6.1电子气的费米能和热容量(精品)

第六章 金属自由电子论,电子气的费米能和热容量,接触电势差,玻尔兹曼方程,驰豫时间的统计理论,金属电导率,一 费米能量,(1)金属中的价电子彼此之间无相互作用；,6.1,电子气的费米能和热容量,1.模型(索末菲),自由电子气(自由电子费米气体)：自由的,、,无相互作用的,、,遵从泡利原理的电子气。,(2)金属内部势场为恒定势场(价电子各自在势能等于平均势能的势场中运动)；,(3)价电子服从费米,狄拉克分布。,在热平衡时，能量为,E,的状态被电子占据的概率是,2.,费米分布函数,E,F,-,费米能级(等于这个系统中电子的化学势)，它的意义是在体积不变的条件下，系统增加一个电子所需的自由能。它是温度,T,和晶体自由电子总数,N,的函数。,图象,随着,T,的增加，,f,(,E,),发生变化的能量范围变宽，但在任何情况下，此能量范围约在,E,F,附近,k,B,T,范围内,。,3.费米面,E=E,F,的,等能面称为,费米面,。,(,a),T,=0k,在绝对零度时，费米面以内的状态都被电子占据，球外没有电子。,费米能级,(,b),T,0,时，费米球面的半径,k,F,比绝对零度时费米面半径小，此时费米面以内能量离,E,F,约,k,B,T,范围的能级上的电子被激发到,E,F,之上约,k,B,T,范围的能级。,E,F,4.求,E,F,的表达式,分两种情况讨论：,E,E,+d,E,间的电子状态数：,E,E,+d,E,间的电子数：,系统总,的电子数：,(1),在,T,=0K,时，上式变成：,将自由电子密度,N,(,E,),=,CE,1/2,代入得：,其中,令,n,=,N,/,V,c,，,代表系统的电子浓度,自由电子气系统中每个电子的平均能量由下式计算,金属中一般,n,10,28,m,-3,，,电子质量,m,=9,10,-31,kg，,几个电子伏。,由上式可以看出即使在绝对零度时电子仍有相当大的平均能量，这与经典的结果是截然不同的。,(分步积分得来),(2),=0,则上式化简为,因此一方面，,另一方面，将,g,(,E,),在,E,F,附近展开为泰勒级数：,函数的特点具有类似于,(,E,-,E,F,),函数的性质，仅在,E,F,附近,k,B,T,的范围内才有显著的值，且是,E,-,E,F,的偶函数。,只考虑到二次方项，略去三次方以上的高次项，可得到,很显然，,I,0,等于，由于 为(,E,-,E,F,),的偶函数，因此,I,1,=0。,令(,E,-,E,F,)/,k,B,T,=,，,则,得：,得:,=1,=0,系统的电子数,T=0,时,定义,电子气的费米温度，,约为,10,4,-10,5,K,。,利用,k,B,T,E,F,，,最后得,在金属熔点以下,T, ,E,F,与 差别不大,。,当温度升高时，,E,F,降低。,E,E,+,d,E,间的电子数：,E,E,+,d,E,间电子的能量:,电子的总能量：,每个电子的平均能量：,1.每个电子的平均能量,二 金属中电子气的热容量,=0,2.每个电子对热容量的贡献,在常温下晶格振动对热容量的贡献的量级为,J/mol,k,2,而电子比热的量级为,mJ,/mol,k,2,。,常温下,电子对与热容量的贡献很小，如何解释呢?,这是因为在常温下，费米球内部的电子从晶格振动获取的能量不足以使其跃迁到费米面附近或以外的空状态，只有费米面附近,k,B,T,范围的电子才能受热激发而跃迁至较高的能级。也就是说能量随温度发生变化的只是少数电子。所以电子的热容量很小。,当温度很低时，晶格热容迅速减小，此时电子热容不可忽略,3.低温时金属热容量,晶体的摩尔热容量可以表示为：,