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单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,课题,常用的思想方法,知识梳理,典型例题和及时反馈,中考命题分析,考点链接,知识梳理,数学思想方法是,数学基础知识的重要组成部分,，教材没有专门的章节介绍它，而是伴随着基础知识的学习而展开的。它是数学的精髓，也是解题的指导思想。,知识梳理,在初中数学中，最常用的数学思想方法有：,换元法,、,配方法,、,待定系数法,、,分类讨论思想和数形结合思想等,。,它们是初中数学中非常重要而且应用十分广泛的解题思想方法。,中考命题分析,考点链接,:,一、换元法,所谓换元法，就是把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使问题得到简化。换元的,实质,是,转化。,换元法的,关键,是能发现具有共同结构特征的式子，然后用一个字母表示它。,一、换元法,考点链接,典型例题,典型例题,例,1,、,已知方程 ，如果,设,那么原方程可化为,_,（写成关于,y,的一元二次方程的一般形式）,分析,：,方程整理，得,去分母，得,直接换元,典型例题,例,2,、阅读材料，解答问题,为了解方程 我们可以将 视为一个整体，然后设,则原方程可化为 解得 ， 当 时， ， ， ；当 时， ， ， , ,解答问题：（）填空：在由原方程得到方程的过程中，利用,_,法达到了降次的目的，体现了,_,的数学思想,（,2,）用上述方法解方程：,换元,转化,解：,(2),设,则原方程可化为,解得,(,舍去,),当 时, , ,原方程的解为,.,倒数换元,及时反馈,1,、解方程,若设 ，则原方程可化为,_.,写成关于,y,的一元二次方程为,及时反馈,2,、已知,求 的值,.,及时反馈,体现整体转化思想,解析,：设 ，则原方程可化为,，解方程，得,0(,舍去,),二、配方法,初中数学里的配方，就是把一个二次多项式的某些项配成一个或几个完全平方式。,依据,:,步骤,:,1,化二次项系数为；,加上并减去一次项系数一半的平方,实质,:,二次项系数化为后根据一次项系数配平方项,应用,:,降次化归：如,平方项的非负性，如：,典型例题,典型例题,例,3,、已知关于,x,的方程,求证：无论,m,取什么实数值，这个方程总有两个不相等的实数根,.,证明：,无论,m,取什么实数值，这个方程总有两个不相等的实数根,.,分析：,方程总有两个不相等的实数根,b,2,-4ac,0,常用配方法来证明代数式的值恒为正（负）,.,例,4,、已知实数,x,y,满足条件,x,2,+y,2,+2x-4y+5=0,，求,x,y,的值,.,解：,方程可化为,x,2,+2x+1+y,2,-4y,4,0,配方得（,x+1,）,2,+(y,2),2,=0,要使等式成立，必须且只需,解得 ,x,y,=,（,-1,）,2,=1,典型例题,分析：方程的左边可以通过适当的分组，配方成两个完全平方式，再通过平方项的非负性 得到两个方程，从而得解,及时反馈,1,、如果 ，则,a=,，,b=,.,2,、已知,x,是实数，求代数式 的最小值,.,2,1,当,x=2,时，代数式有最小值是,1.,及时反馈,分析：,常用配方法求二次三项式的最值问题,三、待定系数法,在给出的或设出的某些式子中常常含有一些等待确定的（未知的）参数，在解决某些问题时，我们常常可以将这些未知的量当成是已知量去应用公式、建立方程，从而求出这些量。这种方法就叫待定系数法。,待定系数法具体应用时常常分两步：一是设出含待定系数的式子；二是应用公式或列方程求出待定的系数。,例,5,、已知,y,y,1,y,2,，,y,1,与,x,成正比例，,y,2,与,x,成反比例，并且当,x,1,时，,y,2,，当,x,-2,时，,y,7,，求,y,与,x,的函数关系式,.,典型例题,典型例题,解：,设 ， ，,由题意得 ，解得,例,6,、已知二次函数的图象过,(3,，,0),，,(2,，,3),两点，并且以,x,1,为对称轴，求这个二次函数解析式,.,典型例题,解法二：设二次函数解析式为, ,解法一：设二次函数解析式为,解得 ,解法三：由对称性知图象与,x,轴的另一个交点为（,-1,，,0,）,设二次函数解析式为 ，经过点（,2,，,-3,）, ，,待定时注意选择适当的形式,及时反馈,已知二次函数的图象与,x,轴交点的横坐标分别是,x,1,=-3,，,x,2,=1,，且与,y,轴交点为,(0,，,-3),，求这个二次函数解析式。,及时反馈,分析：图象与,x,轴交点为（,-3,，,0,），（,1,，,0,），与,y,轴交点为,(0,，,3),，,在解答某些数学问题时，有时会遇到多种情况，很难从整体上加以解决。这时需要对各种情况加以分类，并逐类求解，然后综合得解，这就是分类讨论。,分类必须有一定的,标准,，标准不同，分类的结果也就不同。分类的,关键,是要做到不遗漏，不重复。,四、分类讨论思想,需要分类的原因是,“,不确定,”,，引起,“,不确定,”,的根源常常有以下一些情况,:,1.,字母取值的不同导致运算结果不同；,2,位置关系的不同导致图形结构不同；,3,对应关系的不同导致讨论结果不同,典型例题,典型例题,例,7,、已知三个数,1,，,，,请你再添上一个,(,只填一个,),数，使它们能构成一个比例式，则这个数是,_.,解析,:,由于题中没有明确这四个数的顺序，根据比例的基本性质，所添的数有三种可能性：即该数与已知三数中任一个的乘积等于其他两数的乘积。设这个数为,x,则有,不同的对应关系分类,例,8,、抛物线 的对称轴与,x,轴交于点,M,，抛物线与,y,轴的交点是,C,点，问在对称轴上是否存在点,P,，使,CMP,为等腰三角形？若存在，请直接写出所有符合条件的点,P,的坐标；若不存在，请说明理由,解析：抛物线的对称轴为：直线,设存在点,P,，使,CMP,为等腰三角形，有三种不同的情况：,若,MP=MC,，则,若,CP=CM,，则,若,PM=PC,，则,N,不同的位置关系分类,1.,若函数 与,x,轴只有一个交点，求,a,的值与交点坐标。,及时反馈,及时反馈,分析,（,1,）,当,a=0,时,此函数为一次函数,y=3x+1,与,x,轴的交点为,（,2,）,当 时,此函数为二次函数,当,=,时，与,x,轴只有一个交点,.,解得,a=1,或,a=9,当,a=1,时，,函数为 ，,交点为（,-1,，,0,）,当,a=9,时，函数为 ，交点为,对字母,a,的取值分类,2.,在矩形,ABCD,中，,AB=12cm,，,BC=6cm,，点,P,沿,AB,边从点,A,出发向,B,以,2cm,秒的速度移动,;,点,Q,沿,DA,边从点,D,开始向,A,以,1cm/,秒的速度移动。如果,P,、,Q,同时出发，用,t,秒表示移动的时间（,0,x,6,）那么：当,t,为何值时，以点,Q,、,A,、,P,为顶点的三角形与,ABC,相似？,解析：,根据三角形,相似的对应关系,，可分为两种情况来讨论,当 时，,QAPABC,，则 ，解得,t=1.2.,当,t=1.2,秒时，,QAPABC.,当 时，,PAQABC,，,则 ，解得,t=3.,当,t=3,秒,时，,PAQABC,。,2t,t,6-,五、数形结合思想,数形结合是把抽象的数学语言与直观的图形结合起来思索,通过,“,以形助数,”,或,“,以数解形,”,使复杂问题简单化，抽象的数学问题直观化、生动化，能够变抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质。,解：,a,b=,例,9.,实数,a,、,b,在数轴上的位置如图所示：化简 ,a,b=_,典型例题,典型例题,分析：,由数轴上的位置可以得到 且, ，,-2a+b,典型例题,（,2,）与,x,轴交于,(-1,0),和,(3,0),两点,例,10.,如图为二次函数,y=ax,2,bx,c,的图象，在下列说法中：,ac,0,； 方程,ax,2,bx,c=0,的根是,x,1,=,1, x,2,= 3 a,b,c,0,当,x,1,时，,y,随,x,的增大而增大,.,正确的说法有,_,_.(,把正确答案的序号都填在横线上,),分析：,（,1,）,由图象可知，开口向上，与,y,轴交于负半轴，则,（,3,）由对称性知对称轴是,及时反馈,1,、,一次函数 与 的图象如图，则下列结论 ； ；当 时， 中，正确的个数是（ ）,A,0 B,1 C,2 D,3,B,及时反馈,2,、已知二次函数 的图象如图所示，则关于,x,的方程 有两个不相等的实数根，则,k,的取值范围为（ ）,A,B,C,D,无法确定,分析：如果根据 的符号来判别解的情况，本题将无从入手，可将原方程变形为,从而理解成是两个函数的交点问题，即,由图象可知只要 就一定与抛物线有两个不同的交点,C,及时反馈,小结,本节课重点讨论了换元法、配方法、待定系数法、分类讨论思想和数形结合等最常用、最重要的数学思想方法，并且学会了利用这些思想方法来解决问题。,
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