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单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,#,考点必备梳理,考法必研突破,考题初做诊断,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,单击此处编辑母版标题样式,Page#,第,20,讲圆的有关概念及性质,考点一,考点二,考点一圆的有关概念和性质,1.,圆的定义,:,在同一平面内,一条线段,OA,绕着它的一个端点,O,旋转一周,另一个端点,A,所形成的封闭图形,叫做圆,;,直径等于半径的,2,倍,.,2.,垂径定理,垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的弧,.,推论,:,平分弦,(,不是直径,),的直径垂直于弦,并且平分弦所对的弧,.,3.,圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系,定理,:,在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等,所对的弦相等,所对的弦的弦心距相等,.,推论,:,在同圆或等圆中,如果两个圆心角以及这两个圆心角所对的弧、所对的弦、所对的弦的弦心距中,有一组量相等,那么其余的各组量也都相等,.,考点一,考点二,4.,圆的对称性,圆是轴对称图形,其对称轴是过圆心的直线,圆是旋转对称图形,其对称中心是圆心,.,5.,三角形的外接圆、外心,(1),确定圆的条件,:,过不在同一直线上的三点确定一个圆,;,已知圆心和半径,;,已知直径,.,(2),三角形的外接圆、外心,:,三角形的三个顶点确定一个圆,这个圆叫做三角形的外接圆,这个三角形叫做圆的内接三角形,这个圆的圆心叫做三角形的外心,.,6.,圆的内接多边形,如果一个多边形的每一个顶点都在同一个圆上,那么这个多边形叫做这个圆的内接多边形,这个圆叫做这个多边形的外接圆,.,7.,圆内接四边形的性质,圆的内接四边形的对角互补,并且一个外角等于它的内对角,.,考点一,考点二,考点二圆周角与圆心角,1.,圆心角,:,顶点在圆心的角叫做圆心角,圆心角的度数等于它所对的弧的度数,.,2.,圆周角,:,顶点在圆上、两边分别和圆相交的角叫做圆周角,圆周角的度数等于它所对的弧的度数的一半,.,3.,圆周角定理,(,圆周角和圆心角的关系,):,在同圆或等圆中,一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半,.,推论,1:,同弧或等弧所对的圆周角相等,在同圆或等圆中,相等的圆周角所对的弧相等,;,推论,2:,半圆,(,或直径,),所对的圆周角是直角,;90,的圆周角所对的弧是半圆,所对的弦是直径,.,考法,1,考法,2,考法,3,圆心角与圆周角的相关计算问题,在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆心角等于它所对的圆周角的,2,倍,.,利用这个关系来解决的问题常常是,:,已知圆周角求圆心角或已知圆心角求圆周角,有时也结合勾股定理进行半径或直径的计算,.,考法,1,考法,2,考法,3,例,1(2020,山东聊城,),如图,在,O,中,弦,BC,与半径,OA,相交于点,D,连接,AB,OC.,若,A=60,ADC=85,则,C,的度数是,(,),A.25B.27.5,C.30D.35,答案,:D,解析,:A=60,ADC=85,B=85-60=25,CDO=95,AOC=2B=50,C=180-95-50=35.,故选,D.,方法点拨直接利用三角形外角的性质以及邻补角的关系得出,B,以及,ODC,的度数,再利用圆周角定理以及三角形内角和定理得出答案,.,考法,1,考法,2,考法,3,垂径定理及其推论的应用,利用垂径定理和勾股定理相结合,进行有关弦、弦心距、半径,(,直径,),的计算是中考中关注热度较大的题型,.,例,2(2020,河北张家界,),如图,AB,是,O,的直径,弦,CDAB,于点,E,OC=5 cm,CD=8 cm,则,AE=(,),A.8 cmB.5 cm,C.3 cmD.2 cm,答案,:A,解析,:,弦,CDAB,于点,E,CD=8 cm,CE=CD=4 cm.,在,RtOCE,中,OC=5 cm,CE=4 cm,OE=3 cm,AE=AO+OE=5+3=8 cm.,故选,A.,考法,1,考法,2,考法,3,方法点拨根据垂径定理可得出,CE,的长度,在,RtOCE,中,利用勾股定理可得出,OE,的长度,再利用,AE=AO+OE,即可得出,AE,的长度,.,考法,1,考法,2,考法,3,例,3(2020,浙江杭州,),如图,O,的半径,OA=6,以,A,为圆心,OA,为半径的弧交,O,于,B,C,两点,则,BC=(,),考法,1,考法,2,考法,3,答案,:A,解析,:,设,OA,与,BC,相交于,D,点,.,连接,AB,OB.,AB=OA=OB=6,OAB,是等边三角形,.,又根据垂径定理可得,OA,平分,BC,方法点拨在应用垂径定理时,往往需要作垂直于弦的直径或半径,利用垂径定理及其推论和勾股定理达到解题的目的,.,考法,1,考法,2,考法,3,圆的性质的综合应用,圆的有关性质包括半径与直径的关系、圆心角与圆周角的关系,圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系、圆的对称性等,.,题型有有关圆的角度的计算,圆的内接三角形的相关计算,直径,(,半径,),、弦、弦心距的计算问题,往往综合性较大,.,考法,1,考法,2,考法,3,例,4(2020,浙江衢州,),如图,AC,是,O,的直径,弦,BDAO,于点,E,连接,BC,过点,O,作,OFBC,于点,F,若,BD=8 cm,AE=2 cm,则,OF,的长度是,(,),考法,1,考法,2,考法,3,答案,:D,解析,:,连接,OB,AC,是,O,的直径,弦,BDAO,于点,E,BD=8 cm,AE=2 cm,在,RtOEB,中,OE2+BE2=OB2,即,OE2+42=(OE+2)2,解得,OE=3,OB=3+2=5,EC=5+3=8,方法点拨根据垂径定理得出,OE,的长,进而利用勾股定理得出,BC,的长,再利用相似三角形的判定和性质解答即可,.,1.(2020,甘肃,),如图,A,过点,O(0,0),C(,0),D(0,1),点,B,是,x,轴下方,A,上的一点,连接,BO,BD,则,OBD,的度数是,(B,),A.15B.30C.45D.60,解析,:,连接,DC,DCO=30,OBD=30.,故选,B.,2.(2020,甘肃兰州,),如图,在,O,中,点,C,是 的中点,A=50,则,BOC=(A,),A.40B.45C.50D.60,解析,:,在,OAB,中,OA=OB,所以,A=B=50.,根据题意得,OC,平分弦,AB,所对的弧,所以,OC,垂直平分弦,AB,即,BOC=90-B=40,故选,A.,3.(2020,甘肃兰州,),如图,四边形,ABCD,内接于,O,四边形,ABCO,是平行四边形,则,ADC=(C,),A.45B.50C.60D.75,解析,:,连接,OB,则,OAB=OBA,OCB=OBC,四边形,ABCO,是平行四边形,则,OAB=OBC,ABC=OAB+OBC=AOC,ABC=AOC=120,OAB=OCB=60,连接,OD,则,OAD=ODA,OCD=ODC,由四边形的内角和等于,360,可知,ADC=360-OAB-ABC-OCB-OAD-OCD,ADC=60.,4.(2017,甘肃武威,),如图,ABC,内接于,O,若,OAB=32,则,C=58,.,解析,:,连接,OB,则,OA=OB,所以,OBA=OAB=32,所以,AOB=180-232=116,因为,AOB=2C,所以,2C=116,所以,C=58.,解析,:ABC=45,AOC=90,
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