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单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,矩 阵 分 析,东北大学,信息,科学与工程,学院,石海彬,第二章 内积空间,线性空间,或,向量空间,向量的,加法,向量与数域中数的数量,乘法,向量的,长度,向量之间的,夹角,需要考虑,引入新的概念,内积,（某种乘法）,内积空间,目的,：进一步研究线性空间和线性变换,第二章 内积空间,1,内积空间的概念,2,正交基及子空间的正交关系,3,内积空间的同构,4,正交变换,5,点到子空间的距离与最小二乘法,6,复内积空间（酉空间）,7,正规矩阵,8,厄米特二次型,9,力学系统的小振动,第二章 内积空间,1.,内积空间的概念,内积的定义,此时的,V,就成为（实）,内积空间,1.,内积空间的概念,第二章 内积空间,1.,内积空间的概念,内积空间之例,例,1,n,维线性空间,R,n,此称为,欧几里德空间,（,欧氏空间,）,第二章 内积空间,1.,内积空间的概念,内积空间之例,例,2,n,2,维线性空间,R,n,n,第二章 内积空间,1.,内积空间的概念,内积的性质：,第条性质称为,柯西许瓦兹不等式,第二章 内积空间,1.,内积空间的概念,向量长度的定义,柯许不等式的另一写法,向量之间的夹角,向量垂直向量正交,90,度角,第二章 内积空间,1.,内积空间的概念,第二章 内积空间,2.,正交基及子空间的正交关系,2.,正交基及子空间的正交关系,任一,n,维欧氏空间都存在正交基,第二章 内积空间,2.,正交基及子空间的正交关系,第二章 内积空间,2.,正交基及子空间的正交关系,n,维欧氏空间的任一子空间都有唯一的正交补空间。,第二章 内积空间,3.,正交基及子空间的正交关系,3.,内积空间的同构,所有,n,维欧氏空间都同构,第二章 内积空间,4.,正交变换,4.,正交变换,保持内积不变,向量长度不变,第二章 内积空间,4.,正交变换,第二章 内积空间,5.,点到子空间的距离与最小二乘法,5.,点到子空间的距离与最小二乘法,向量之间的距离,第二章 内积空间,5.,点到子空间的距离与最小二乘法,5.,点到子空间的距离与最小二乘法,向量到子空间的距离,欧氏空间中的一个向量和一个子空间中的各个向量都有一个距离，最短的那个就定义为,x,W,V,从而，向量到子空间的距离为垂直向量的距离,第二章 内积空间,5.,点到子空间的距离与最小二乘法,用来解决最小二乘法问题,书,52,页之例,第二章 内积空间,6.,复内积空间（酉空间）,6.,复内积空间（酉空间）,书中,53,页之注,第二章 内积空间,6.,复内积空间（酉空间）,第二章 内积空间,6.,复内积空间（酉空间）,第二章 内积空间,6.,复内积空间（酉空间）,酉变换,保持内积不变,第二章 内积空间,6.,复内积空间（酉空间）,第二章 内积空间,7.,正规矩阵,7.,正规矩阵,对角矩阵 实对称矩阵 实反对称矩阵,厄米特矩阵 反厄米特矩阵 正交矩阵 酉矩阵,第二章 内积空间,7.,正规矩阵,书,57-58,页,之例,第二章 内积空间,8.,厄米特二次型,8.,厄米特二次型,第二章 内积空间,8.,厄米特二次型,（书,66,页之例）,第二章 内积空间,8.,厄米特二次型,谢谢,Thank You!,
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