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单击以编辑母版标题样式,单击以编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,二、 函数的间断点,一、 函数连续性的定义,第八节,机动 目录 上页 下页 返回 结束,函数的连续性与间断点,第一章,可见 , 函数,在点,一、 函数连续性的定义,定义:,在,的某邻域内有定义 ,则称函数,(1),在点,即,(2) 极限,(3),设函数,连续必须具备下列条件:,存在 ;,且,有定义 ,存在 ;,机动 目录 上页 下页 返回 结束,continue,若,在某区间上每一点都连续 ,则称它在该区间上,连续 ,或称它为该区间上的,连续函数,.,例如,在,上连续 .,( 有理整函数 ),又如,有理分式函数,在其定义域内连续.,在闭区间,上的连续函数的集合记作,只要,都有,机动 目录 上页 下页 返回 结束,对自变量的增量,有,函数的增量,左连续,右连续,当,时, 有,函数,在点,连续有下列,等价命题,:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例.,证明函数,在,内连续 .,证:,即,这说明,在,内连续 .,同样可证: 函数,在,内连续 .,机动 目录 上页 下页 返回 结束,在,在,二、 函数的间断点,(1) 函数,(2) 函数,不存在,;,(3) 函数,存在 ,但,不连续 :,设,在点,的某去心邻域内有定义 ,则下列情形,这样的点,之一,函数,f,(,x,) 在点,虽有定义 , 但,虽有定义 , 且,称为,间断点,.,在,无定义,;,机动 目录 上页 下页 返回 结束,间断点分类:,第一类间断点:,及,均存在 ,若,称,若,称,第二类间断点:,及,中至少一个不存在 ,称,若其中有一个为振荡 ,称,若其中有一个为,为,可去间断点,.,为,跳跃间断点,.,为,无穷间断点,.,为,振荡间断点,.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,为其无穷间断点 .,为其振荡间断点 .,为可去间断点 .,例如,:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,显然,为其可去间断点 .,(4),(5),为其跳跃间断点 .,机动 目录 上页 下页 返回 结束,内容小结,左连续,右连续,第一类间断点,可去间断点,跳跃间断点,左右极限都存在,第二类间断点,无穷间断点,振荡间断点,左右极限至少有一个不存在,在点,间断的类型,在点,连续的等价形式,机动 目录 上页 下页 返回 结束,思考与练习,1. 讨论函数,x,= 2 是第二类无穷间断点 .,间断点的类型.,2. 设,时,提示:,3. P64 题 2 , P65 题 5,为,连续函数.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,答案:,x,= 1 是第一类可去间断点 ,P65 题5,提示:,作业,P64 3 ; 4,第九节 目录 上页 下页 返回 结束,备用题,确定函数,间断点的类型.,解:,间断点,为无穷间断点;,故,为跳跃间断点.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,一、连续函数的运算法则,第九节,二、初等函数的连续性,机动 目录 上页 下页 返回 结束,连续函数的运算与,初等函数的连续性,第一章,定理2.,连续单调递增 函数的反函数,在其定义域内连续,一、连续函数的运算法则,定理1.,在某点连续的,有限个,函数经,有限次,和 , 差 , 积 ,( 利用极限的四则运算法则证明),商,(分母不为 0),运算,结果仍是一个在该点连续的函数 .,例如,例如,在,上连续单调递增，,其反函数,(递减).,(证明略),在 1 , 1 上也连续单调递增.,递增,(递减),也连续单调,机动 目录 上页 下页 返回 结束,定理3.,连续函数的复合函数是连续的.,在,上连续 单调 递增,其反函数,在,上也连续单调递增.,证:,设函数,于是,故复合函数,又如,且,即,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例如,是由连续函数链,因此,在,上连续 .,复合而成 ,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例1 .,设,均在,上连续,证明函数,也在,上连续.,证:,根据连续函数运算法则 ,可知,也在,上,连续 .,机动 目录 上页 下页 返回 结束,二、初等函数的连续性,基本初等函数在定义区间内连续,连续函数经四则运算仍连续,连续函数的复合函数连续,一切初等函数在,定义区间内,连续,例如,的连续区间为,(端点为单侧连续),的连续区间为,的定义域为,因此它无连续点,而,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例2.,求,解:,原式,例3.,求,解:,令,则,原式,说明:,当,时, 有,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例4.,求,解:,原式,说明:,若,则有,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例5.,设,解:,讨论复合函数,的连续性 .,故此时连续;,而,故,x,= 1,为第一类间断点 .,在点,x,= 1,不连续 ,机动 目录 上页 下页 返回 结束,内容小结,基本初等函数,在定义区间内,连续,连续函数的,四则运算,的结果连续,连续函数的,反函数,连续,连续函数的,复合函数,连续,初等函数在定义区间内连续,说明:,分段函数在界点处是否连续需讨论其,左、右连续性.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,思考与练习,续?,反例,x,为有理数,x,为无理数,处处间断,处处连续 .,反之是否成立?,作业,P68 3,(5) , (6) , (7) ;,4,(4) , (5) ,(6) ;,5,提示:,“反之” 不成立 .,第十节 目录 上页 下页 返回 结束,第十节,一,、最值定理,二、介值定理,*三、一致连续性,机动 目录 上页 下页 返回 结束,闭区间上连续函数的性质,第一章,注意:,若函数在,开区间,上连续,结论不一定成立 .,一,、最值定理,定理1.,在,闭区间,上连续的函数,即: 设,则,使,值和最小值.,或在闭区间内,有间断,在该区间上一定有最大,(证明略),点,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例如,无最大值和最小值,也无最大值和最小值,又如,机动 目录 上页 下页 返回 结束,推论.,由定理 1 可知有,证:,设,上有界 .,二、介值定理,定理2.,( 零点定理 ),至少有一点,且,使,机动 目录 上页 下页 返回 结束,( 证明略 ),在闭区间上连续的函数在该区间上有界.,定理3.,( 介值定理 ),设,且,则对,A,与,B,之间的任一数,C,一点,证:,作辅助函数,则,且,故由零点定理知, 至少有一点,使,即,推论:,使,至少有,在闭区间上的连续函数,必取得介于最小值与最,大值之间的任何值 .,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例1.,证明方程,一个根 .,证:,显然,又,故据零点定理, 至少存在一点,使,即,说明:,内必有方程的根 ;,取,的中点,内必有方程的根 ;,可用此法求近似根.,二分法,在区间,内至少有,机动 目录 上页 下页 返回 结束,则,则,上连续 , 且恒为正 ,例2.,设,在,对任意的,必存在一点,证:,使,令, 则,使,故由零点定理知 , 存在,即,当,时,取,或, 则有,证明:,小结 目录 上页 下页 返回 结束,*三. 一致连续性,已知函数,在区间 I 上连续,即:,一般情形,就引出,了一致连续的概念 .,定义:,对,任意,的,都有,在 I 上一致连续 .,显然:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例如,但不一致连续 .,因为,取点,则,可以任意小,但,这说明,在 ( 0 , 1 上不一致连续 .,定理.,上一致连续.,(证明略),思考:,P73 题 6,提示:,设,存在,作辅助函数,显然,机动 目录 上页 下页 返回 结束,内容小结,在,上达到最大值与最小值;,上可取最大与最小值之间的任何,值;,4. 当,时,使,必存在,上有界;,在,在,机动 目录 上页 下页 返回 结束,1.,任给一张面积为,A,的纸片(如图),证明必可将它,思考与练习,一刀剪为面积相等的两片.,提示:,建立坐标系如图.,则面积函数,因,故由介值定理可知:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,则,证明至少存在,使,提示:,令,则,易证,2.,设,作业,P73 题 2 ; 3; 4,一点,习题课 目录 上页 下页 返回 结束,备用题,至少有一个不超过 4 的,证,：,证明,令,且,根据零点定理 ,原命题得证 .,内至少存在一点,在开区间,显然,正根 .,机动 目录 上页 下页 返回 结束,
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