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第,15,章 轴对称图形与等腰三角形,15.4,角的平分线,第,2,课时 角平分线的性质及判定,1.,会叙述角平分线的性质及判定,;,（重点）,2.,能利用三角形全等，证明角平分线的性质定理，理解和掌握角平分线性质定理和它的逆定理，能应用这两个性质解决一些简单的实际问题,;,（难点）,3.,经历探索、猜想、证明的过程，进一步发展学生的推理证明意识和能力,学习目标,情境引入,如图，要在,S,区建一个贸易市场，使它到铁路和公路距离相等，离公路与铁路交叉处,500,米，这个集贸市场应建在何处,？,（比例尺为,120000,）,D,C,S,解：作夹角的角平分线,OC,，,截取,OD,=2.5cm,D,即为所求,.,O,导入新课,1.,操作测量,：,取点,P,的三个不同的位置，分别过点,P,作,PDOA,，,PE OB,点,D,、,E,为垂足，测量,PD,、,PE,的长,.,将三次数据填入下表：,2.,观察测量结果，猜想线段,PD,与,PE,的大小关系，写出结：,_,PD,PE,第一次,第二次,第三次,C,O,B,A,PD=PE,p,D,E,实验：,OC,是,AOB,的平分线，点,P,是射线,OC,上的,任意一点,猜想：,角的平分线上的点到角的两边的距离相等,.,角平分线,的性质,讲授新课,验证猜想,已知：如图，,AOC,=,BOC,点,P,在,OC,上，,PD,OA,PE,OB,垂足分别为,D,E,.,求证：,PD=PE,.,P,A,O,B,C,D,E,证明：,PD,OA,PE,OB,，,PDO,=,PEO,=90.,在,PDO,和,PEO,中，,PDO,=,PEO,，,AOC=BOC,，,OP=OP,，,PDO,PEO,(AAS).,PD=PE,.,角的平分线上的点到角的两边的距离相等,性质定理：,角的平分线上的点到角两边的距离相等,.,应用所具备的条件：,（,1,）,角的平分线；,（,2,）,点在该平分线上；,（,3,）,垂直距离,.,定理的作用：,证明线段相等,.,应用格式：,OP,是,AOB,的平分线，,PD=PE,推理的理由有三个，必须写完全，不能少了任何一个,.,知识要点,PD,OA,PE,OB,，,B,A,D,O,P,E,C,判一判：,（,1,）,如下左图，,AD,平分,BAC,（,已知），,=,，,(,),在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等,BD CD,B,A,D,C,(2),如上右图,，,DC,AC,，,DB,AB,（已知）,.,=,.,(,),在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等,BD CD,B,A,D,C,例,1,：,已知：如图，在,ABC,中，,AD,是它的角平分线，且,BD=CD,DE,AB,DF,AC,.,垂足分别为,E,F,.,求证：,EB=FC,.,A,B,C,D,E,F,证明：,AD,是,BAC,的角平分线，,DE,AB,DF,AC,，,DE=DF,DEB=DFC,=90.,在,Rt,BDE,和,Rt,CDF,中，,DE=DF,，,BD=C,D,，,Rt,BDE,Rt,CDF,(HL).,EB=FC,.,典例精析,例,2,:,如图，,AM,是,BAC,的平分线，点,P,在,AM,上，,PDAB，PEAC，,垂足分别是,D,、,E，PD=4cm，,则,PE=_,_,_cm.,B,A,C,P,M,D,E,4,温馨提示：,存在两条垂线段直接应用,A,B,C,P,变式：,如图，在,Rt,ABC中，AC=BC,C90,，AP平分BAC交BC于点P，若PC4,AB=14.,（1）则点P到AB的距离为_.,D,4,温馨提示：,存在一条垂线段构造应用,A,B,C,P,变式：,如图，在,Rt,ABC中，AC=BC,C90,0,，AP平分BAC交BC于点P，若PC4，,AB=14,.,（,2,）求,APB,的面积,.,D,（,3,）求PDB的周长,.,AB,P,D,=28.,由垂直平分线的性质，可知，,PD=PC=4,，,=,1.,应用角平分线性质：,存在,角平分线,涉及,距离问题,2,.,联系角平分线性质：,面积,周长,条件,知识与方法,利用角平分线的性质所得到的等量关系进行转化求解,角平分线,的判定,P,A,O,B,C,D,E,角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上,思考：,交换角的平分线的性质中的已知和结论，你能得到什么结论，这个新结论正确吗？,角的平分线上的点到角的两边的距离相等,.,思考：这个结论正确吗？,逆,命,题,已知：如图，,PD,OA,，,PE,OB,，,垂足分别是,D,、,E,，,PD=PE,.,求证：点,P,在,AOB,的角平分线上,.,证明：,作射线,OP,，,点,P,在,AOB,角的平分线上,.,在,Rt,PDO,和,Rt,PEO,中，,（全等三角形的对应角相等）,.,OP=OP,（公共边），,PD=PE,（已知），,B,A,D,O,P,E,PD,OA,PE,OB.,PDO,=,PEO,=90,，,Rt,PDO,Rt,PEO,（,HL,）,.,AOP,=,BOP,证明猜想,判定定理：,角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上,.,P,A,O,B,C,D,E,应用所具备的条件：,（,1,）,位置关系：,点在角的内部,；,（,2,）,数量关系：,该点到角两边的距离相等,.,定理的作用：,判断点是否在角平分线上,.,应用格式：,PD,OA,PE,OB,，,PD=PE.,点,P,在,AOB,的平分线上,.,知识总结,例,4,如图，某地有两所大学和两条交叉的公路图中点,M,，,N,表示大学，,OA,，,OB,表示公路，现计划修建一座物资仓库，希望仓库到两所大学的距离相同，到两条公路的距离也相同，你能确定出仓库,P,应该建在什么位置吗？请在图中画出你的设计,(,尺规作图，不写作法，保留作图痕迹,),O,N,M,A,B,O,N,M,A,B,P,总结,：,到角两边距离相等的点在角的平分线上，到两点距离相等的点在两点连线的垂直平分线上,.,解：如图所示：,活动,1,分别画出下列三角形三个内角的平分线,，你发现了什么？,三角形,的内角平分线,发现：,三角形的三条角平分线相交于一点,活动,2,分别,过交点作三角形三边的垂线，用刻度尺量一量，每组垂线段，你发现了什么？,发现：,过交点作三角形三边的垂线段相等,你能证明这个结论吗？,已知：如图，,ABC,的角平分线,BM,，,CN,相交于点,P,，,求证：点,P,到三边,AB,，,BC,，,CA,的距离相等,.,证明结论,证明：过点,P,作,PD,，,PE,，,PF,分别垂直于,AB,，,BC,，,CA,，垂足分别为,D,，,E,，,F,.,BM,是,ABC,的角平分线，,点,P,在,BM,上，,PD=PE,.,同理,PE=PF,.,PD=PE=PF,.,即点,P,到三边,AB,，,BC,，,CA,的距离相等,.,D,E,F,A,B,C,P,N,M,想一想：,点,P,在,A,的平分线上吗？这说明三角形的三条角平分线有什么关系？,点,P,在,A,的平分线上,.,结论：,三角形的三条角平分线交于一点，并且这点到三边的距离相等,.,D,E,F,A,B,C,P,N,M,M,E,N,A,B,C,P,O,D,例,5,：,如图，在直角ABC中，C90,，AP平分BAC，BD平分ABC;AP,BD交于点O，过点O作OMAC,若OM4,(1)求点O到ABC三边的距离和.,温馨提示：,不存在垂线段构造应用,12,解：连接OC,M,E,N,A,B,C,P,O,D,例,5,：,如图，在直角ABC中，C90,0,，AP平分BAC，BD平分ABC;AP,BD交于点O，过点O作OMAC,若OM4,.,(2)若ABC的,周长,为32，求ABC的,面积,.,1.,应用角平分线性质：,存在,角平分线,涉及,距离问题,2,.,联系角平分线性质：,距离,面积,周长,条件,知识与方法,例,6,如图，,在ABC中，点O是ABC内一点，且点O到ABC三边的距离相等若A40，则BOC的度数为(),A110 B120 C130 D140,A,解析：,由已知，,O,到三角形三边的距离,相等，所以O是内心，即三条角平分线,的交点，AO，BO，CO都是角平分线，,所以有CBOABO ABC，,BCOACO ACB，,ABCACB18040140，,OBCOCB70，,BOC18070110.,归纳总结,角的平分线的,性质,图形,已知,条件,结论,P,C,P,C,OP,平分,AOB,PDOA,于,D,PEOB,于,E,PD=PE,OP,平分,AOB,PD=PE,PDOA,于,D,PEOB,于,E,角的平分线的,判定,当堂练习,2.,ABC,中,C=90,AD,平分,CAB,且,BC,=8,BD,=5,则,点,D,到,AB,的距离是,.,A,B,C,D,3,E,1.,如图，,DE,AB,，,DF,BG,，,垂足分别是,E,，,F,，,DE=DF,，,EDB,=60,，,则,EBF,=,度，,BE,=,.,60,BF,E,B,D,F,A,C,G,3.,如图，,AD是ABC的角平分线，DEAB，垂足为E，S,ABC,7，DE2，AB4，则AC的长是(),A6 B5 C4 D3,D,B,C,E,A,D,解析：,过点,D,作,DFAC,于,F,，,AD,是,ABC,的角平分线，,DEAB,，,DF,DE,2,，,解得,AC,3.,F,方法总结：,利用角平分线的性质作辅助线构造三角形的高，再利用三角形面积公式求出线段的长度是常用的方法,E,D,C,B,A,6,8,10,4,.在RtABC中，BD平分ABC，DEAB于E，则：,(1)哪条线段与DE相等？为什么？,(2)若AB10，BC8，AC6，求BE，AE的长和AED的周长.,解：,(1),DC=DE.,理由如下：角平分线上的点到角两边的距离相等,.,（,2,）在,Rt,CDB,和,Rt,EDB,中，,DC,=,DE,，,DB,=,DB,，,Rt,CDB,Rt,EDB,(HL),，,BE,BC=,8.,AE,AB-BE=,2.,AED,的周长,=,AE+ED+DA=,2+6=8.,5.,如图，已知,AD,BC,，,P,是,BAD,与,ABC,的平分线的交点，,PE,AB,于,E,，且,PE,=3,，求,AD,与,BC,之间的距离,.,解：过点,P,作,MN,AD,于点,M,，交,BC,于点,N,.,AD,BC,，,MN,BC,，,MN,的长即为,AD,与,BC,之间,的距离,.,AP,平分,BAD,PM,AD,PE,AB,，,PM,=,PE.,同理，,PN,=,PE.,PM,=,PN,=,PE=,3,.,MN=,6.,即,AD,与,BC,之间的距离为,6.,6.,已知：如图，OD平分POQ，在OP、OQ边上取OAOB，点C在OD上，CMAD于M，CNBD于N.求证：CMCN.,证明：OD平分线POQ，,AOD=BOD.,在AOD与BOD中，,OA=OB，AOD=BOD，OD=OD，,AOD,BOD.,ADO=BD,O,.,CMAD，CNBD，,CM=CN.,7.,如图，已知,CBD,和,BCE,的平分线相交于点,F,，,求证：点,F,在,DAE,的平分线上,证明：,过,点,F,作,FG,AE,于,G,，,FH,AD,于,H,，,FM,BC,于,M,.,点,F,在,BCE,的平分线上，,FG,AE,，,FM,BC.,FG,FM,.,又点,F,在,CBD,的平分线上，,FH,AD,，,FM,BC,，,FM,FH,，,FG,FH,.,点,F,在,DAE,的平分线上,.,G,H,M,A,B,C,F,E,D,拓展思维,8.,如图,直线,l,1,、,l,2,、,l,3,表示三条互相交叉的公路,现要建一个货物中转站,要求它到三条公路的距离相等,可选择的地址有几处,?,画出它的位置,.,P,1,P,2,P,3,P,4,l,1,l,2,l,3,课堂小结,角平分线的性质及判定,性质定理,一个点：,角平分线上的点；,二距离：,点到角两边的距离；,两相等：,两条垂线段相
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