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人 教 版 数 学 八 年 级 下 册20.2数 据 的 波 动 程 度义 安 区 金 榔 中 学 叶 长 斌 平 均 数 的 计 算 要 用 到 所 有 的 数 据 ， 它 能 够 充 分利 用 数 据 提 供 的 信 息 ， 因 此 在 现 实 生 活 中 较 为常 用 ， 但 它 受 极 端 值 的 影 响 较 大 ；平 均 数中 位 数中 位 数 则 仅 与 数 据 的 排 列 位 置 有 关 ， 某 些 数 据的 变 动 对 它 的 中 位 数 没 有 影 响 。 当 一 组 数 据 中的 个 别 数 据 变 动 较 大 时 ， 可 用 它 来 描 述 其 集 中趋 势 ， 中 位 数 不 受 极 端 值 的 影 响 ， 只 需 很 少 的计 算 ， 这 是 它 的 优 点 。众 数 众 数 着 眼 于 对 各 数 据 出 现 的 频 数 的 考 察 ， 其大 小 只 与 这 组 数 据 中 的 部 分 数 据 有 关 。 当 一组 数 据 中 有 不 少 数 据 多 次 重 复 出 现 时 ， 其 众数 往 往 是 我 们 关 心 的 一 种 统 计 量 ， 众 数 不 受极 端 值 的 影 响 ， 这 是 它 的 一 个 优 点 ； 在 统 计 学 中 ， 除 了 平 均 数 、中 位 数 、 众 数 这 类 刻 画 数 据 集 中趋 势 的 量 以 外 ， 还 有 一 类 刻 画 数据 波 动 （ 离 散 ） 程 度 的 量 , 其 中最 重 要 的 就 是 问 题 ： 农 科 院 计 划 为 某 地 选 择 合 适 的 甜 玉 米 种 子 ， 选 择 种子 时 ， 甜 玉 米 的 产 量 的 产 量 的 稳 定 性 是 农 科 院 所 关 心 的 问题 。 为 了 解 甲 、 乙 两 种 甜 玉 米 种 子 的 相 关 情 况 ， 农 科 院 各用 10块 自 然 条 件 相 同 试 验 田 进 行 试 验 ， 得 到 各 试 验 田 每 公顷 的 产 量 （ 单 位 ： t)如 下 表 ： 根 据 这 些 数 据 估 计 ， 农 科 院 应 该 选 择 哪 种 甜 玉 米 种 子 呢 ？甲 7.65 7.5 7.62 7.59 7.65 7.64 7.5 7.4 7.41 7.41乙 7.55 7.56 7.53 7.44 7.49 7.52 7.58 7.46 7.53 7.49 537.7x 甲 515.7x 乙 比较两图，请思考：甲种甜玉米的产量与乙种甜玉米的产量偏离平均产量的情况怎么样？ 比 较 两 幅 图 可 以 看 出 ： 甲 种 甜 玉 米 在 各 试 验 田 的 产 量 与 其 平 均 平 均产 量 的 偏 差 较 大 ， 即 各 试 验 田 的 产 量 波 动 较 大 。 乙 种 甜 玉 米 在 各 试 验 田 的 产 量 与 其 平 均 平 均产 量 的 偏 差 较 小 ， 即 各 试 验 田 的 产 量 波 动 较 小 。 如 何 用 数 据 刻 画 一 组 数 据的 波 动 大 小 ？ 由 图 可 以 看 出 ： 一 组 数 据 的 波 动 程 度 ， 和 每 一 个 数 据 与 其 平 均 值 的 “差 距 ”有关 ， 也 就 是 与 有 关 ， 显 然 这 个 平 均 “差 距 ”越 大 ， 波 动 越大 ， 而所 以 它 不 能 反 映 数 据 的 波 动 情 况 。 为 了 避 免 这 个 平 均 “差 距 ”为 零的 情 况 ， 我 们 可 以 用 来 代 替)( xxn )( xxn 0)(1)()()(1 2121 xxxxxxnxxxxxxn nn2)( xxn 设 有 n个 数 据 nxxx ，21各 数 据 与 它 们 的 平 均 数 的 差 的 平 方 分 别是 2221 )()( xxxx ， 2)(, xxn 我 们 用 它 们 的 平 均 数 ， 即 用 )()()(1s 222212 xxxxxxn n 来 衡 量 这 组 数 据 的 波 动 大 小 ， 并 把 它 叫 做 这 组 数 据的 方 差 （ variance） ， 记 作 2s 从 上 面 计 算 方 差 的 式 子 可 以 看 出 ：当 数 据 分 布 比 较 分 散 （ 即 数 据 在 平 均 数附 近 波 动 较 大 ） 时 ， 各 个 数 据 与 平 均 数的 差 的 平 方 和 较 大 ， 方 差 就 较 大 ； 当 数据 分 布 比 较 集 中 时 ， 各 个 数 据 与 平 均 数的 差 的 平 方 和 较 小 ， 方 差 就 越 小 。 反 过来 也 成 立 。 )()()(1s 222212 xxxxxxn n S甲 2= (7.65-7.537)2+(7.50-7.537)2+ +(7.41-7.537)2 0.010110 S乙 2= (7.55-7.515)2+(7.56-7.515)2+ +(7.49-7.515)2 0.002110 现 在 你 能 说 说 甲 乙 两 种 甜 玉 米 产 量 的 波 动 的 情 况 吗 ？下 面 我 们 利 用 方 差 来 分 析 甲 乙 两 种 甜 玉 米 产 量 的 波 动 情 况 。甲 种 甜 玉 米 产 量 的 波 动 大 。22 乙甲 ss 由 此 可 知 ， 在 试 验 田 中 ， 乙 种 甜 玉 米 的 产 量 比 较 稳 定 ， 因此 可 以 推 测 ， 在 这 个 地 区 种 植 甜 玉 米 的 产 量 比 甲 种 稳 定 。 综 合考 虑 甲 乙 两 个 品 种 的 平 均 产 量 和 产 量 的 稳 定 性 ， 可 以 推 测 这 个地 区 比 较 适 合 种 植 乙 种 甜 玉 米 。 （ 2） 研 究 数 据 的 波 动 程 度 可 用 方 差 ；（ 4） 方 差 越 大 ， 数 据 的 波 动 越 大 ； 方 差 越 小 ， 数 据 的 波 动 越 小 。（ 1） 方 差 :各 数 据 与 平 均 数 的 差 的 平 方 和 的 平均 数 叫 做 这 组 数 据 的 方 差 .（ 3） 方 差 主 要 应 用 在 平 均 数 相 等 或 接 近 时 。 1.用 条 形 图 表 示 下 列 各 数 ， 计 算 并 比 较它 们 的 平 均 数 和 方 差 ， 体 会 方 差 是 怎 样刻 画 数 据 的 波 动 程 度 的(1) 6 6 6 6 6 6 6(2) 5 5 6 6 6 7 7(3) 3 3 4 6 8 9 9(4) 3 3 3 6 9 9 9 、 用 条 型 图 表 示 下 列 各 组 数 据 ， 计 算 并 比 较 它 们 的 平 均 数 和 方 差 ，体 会 方 差 是 怎 样 刻 画 数 据 的 波 动 程 度 的 。（ 1） 6 6 6 6 6 6 66776 x 07 )66()66()66()66()66()66()66( 22222222 s （ 2） 5 5 6 6 6 7 767 273652 x 747 )76()76()66()66()66()65()65( 22222222 s （ 3） 3 3 4 6 8 9 9 67 2986423 x 7487 )69()69()68()66()64()63()63( 22222222 s （ 4） 3 3 3 6 9 9 967 39633 x 7547 )69()69()69()66()63()63()63( 22222222 s 2.在 样 本 方 差 计 算 公 式 里 ， 数 字 2 0 和 3 0 分 别 表 示 什 么 ？)30()30()30(201s 222212 nxxx20表 示 样 本 容 量30表 示 样 本 平 均 数 方 差 是 用 “ 先 平 均 ， 再 求 差 ， 然后 平 方 ， 最 后 再 平 均 ” 的 方 法 得 到 的结 果 ， 主 要 反 映 整 组 数 据 的 波 动 情 况 ，是 反 映 一 组 数 据 与 其 平 均 值 离 散 程 度的 一 个 重 要 指 标 ， 每 个 数 据 的 变 化 都将 影 响 方 差 的 结 果 ， 是 一 个 对 整 组 数据 波 动 情 况 较 敏 感 的 指 标 。 在 一 次 芭 蕾 舞 比 赛 中 ， 甲 乙 两 个 芭 蕾 舞 团 都 表演 了 舞 剧 天 鹅 舞 ， 参 加 表 演 的 女 演 员 的 身 高（ 单 位 ： cm） 分 别 是 甲 团 163 164 164 165 165 166 166 167 乙 团 163 165 165 166 166 167 168 168 哪 个 芭 蕾 舞 团 女 演 员 的 身 高 更 整 齐 ？ 1658 16716631652164163x 甲 1668 16821671661652164163x 乙 5.18 )165167()165164()165163(s 2222 甲 5.28 )166168()166164()166163(s 2 乙 22 乙甲 ss SHIFT CLR SCL1 ONMODE SD2 12163164167SHIFT S-VAR2 2n = x 2 MODE 清 除 调 SD状 态 传 递 数 据 的 各 种 功 能 输 数 据 出 结 果 =M+M+M+ 如 图 是 甲 、 乙 两 射 运 动 员 的 10次 射 击 训 练 的 成 绩 的 折 线 统 计 图 ，观 察 图 形 ， 甲 、 乙 这 10次 射 击 成 绩 的 方 差 哪 个 大 ?22 乙甲 、 ss 谈 谈 自 己 这 节 课 你 学 到 了 什 么 ？1.方 差 :各 数 据 与 平 均 数 的 差 的 平 方 的 平 均 数 叫 做 这批 数 据 的 方 差 .2.方 差 用 来 衡 量 一 批 数 据 的 波 动 大 小 (即 这 批 数 据 偏 离 平 均 数 的 大 小 ). )()()(1s 222212 xxxxxxn n 3 在 样 本 容 量 相 同 的 情 况 下 ： 方 差 越 大 ,说 明 数 据 的 波 动 越 大 ,越 不 稳 定 . 方 差 越 小 ,说 明 数 据 的 波 动 越 小 ,越 稳 定 . P128 复 习 巩 固 1、 2、 3
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