随机变量的数学期望

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,第二节 随机变量的数学期望,一、数学期望的概念,二、数学期望的性质,通过前面的学习知道，对于一个随机变量若已知它的概率分布，就可以计算出我们要求的各种情形的概率。,然而，在实际问题中所遇到的随机变量，其分布一般情况下是未知的，而求出它的分布不是一件容易的事。,在一些实际问题中，我们并不一定要知道某个随机变量的分布，而只需要知道一些能够集中反映其分布特征和性质的指标就可以解决问题。,例如,在评价某地区粮食产量水平时,通常只要知道该地区粮食的平均产量,;,又如,在评论一批,灯泡,的质量时,既,要注意,其,平均,使用寿命,又要注意,灯泡寿命,与平均,寿命,的偏离程度,.,实际上,描述随机变量的平均值和偏离程度的数字特征在理论和实践上都具有重要的意义,它们能更直接,更简洁,更清晰和更实用地反映出随机变量的本质,.,将要讨论随机变量的常用数字特征,:,数学期望,方差,.,1.,离散型随机变量的数学期望,一、数学期望的概念,若级数 发散,则称,X,的数学期望不存在,.,关于定义的两点说明,(1),E,(,X,),是一个实数,而非变量,它是一种,加权平均,与一般的算术平均值不同,它从本质上体现了随机变量,X,取可能值的,真正的平均值,也称,均值,.,(2),级数的绝对收敛性,保证了级数的和不随级数各项次序的改变而改变,之所以这样要求是因为数学期望,是反映随机变量,X,取可能值的平均值,它不应随可能值的排列次序而改变,.,绝对收敛是一个必要条件，它们可以保证顺序的变化不影响数学期望中级数的收敛性,.,例如设随机变量,X,取值,相应的概率为,所以,X,的数学期望不存在,.,由于 发散，,例,1,此例说明了数学期望更完整地刻化了,X,的均值状态。,2.,连续型随机变量的数学期望,若 发散,称,X,的数学期望不存在,.,注,:,并非所有随机变量都有数学期望,.,例如,若,X,的密度为,由于广义积分,发散,所以,E,(,X,),不存在,.,例,2,设,X,的密度函数为,求,E,(,X,).,解,例,3,设随机变量,X,f,(,x,),E,(X)=7/12,其中,解：,由题意知,解方程组得,a,=1,b,=1/2.,求,a,与,b,的值,.,随机变量函数的数学期望,设已知随机变量,X,的分布，我们需要计算的不是,X,的期望，而是,X,的某个函数的期望，比如说,g,(,X,),的期望,.,那么应该如何计算呢？,1.,离散型随机变量函数的数学期望,解,设随机变量,X,的分布律为,则有,因此离散型随机变量函数的数学期望为,若,Y,=,g,(,X,),且,则有,则有,2.,连续型随机变量函数的数学期望,若,X,是连续型的,它的分布密度为,f,(,x,),则,例,4,设随机变量,X,的密度函数为,称,X,服从,a,b,上的均匀分布,.,求,及,解,市场上对某种产品每年的需求量为,X,吨，,X,U,(2000,4000),每出售一吨可赚,3,万元,售,不出去，则每吨需仓库保管费,1,万元，问应该生,产这种商品多少吨,才能使平均利润最大？,例,5,解,设每年生产,y,吨的利润为,Y,，,2000,y,4000,故,y=,3500,时,，,EY,最大,，,EY,=8250,万元,1.,设,C,是常数,则有,证明,2.,设,X,是一个随机变量,k,是常数,则有,二、数学期望的性质,3.,E,(a,X+b,),=,aEX+b,4.,E,(,X,+,Y,)=,E,(,X,)+,E,(,Y,）,注,:,这个性质可推广到有限个随机变量之和的情形,.,5,、对任意的两个随机变量函数,且,存在，则有,.,解,例,6,