,=,A,C,B,C,;,5.,集合的运算法则,见教材,P9,2012年10月8日,12,南京航空航天大学 理学院 数学系,1.2,实数集的完备性与确界定理,实数的定义,1,实数及其性质,有理数集,p,与,q,互质,2012年10月8日,13,南京航空航天大学 理学院 数学系,实数集的一些重要性质,四则运算封闭性,：,实数全体组成一个数域,有序性,：,任意两实数,a,b,必满足下述三个关系之一：,稠密性：,任意两个不相等实数之间还有另一个实数，,所以任意两个实数之间必存在无穷多实数,.,有理数集也具有以上三个性质！,2012年10月8日,14,南京航空航天大学 理学院 数学系,完备性,:,有理数集不具有！,-,实数的连续性,完备性是实数集的本质属性,2012年10月8日,15,南京航空航天大学 理学院 数学系,逻辑符号,在逻辑推理过程中最常用的两个逻辑记号,“”,表示,“任取”,或,“任意给定”,或,“对所有的”,.,“”,表示,“存在”,“,至少存在一个”,或“能够找到”,.,如，,实数的阿基米德(,Archmed,),公理是这样叙述的,:,任意给定两个正的实数,a,b,都存在一个,自然数,n,用逻辑符号,将,阿基米德,公理改写,:,2012年10月8日,16,南京航空航天大学 理学院 数学系,“”,表示,“蕴含”,或“推出”,.,“”,表示,“等价”,或“充分必要”,.,还有一些,其它符号,2012年10月8日,17,南京航空航天大学 理学院 数学系,2,绝对值与不等式,运算性质,2012年10月8日,18,南京航空航天大学 理学院 数学系,几个常用的绝对值不等式,:,2012年10月8日,19,南京航空航天大学 理学院 数学系,几个重要不等式,2012年10月8日,20,南京航空航天大学 理学院 数学系,调和平均值,几何平均值,算术平均值,2012年10月8日,21,南京航空航天大学 理学院 数学系,区间,:,称为开区间,称为闭区间,3.,区间,2012年10月8日,22,南京航空航天大学 理学院 数学系,称为半开区间,称为半开区间,有穷区间,无穷区间,区间长度的定义,:,两端点间的距离,(,线段的长度,),称为区间的长度,.,2012年10月8日,23,南京航空航天大学 理学院 数学系,4,邻域,:,24,5,有界数集与确界原理,有界数集,定义,1.1,(,有界数集）,2012年10月8日,25,南京航空航天大学 理学院 数学系,2012年10月8日,26,南京航空航天大学 理学院 数学系,隐藏,2012年10月8日,27,南京航空航天大学 理学院 数学系,因此,A,无上界,.,证,故,A,有下界,.,取,l,=,1,例,1,2012年10月8日,28,南京航空航天大学 理学院 数学系,确界,若数集,A,有上界,中最小的一个具有重要的作用,.,最小的上界称为,先给定确界的直观定义,M,M,2,M,1,上确界,上界,m,2,m,m,1,下确界,下界,则必有无穷多个上界,而其,上确界,记作,sup,A,同样,若,A,有下界,则最大的下界称为,下确界,，记作,inf,A,.,（,Infimum,),（,Supremum,).,2012年10月8日,29,南京航空航天大学 理学院 数学系,上确界,定义,2,（确界的精确定义）,设,A,为实数集,R,的非空子集，若数,s,满足以下两条：,则称,s,为实数集,A,的,上确界,，记作,sup,A,是上界,小一点不再是上界,2012年10月8日,30,南京航空航天大学 理学院 数学系,设,A,为实数集,R,的非空子集，若数,t,满足：,最大下界,则称,t,为实数集,A,的,下确界,，记作,inf,A,若集合,A,没有上界，则记,若集合,A,没有下界，则记,2012年10月8日,31,南京航空航天大学 理学院 数学系,证,先证,sup,A,=,1.,例,2,2012年10月8日,32,南京航空航天大学 理学院 数学系,虽然我们定义了上确界,但并没有证明上确界的,存在性,.,例,2,2012年10月8日,33,南京航空航天大学 理学院 数学系,任一有上（下）界的非空实数集必有上（下）确界,.,注：,非空,有界,实数集的上（下）确界是唯一的！,定理,1.1,(,确界原理,),根据实数集合的连续性，可以得到如下的定理：,2012年10月8日,34,南京航空航天大学 理学院 数学系,数集的最大数、最小数与上确界、下确界的关系,设,A,为实数集,R,的非空子集，若,A,中有最大数，则,证明,b,0,为是数集,A,的一个上界，并且比,b,0,小的数都不是,A,的上界,，所以,b,0,就是最小的上界。,下确界与最小数有,类似,关系：,P.21.EX8,2012年10月8日,35,南京航空航天大学 理学院 数学系,有关确界的一些性质,假设,A,和,B,为两个非空有界实数集合,则数集,A,有上确界，数集,B,有下确界，,2012年10月8日,36,南京航空航天大学 理学院 数学系,证明,因为,s,是数集,B,的上界，而数集,A,的元素,都是,B,的元素，所以,s,也是,A,的上界,.,所以,A,的最小上界,2012年10月8日,37,南京航空航天大学 理学院 数学系,证明：,数集,A,有上确界，数集,B,有下确界，,由定义,上确界,sup,A,是最小的上界,因此,任意,证,由假设,B,中任一数,y,都是,A,的上界,A,中的任,一数,x,都是,B,的下界,.,因此由确界原理,A,有上确,界,B,有下确界,.,y,B,;sup,A,y,.,这样,sup,A,又是,B,的一个下界,而,inf,B,是最大的下界,因此,sup,A,inf,B.,2012年10月8日,38,南京航空航天大学 理学院 数学系,2012年10月8日,39,南京航空航天大学 理学院 数学系,2012年10月8日,40,南京航空航天大学 理学院 数学系,EX,2012年10月8日,41,南京航空航天大学 理学院 数学系,