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*,*,*,第,1,课时奇偶性的概念,第一章,1.3.2,奇偶性,1,学习目标,1.,理解函数奇偶性的定义,.,2.,掌握函数奇偶性的判断和证明方法,.,3.,会应用奇、偶函数图象的对称性解决简单问题,.,2,题型探究,问题导学,内容索引,当堂训练,3,问题导学,4,思考,知识点一函数奇偶性的几何特征,下列函数图象中，关于,y,轴对称的有哪些？关于原点对称的呢？,答案,答案,关于,y,轴对称，,关于原点对称,.,5,一般地，图象关于,y,轴对称的函数称为,函数，图象关于原点对称的函数称为,函数,.,梳理,奇,偶,6,思考,1,知识点二函数奇偶性的定义,为什么不直接用图象关于,y,轴,(,原点,),对称来定义函数的奇偶性？,答案,答案,因为很多函数图象我们不知道，即使画出来，细微之处是否对称也难以精确判断,.,7,思考,2,利用点对称来刻画图象对称有什么好处？,答案,答案,好处有两点：,(1),等价：只要所有点均关于,y,轴,(,原点,),对称，则图象关于,y,轴,(,原点,),对称，反之亦然,.,(2),可操作：要判断点是否关于,y,轴,(,原点,),对称，只要代入解析式验证即可，不知道函数图象也能操作,.,8,梳理,函数奇偶性的概念：,(1),偶函数：如果对于函数,f,(,x,),的定义域内,一个,x,，都有,，那么函数,f,(,x,),就叫做偶函数,.,其实质是函数,f,(,x,),上任一点,(,x,，,f,(,x,),关于,y,轴的对称点,(,x,，,f,(,x,),也在,f,(,x,),图象上,.,(2),奇函数：如果对于函数,f,(,x,),的定义域内,一个,x,，都有,，那么函数,f,(,x,),就叫做奇函数,.,其实质是函数,f,(,x,),上任一点,(,x,，,f,(,x,),关于原点的对称点,(,x,，,f,(,x,),也在,f,(,x,),图象上,.,f,(,x,),f,(,x,),任意,f,(,x,),f,(,x,),任意,9,思考,知识点三奇,(,偶,),函数的定义域特征,如果一个函数,f,(,x,),的定义域是,(,1,1,，那么这个函数,f,(,x,),还具有奇偶性吗？,答案,答案,由函数奇偶性定义，对于定义域内任一元素,x,，其相反数,x,必须也在定义域内，才能进一步判断,f,(,x,),与,f,(,x,),的关系,.,而本问题中，,1,(,1,1,，,1,(,1,1,，,f,(,1),无定义，自然也谈不上是否与,f,(1),相等了,.,所以该函数既非奇函数，也非偶函数,.,10,一般地，判断函数奇偶性要注意定义域优先原则，即首先要看定义域是否关于,对称,.,原点,梳理,11,题型探究,12,命题角度,1,已知函数解析式，证明奇偶性,证明,类型一证明函数的奇偶性,证明,因为它的定义域为,x,|,x,R,且,x,1,，,所以对于定义域内的,1,，其相反数,1,不在定义域内，,13,(2),证明,f,(,x,),(,x,1)(,x,1),是偶函数；,证明,证明,函数的定义域为,R,，因函数,f,(,x,),(,x,1)(,x,1),x,2,1,，,又因,f,(,x,),(,x,),2,1,x,2,1,f,(,x,),，,所以函数为偶函数,.,14,(3),证明,f,(,x,),既是奇函数又是偶函数,.,证明,证明,定义域为,1,1,，因为对定义域内的每一个,x,，都有,f,(,x,),0,，,所以,f,(,x,),f,(,x,),，,即该函数既是奇函数又是偶函数,.,15,利用定义法判断函数是否具有奇偶性时，首先应看函数定义域是否关于原点对称，即对于定义域内的任意一个,x,，则,x,也一定属于定义域,.,反思与感悟,16,跟踪训练,1,(1),证明,f,(,x,),(,x,2),既非奇函数又非偶函数；,证明,证明,由,0,，得定义域为,2,2),，关于原点不对称，故,f,(,x,),为非奇非偶函数,.,17,(2),证明,f,(,x,),x,|,x,|,是奇函数,.,证明,证明,函数的定义域为,R,，因,f,(,x,),(,x,)|,x,|,x,|,x,|,f,(,x,),，,所以函数为奇函数,.,18,命题角度,2,证明分段函数的奇偶性,例,2,判断函数,f,(,x,),的奇偶性,.,解答,19,解,由题意可知,f,(,x,),的定义域为,(,6,，,1,1,6),，,关于原点对称，,当,x,(,6,，,1,时，,x,1,6),，,所以,f,(,x,),(,x,5),2,4,(,x,5),2,4,f,(,x,),；,当,x,1,6),时，,x,(,6,，,1,，,所以,f,(,x,),(,x,5),2,4,(,x,5),2,4,f,(,x,).,综上可知对于任意的,x,(,6,，,1,1,6),，,都有,f,(,x,),f,(,x,),，,20,分段函数也是函数，证明奇偶性也是抓住两点：,(1),定义域是否关于原点对称；,(2),对于定义域内的任意,x,，是否都有,f,(,x,),f,(,x,)(,或,f,(,x,),，只不过对于不同的,x,，,f,(,x,),有不同的表达式，要逐段验证是否都有,f,(,x,),f,(,x,)(,或,f,(,x,).,反思与感悟,21,跟踪训练,2,证明,f,(,x,),是奇函数,.,证明,证明,定义域为,x,|,x,0.,若,x,0,，,f,(,x,),x,2,，,f,(,x,),x,2,，,f,(,x,),f,(,x,),；,若,x,0,，则,x,0.,解答,解,xf,(,x,)0,即图象上横坐标、纵坐标同号,.,结合图象可知，,xf,(,x,)0,的解集是,(,2,0),(0,2).,29,引申探究,把例,4,中的,“,奇函数,”,改为,“,偶函数,”,，重做该题,.,解答,解,(1),f,(,x,),的图象如图所示：,(2),xf,(,x,)0,的解集是,(,，,2),(0,2).,30,鉴于奇,(,偶,),函数图象关于原点,(,y,轴,),对称，可以用这一特性去画图，求值，求解析式，研究单调性,.,反思与感悟,31,跟踪训练,4,已知奇函数,f,(,x,),的定义域为,5,5,，且在区间,0,5,上的图象如图所示,.,解答,(1),画出在区间,5,0,上的图象；,解,如图，在,0,5,上的图象上选取,5,个关键点,O,，,A,，,B,，,C,，,D,.,分别描出它们关于原点的对称点,O,，,A,，,B,，,C,，,D,，,再用光滑曲线连接即得,.,32,(2),写出使,f,(,x,)0,的,x,的取值集合,.,解答,解,由,(1),图可知，当且仅当,x,(,2,0),(2,5),时，,f,(,x,)0.,使,f,(,x,)0,的,x,的取值集合为,(,2,0),(2,5).,33,命题角度,2,利用函数奇偶性的定义求值,例,5,若函数,f,(,x,),ax,2,bx,3,a,b,是偶函数，定义域为,a,1,2,a,，则,a,_,，,b,_.,答案,解析,解析,因为偶函数的定义域关于原点对称，所以,a,1,2,a,，,0,又,f,(,x,),为偶函数，,34,函数奇偶性的定义有两处常用：,定义域关于原点对称；,对定义域内任意,x,，恒有,f,(,x,),f,(,x,)(,或,f,(,x,),成立，常用这一特点得一个恒成立的等式，或对其中的,x,进行赋值,.,反思与感悟,35,答案,解析,0,当,a,1,，,b,1,时，经检验知,f,(,x,),为奇函数，故,a,b,0.,36,当堂训练,37,1.,下列函数为偶函数的是,A.,f,(,x,),x,1,B.,f,(,x,),x,2,x,C.,f,(,x,),2,x,2,x,D.,f,(,x,),2,x,2,x,答案,2,3,4,5,1,解析,解析,D,中，,f,(,x,),2,x,2,x,f,(,x,),，,f,(,x,),为偶函数,.,38,2.,函数,f,(,x,),x,(,1,x,1),的奇偶性是,A.,奇函数,B.,偶函数,C.,非奇非偶函数,D.,既是奇函数又是偶函数,答案,2,3,4,5,1,39,3.,已知函数,y,f,(,x,),x,是偶函数，且,f,(2),1,，则,f,(,2),等于,A.,1 B.1,C.,5 D.5,答案,2,3,4,5,1,解析,解析,函数,y,f,(,x,),x,是偶函数，,x,2,时函数值相等,.,f,(,2),2,f,(2),2,，,f,(,2),5,，故选,D.,40,4.,若函数,f,(,x,),(,m,1),x,2,(,m,2),x,(,m,2,7,m,12),为偶函数，则,m,的值是,A.1 B.2,C.3 D.4,答案,2,3,4,5,1,41,5.,下列说法错误的个数是,图象关于原点对称的函数是奇函数；,图象关于,y,轴对称的函数是偶函数；,奇函数的图象一定过原点；,偶函数的图象一定与,y,轴相交；,既是奇函数，又是偶函数的函数一定是,f,(,x,),0(,x,R,).,A.4 B.3,C.2 D.0,2,3,4,5,1,答案,42,规律与方法,1.,两个定义：对于,f,(,x,),定义域内的任意一个,x,，如果都有,f,(,x,),f,(,x,),f,(,x,),f,(,x,),0,f,(,x,),为奇函数；如果都有,f,(,x,),f,(,x,),f,(,x,),f,(,x,),0,f,(,x,),为偶函数,.,2.,两个性质：函数为奇函数,它的图象关于原点对称；函数为偶函数,它的图象关于,y,轴对称,.,3.,证明一个函数是奇函数，必须对,f,(,x,),的定义域内任意一个,x,，都有,f,(,x,),f,(,x,).,而证明一个函数不是奇函数，只要能举出一个反例就可以了,.,43,本课结束,44,
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