智能优化-模糊规划

单击此处编辑母版标题样式,*,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,普通线性规划其约束条件和目标函数都是确定的，但在一些实际问题中，,约束条件可能带有弹性，目标函数可能是不确定的,，必须借助模糊集的方法来处理.,模糊线性规划是将约束条件和目标函数模糊化，引入隶属函数，从而导出一个新的线性规划问题，它的最优解称为原问题的,模糊最优解,.,模糊线性规划,模糊规划的几个相关概念,:,1) 模糊集及其隶属度；,2) 隶数度函数的表示；,3),模糊集合的交与并运算；,4) 模糊集的水平截集；,0. 模糊的概念,天气冷热,雨的大小,风的强弱,人的胖瘦,年龄大小,个子高低,1) 模糊集合和隶属函数,精确集合,（非此即彼）,：,A,=,x,|,x,6,精确集合的隶属函数(二值函数)：,模糊集合,：,如果,A,是对象,x,的集合，而,x,以一定程度属于,A,：,1,13,精确集合,模糊集合,1,13,6,接近6的数构成的集合,2) 隶属度有离 散的形式和连续形式,:,例,令X = R,+,为人类年龄的集合(这是一个精确集合), 而模糊集合 B = “年龄在50岁左右”则表示为:,图示如右:,5)隶属函数参数化,三角形隶属函数,梯形隶属函数,高斯形隶属函数,一般钟形隶属函数,Trig(x;20,60,80),Trap(x;10,20,60,90),g(x;50,20),bell(x:20,4,50),c,c-a,c+a,斜率=-b/2a,隶属函数的参数化(续)：,以钟形函数为例，,a,b,c,的几何意义如图所示.,改变,a,b,c,即可改变隶属函数的形状。,支集,核,交叉点,截集,概念:,4) 模糊集合的运算,包含或子集：,并（析取）,交（合取）,补（负）,模糊集合的 交与并集的隶属度,二维的隶属函数可以进行max(OR) 和 min(AND)运算：,梯形Trap(x,-6,-2,2,6)和Trap(y,-6,-2,2,6)的min和 max运算,钟形bell(x,4,3,0)和bell(y,4,3,0)的min和 max运算,22,8) 模糊与概率的差别：,C,A,口极渴的人饮用哪杯液体？,6. 线性规划的例子：,例 设某玩具公司生产两种玩具。玩具A是高附加值玩具，每个可以获利0.40美分；玩具B是较低附加值玩具，每个可以获利0.30美分；但是玩具A的生产时间是玩具B的两倍，生产一个玩具B需要一个小时. 该公司每天有生产400具玩具的材料和500个劳动小时, 假设所有的玩具都可以销售出去，试求一个能够获得最大利润的生产计划.,导出的模糊规划的例子：,管理者的一个考虑是,1）他可以让工人多加班获取更多的劳动时间；,2）他可以让供应商哪里获取更多的原材料；,因此原线性规划及其模糊规划的目标函数分别为：,设,x,1,和,x,2,分别是A和B种玩具的产量,模型类型:,资源，目标函数，系数等模糊的情况,线性规划 模糊线性规划,结构类型:,分为,对称型,与,不对称型,1.对称优化数学模型,若论域X上的模糊目标集为G，模糊约束集为C，则它们的交集D=GC称为,模糊优越集,。,对称模糊优化设计的基本思想是，在设计空间中寻求模糊优越集的隶属度取大值的,x,*，称为模糊最优解:,可以证明:,*,-max,G,(x)=0, x C,据此，可以求出X*,例,. 设目标函数为 “,x,尽可能大于10”，,此目标函数可以用隶属函数表述,约束条件“,x,应在11附近”则可以,用以下隶属函数表达为,则决策的隶属函数为,容易看出，该表达式的解为，,即是由方程,解出.,设普通线性规划的标准形式为,t,0,(,x,) =,c,1,x,1,+,c,2,x,2,+,+,c,n,x,n,t,i,(,x,) =,a,i,1,x,1,+,a,i,2,x,2,+,+,a,in,x,n,i,= 1, 2, ,m,.,若约束条件带有弹性，即右端常数,b,i,可能取,(,b,i,d,i,b,i,+,d,i,),内的某一个值，这里的,d,i,0,，它是决策人根据实际问题选择的,伸缩指标,.,非对称,模糊线性规划,把约束条件带有弹性的模糊线性规划记为,这里的,t,i,(,x,) =,b,i,d,i,表示当,d,i,= 0(普通约束)时,t,i,(,x,) =,b,i,；当,d,i,0(模糊约束)时,t,i,(,x,) 取(,b,i,-,d,i,b,i,+,d,i,)内的某一个值.,的区别(,有什么区别？,),.(3)称为(1)的伴随线性规划,请注意,模糊线性规划(2)与下面普通线性规划,下面将约束条件和目标函数模糊化.,将,(2),中带有弹性的约束条件,(,d,i,0),的隶属函数定义为,而(2)中普通约束条件(,d,i,= 0)的隶属函数的定义为,u,i,(,x,) = 1,t,i,(,x,) =,b,i,.,其图形如右图,由,u,i,(,x,)定义可知，,0, 1,u,i,(,x,),d,i,-,d,i,t,i,(,x,),-,b,i,d,i,-,d,i,i,= 1, 2, ,m,.,设普通线性规划(1)和(3)的最优值分别为,f,0,和,f,1, 记,d,0,=,f,0,-,f,1,则,d,0,0, 它是模糊线性规划(2)中目标函数的伸缩指标，,d,0,也可由决策人确定.,定义模糊线性规划(2)中目标函数的隶属函数为,由,G,i,(,x,)定义可知，,0, 1,G,i,(,x,),t,0,(,x,) +,d,0,f,0,要求模糊线性规划(2)的,模糊最优解,x,*,，则要求使所有约束条件及目标函数的隶属函数尽可能达到最大，即求,x,*,满足,A,i,(,x,),及,G,(,x,),，,且使,达到最大值,相当于求解普通线性规划问题,i,= 1, 2, ,m,.,设普通线性规划(4)的最优解为,x,*, 则模糊线性规划(2)的模糊最优解为,x,*,最优值为,t,0,(,x,*,).,所以，求解模糊线性规划(2)相当于求解普通线性规划(1), (3), (4).,此外，再补充两点说明,：, 若要使某个模糊约束条件尽可能满足，只需将其伸缩指标降低直至为0；,若模糊线性规划,(2),中的目标函数为求最大值，或模糊约束条件为近似大,(,小,),于等于，其相应的隶属函数可类似地写出,.,例1,解本例中,模糊,线性规划问题：,解之得到最优解和最优解的集合：,余下的问题是如何确定,S,*?,1) Verdegay 的非对称模型:,该隶属函数如下图所示, 并定义,a,截集为：,u,i,(,x,),1,a,b,i,b,i,+p,i,不能接受,存在容差,绝对接受,对于任意 ，考虑清晰规划:,设其最优解为 ，对应隶属度为,a, 则记最优解集为,按照隶属度的定义具体表达,X,a,集合，则,LP,a,规划得,解上述规划(含有参数)，得最优解：,2）,Werner对称解法 基本思想是当资源是模糊的时候，,目标函数也是模糊的.,设容差向量为 . 考虑两个规划,定义目标函数隶属函数为,:,决策的隶属度为,最优决策即为,为了求,x,*, 解下面规划,上述规划按照隶属度展开即为,