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单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,1.2,排列与组合,1.2.2,组 合,(,一,),1.,理解组合的意义，掌握组合数的计算公式；,教学目标,：,2.,能正确认识组合与排列的联系与区别,.,重 点：,难 点：,理解组合的意义,.,掌握组合数的计算公式,.,3.,通过本节的学习，培养学生是辩证唯物主义观点,.,问题一：,从甲、乙、丙,3,名同学中选出,2,名去参加某天的一项活动，其中,1,名同学参加上午的活动，,1,名同学参加下午的活动，有多少种不同的选法？,问题二：,从甲、乙、丙,3,名同学中选出,2,名去参加某天一项活动，有多少种不同的选法？,甲、乙；,甲、丙；,乙、丙,.,共,3,种,情境创设,两个问题有什么联系和区别？,从已知的,3,个不同元素中每次取出,2,个元素,并成一组,问题二,从已知的,3,个不同元素中每次取出,2,个元素,按照一定的顺序排成一列,.,问题一,排列,组合,有,顺,序,无,顺,序,组合定义,:,一般地,从,n,个不同元素中取出,m,（,m,n,）个元素,并成一组,叫做从,n,个不同元素中取出,m,个元素的一个,组合,.,组合的特征：,（,1,）每个组合中元素互不相同；,（,2,）“只取不排”,无序性；,（,3,）组合相同即元素相同；,共同点,：都是从,n,个不同元素中任意,取出,m,个元素，,不同点,：排列与元素的顺序有关，,而组合与元素的顺序无关。,?,排列与组合有什么共同点与不同点？,例,1,：判断下列各个事件是组合问题还是排列问题,?,(1),从,10,个人里选,3,个代表去开会，共有多少种选法,?,(2),某铁路线上有,5,个车站，则这条铁路线上共需准备多少种车票,?,有多少种不同的火车票价？,组合问题,(3)10,人聚会，见面后每两人之间要握手相互问候,共需握手多少次,?,组合问题,组合问题,排列问题,排列问题,排列问题,方法，小结,：要区分排列与组合问题，先确定完成的是什么事件，然后,看问题是否与顺序有关,，,若交换两个元素的位置对结果有影响，则是排列问题,，即与顺序有关的是排列；,若交换两个元素的位置对结果没有影响,，则是组合问题，即与顺序无关的是组合,.,组合数的定义：,从,n,个不同元素中取出,m(mn,),个元素的所有不同组合的个数,叫做从,n,个不同元素中取出,m,个元素的,组合数,那么，如何计算呢？前面已经提到，组合与排列有相互联系，能否利用这种关系，通过排列数来求组合数呢？,例如从,4,个不同元素中取出,3,个元素的组合数表示为,下面我们还是先分析一下,从,a,b,c,d,这,4,个元素中选,3,个元素的组合与排列的关系：,从“,元素相同顺序不同的两个组合相同,”，以及“,元素相同顺序不同的两个排列不同,”得到启发，我们以“,元素相同,”为标准将排列分类，并建立其排列与组合之间的如下对应关系：,a b c,a b d,a c d,b c d,排列,a b c b a c c a b,a c b b c a c b a,a b d b a d d a b,a d b b d a d b a,a c d c a d d a c,a d c c d a d c a,b c d c b d d b c,b d c c d b d c b,=,组合,排列,求从,n,个不同元素中取出,m,个元素的排列数,第,1,步,从这,n,个不同元素中取出,m,个元素,共有 种不同的取法,;,C,n,m,可看作以下,2,个步骤得到,:,第,2,步,将取出的,m,个元素做全排列,共有 种不同的排法,.,A,m,m,n,mN,*,并且,mn,.,组合数公式,规定：,C,n,0,=1,例,1,计算：（,1,）,(2),p25,练习,5,、,6,组合数的两个性质：,性质,1,：,性质,2,：,例,3,计算：（,1,）,和,（,2,）,和,例,4,解方程,(1),例,1,一位教练的足球队共有,17,名初级学员,他们中以前没有一人参加过比赛,按照足球比赛规则,比赛时一个足球队的上场队员是,11,人,.,问,:,组合的简单应用：,(1),这位教练从这,17,名学员中可以形成多少种学员上场方案,?,(2),如果在选出,11,名上场队员时,还要确定其中的守门员,那么教练员有多少种方式做这件事情,?,(1),由于上场球员没有角色差异，故有,共有,(2),分两步完成这件事,第,1,步,从,17,名学员中选出,11,人上场,第,2,步,从上场的,11,人中选,1,名守门员,例,2 (1),平面内有,10,个点,以其中每,2,个点为端点的线段共有多少条,?,解,：（,1,）,10,个不同元素中取,2,个元素的,组合数,.,解：（,2,）有向线段有起点和终点，,10,个不同元素中取,2,个元素的,排列数,.,(2),平面内有,10,个点,以其中每,2,个点为端点的有向线段共有多少条,?,例,3 (1),有,4,本不同的书，一个人去借，有多少种不同的借法？,(2),有,13,本不同的书，其中小说,6,本，散文,4,本，诗歌,3,本，某人借,6,本，其中有,3,本小说，,2,本散文，,1,本诗歌，问有几种借法？,(1),此人所借的书可以是一本，二本，三本，四本,（本）,(2),解：分三个步骤完成，共有,（种）,例题,4,在,100,件产品中,有,98,件合格品,2,件次品,.,从这,100,件产品中任意抽出,3,件,(1),有多少种不同的抽法,?,100,个不同元素中取,3,个元素的组合数,(2),抽出的,3,件中恰好有,1,件是次品的抽法有多少种,?,从,2,件次品中抽出,1,件次品的抽法有,从,98,件合格品中抽出,2,件的抽法有,例题,4.,在,100,件产品中,有,98,件合格品,2,件次品,.,从这,100,件产品中任意抽出,3,件,(3),抽出的,3,件中至少有,1,件是次品的抽法有多少种,?,法,1,含,1,件次品或含,2,件次品,法,2,100,件中抽,3,件减,98,件合格品中抽,3,件,练习,.,在产品检验中，常从产品中抽出一部分,进行检查,.,现有,100,件产品，其中,3,件次品，,97,件,正品,.,要抽出,5,件,进行检查，根据下列各种要求，,各有多少种不同的抽法？,(1),无任何限制条件；,(2),全是正品；,(3),只有,2,件正品；,(4),至少有,1,件次品；,(5),至多有,2,件次品；,(6),次品最多,.,解答：,（,1,）,（,2,）,（,3,）,（,4,）,，或,（,5,）,（,6,）,主要学习了组合、组合数的概念。,利用组合和排列的关系得到了组合数公式。,n,个不同元素,m,个元素,m,个元素的全排列,第一步,组合,第二步,排列,课堂小结：,按下列条件，从,12,人中选出,5,人，有多少种不同选法？,（,1,）甲、乙、丙三人必须当选；,（,2,）甲、乙、丙三人不能当选；,（,3,）甲必须当选，乙、丙不能当选；,（,4,）甲、乙、丙三人只有一人当选；,（,5,）甲、乙、丙三人至多,2,人当选；,（,6,）甲、乙、丙三人至少,1,人当选；,例,1,含有附加条件的组合问题：,：,例,1,有划船运动员,10,人，其中人会划右舷，人会划左舷，其余人都会划，现要从中选出人，平均分配在船的两舷，有多少种选法？,解：按左舷分三类：,（,1,）只会划左舷人都被选,（,2,）只会划有左舷人被选：,（,3,）只会划左舷人都不选：,共有,（种）,2,某些特殊元素有特殊归类问题：,例,3,由数,1,、,2,、,3,、,4,可组成多少个不同的和？,3,组合中的有重复问题：,解：选两个数相加有,选三个数相加有,选四个数相加有,但,1+4=2+3,，,1+2+3=2+4,，,1+2+4=3+4,（个）,4 “,不相邻”的组合问题：,例,1,某仪表显示屏上一排个小孔，每个小孔可显示红与黄两种颜色信号，若每次有三个小孔同时给出信号，但相邻的两孔不能同时给出信号，求此显示屏可显示多少种不同的信号？,解：有孔不显示信号,其空有,选三空显示信号,有,种，,每孔都有红、黄两种颜色有,种，,可显示,（种）,例,有,6,本不同的书按下列分配方式分配，问共有多少种不同的分配方式？,(1),分成,1,本、,2,本、,3,本三组；,(2),分给甲、乙、丙三人，其中一个人,1,本，一个人,2,本，一个人,3,本；,(3),分成每组都是,2,本的三组；,(4),分给甲、乙、丙三人，每个人,2,本；,(5)6,本相同的书放到,4,个不同的盒子中，每个盒子至少放一本书,5“,分堆与分配”问题：,练习：,6,项不同的工程，分别给甲、乙、丙三个公司,.,(1),如果甲承包一项、乙承包二项、丙承包三项，有多少种承包方式,?,(2),如果一个公司承包一项，另一个公司承包两项，剩下的一个公司承包三项，有多少种承包方式,?,(3),如果每个公司均承包两项，有多少种承包方式,?,解,：,(1),从,6,项工程中选一项给甲有 种，,从余下的,5,项中选两项给乙有 种，,最后的,3,项给丙有,种，由分步计数原理,共有,=60,种,.,(2),将,6,项工程依条件分为三组共有,种，而将三组分给甲、乙、丙三公司有,种，故有,=360,种,.,(3),解法,1,：,=90,种,.,解法,2,：,=90,种,.,6 “,名额分配”问题：,例,1,有,10,个参加数学竞赛的名额,要分给,7,所学校,每校至少一个名额,有多少种不同的名额分配方法？,解：先将,10,个名额中的,7,个名额分给,7,个学校每校一个，,则转化为剩下的三个名额如何分配的问题，可分三类方法,.,第一类,:,选三个学校,每个学校一个名额,分配方法数,第二类,:,选两个学校,决定哪个学校分别给一个或两个名,额，分配方法种数为,第三类,:,选一个学校,三个名额都给该校,分配方法种数为,所以不同的名额分配方法种数为,解法二（,隔板法,）：注意到,10,个名额之间是没有差别的，设想将,10,个名额排成一排，每两个“相邻”的名额间形成一个空隙，共,9,个空隙。,例,1,有,10,个参加数学竞赛的名额,要分给,7,所学校,每校至少一个名额,有多少种不同的名额分配方法？,在个空档中选个位置插个隔板，可把名额分成份，对应地分给个班级，每一种插板方法对应一种分法共有,_,种分法。,84,1,、,已知,10,件不同产品中共有,4,件次品，现对它们进行一一测试，直至找到所有次品为止,.,(1),若恰在第,5,次测试，才测试到第一件次品，第,10,次才找到最后一件次品的不同测试方法数是多少,?,(2),若恰在第,5,次测试后，就找出了所有次品，则这样的不同测试方法数是多少,?,解：,(1),先排前,4,次测试，只能取正品，,有,种不同测试方法，再从,4,件次品中选,2,件排在第,5,和第,10,的位置上测试，,有,种测法，再排余下,4,件的测试,位置，有,种测法,.,所以共有不同的测试,方法,=103680,种,.,(2),第,5,次测试恰找到最后一件次品，另,3,件,在前,4,次中出现，从而前,4,次有,1,件正品出现,.,所以共有不同测试方法,=576,种,.,2,、,从6名短跑运动员中选4人参加4100,m,接力，如果其中甲不能跑第一棒，乙不能跑第四棒，问共有多少种参赛方法?,解：,问题分成三类：(1)甲、乙两人均不参加，有,种；,(2)甲、乙两人有且仅有一人参加，,有,种；,(3)甲、乙两人均参加，其中甲跑,第四棒有,种，甲跑第二棒或,第三棒有,种，,由分类计数原理，共,=252种.,3,、,6名运动员分到4所学校去做教练，每校至少1人，有多少种不同的分配方法?,=1560,种,4,.4,个不同的小球放入,3,个不同的盒子里，求在下列条件下各有多少种不同的放法,?,(1),有多少种放法,（,2,）每个盒子至少放一个球；,(3),恰有一个盒子空,.,每天告诉自己一次：,我真的很不错！,
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