资源描述
单击以编辑,母版标题样式,单击以编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,*,第十三章 动量矩定理,1,131,动量矩,132,动量矩定理,133,刚体定轴转动微分方程,134,刚体对轴的转动惯量,135,质点系相对于质心的动量矩定理,刚体平面运动微分方程,第十三章 动量矩定理,2,动力学,质点,质点系,动量定理：,动量的改变,外力（外力系主矢）,若当质心为固定轴上一点时，,v,C,=0,，,则其动量恒等于零，,质心无运动，可是质点系确受外力的作用。,动量矩定理建立了质点和质点系相对于某固定点（固定轴）的动量矩的改变与外力对同一点（轴）之矩两者之间的关系。,13-1,动量矩,一质点的动量矩,质点对点,O,的动量矩：,矢量,质点对轴,z,的动量矩：,代数量,质心运动定理,：质心的运动,外力（外力系主矢）,3,质点对点,O,的动量矩与对轴,z,的动量矩之间的关系,：,正负号规定与力对轴矩的规定相同,对着轴看：顺时针为负,逆时针为正,二质点系的动量矩,质系对点,O,动量矩,：,质系对轴,z,动量矩：,动力学,kg,2,/s,。,动量矩度量物体在任一瞬时绕固定点,(,轴,),转动的强弱。,4,2,定轴转动刚体,定轴转动刚体对转轴的动量矩等于刚体对该轴转动惯量与角速度的乘积。,3,平面运动刚体,平面运动刚体对垂直于质量对称平面的固定轴的动量矩，等于刚体随同质心作平动时质心的动量对该轴的动量矩与绕质心轴作转动时的动量矩之和。,动力学,刚体动量矩计算,：,1,平动刚体,平动刚体对固定点（轴）的动量矩等于刚体质心的动量对该点（轴）的动量矩。,5,13-2,动量矩定理,一质点的动量矩定理,两边叉乘矢径,有,左边可写成,质点对任一固定点的动量矩对时间的导数，等于作用在质点上的力对同一点之矩。这就是,质点对固定点的动量矩定理。,动力学,故：,6,将上式在通过固定点,O,的三个直角坐标轴上投影，得,上式称,质点对固定轴的动量矩定理,，也称为质点动量矩定理的投影形式。即质点对任一固定轴的动量矩对时间的导数，等于作用在质点上的力对同一轴之矩。,动力学,称为,质点的动量矩守恒,。,若,则,常矢量,7,运动分析：。,动力学,由动量矩定理,即,微幅摆动时，并令，则,解微分方程,并代入初始条件 则运动方程,，摆动周期,解,：将小球视为质点。,受力分析；受力图如图示。,例,1,单摆已知,m,，,l,，,t,=0,时,=,0,，,从静止,开始释放。,求,单摆的运动规律。,8,质点系对任一固定点的动量矩对时间的导数，等于作用在质点系上所有外力对同一点之矩的矢量和（外力系的主矩）。,二质点系的动量矩定理,左边交换求和与导数运算的顺序，而,一,质点系对固定点的动量矩定理,动力学,对质点系，有,对质点,M,i,：,将上式在通过固定点,O,的三个直角坐标轴上投影，得,9,上式称为,质点系对固定轴的动量矩定理,。即质点系对任一固定轴的动量矩对时间的导数，等于作用在质点系上所有外力对同,一固定轴之矩的代数和（外力系对同一轴的主矩）。,质点系的动量矩守恒,当时，常矢量。,当时，常量。,动力学,定理说明内力不会改变质点系的动量矩，只有外力才能改变质点系的动量矩。,10,解,:,取整个系统为研究对象，,受力分析如图示。,运动分析：,v,=,动力学,由动量矩定理：,例,2,已知,:,11,解,：系统的动量矩守恒。,猴,A,与猴,B,向上的绝对速度是一样的,均为 。,动力学,例,3,已知：猴子,A,重,=,猴子,B,重，猴,B,以相对绳速度,上爬，猴,A,不动，问当猴,B,向上爬时，猴,A,将如何动？,动的速度多大？（轮重不计）,12,13-3,刚体定轴转动微分方程,对于,一个定轴转动刚体,代入质点系动量矩定理，有,刚体定轴转动微分方程,解决两类问题,：,已知作用在刚体的外力矩，求刚体的转动规律。,已知刚体的转动规律，求作用于刚体的外力（矩）。,但不能求出轴承处的约束反力，需用质心运动定理求解。,动力学,13,13-4,刚体对轴的转动惯量,一定义,：,若刚体的质量是连续分布，则,刚体的转动惯量是刚体对某轴转动惯性大小的度量，它的大小表现了刚体转动状态改变的难易程度。,转动惯量恒为正值，国际单位制中单位,kgm,2,。,动力学,14,积分法,（具有规则几何形状的均匀刚体可采用）,例,1,匀质细直杆长为,l,质量为,m,。,求,：,对,z,轴的转动惯量 ；,对,z,轴的转动惯量 。,动力学,二转动惯量的计算,解,：,15,2.,回转半径,由所定义的长度 称为刚体对,z,轴的回转半径。,对于均质刚体，仅与几何形状有关，与密度无关。对于几何形状相同而材料不同（密度不同）的均质刚体，其回转半径是相同的。,在机械工程设计手册中，可以查阅到简单几何形状或已,标准化的零件的转动惯量和回转半径。书中列出几种常见均质刚体的，以供参考。,动力学,16,3.,平行移轴定理,同一个刚体对不同轴的转动惯量一般是不相同的。,刚体对某轴的转动惯量等于刚体对通过质心且与该轴平行的轴的转动惯量，加上刚体的质量与两轴间距离的平方之乘积。,动力学,17,证明,：设质量为,m,的刚体，质心为,C,，,动力学,例如,，,对于例,1,中均质细杆,z,轴的转动惯量为,刚体对通过质心轴的转动惯量具有最小值,。,18,当物体由几个规则几何形状的物体组成时，可先计算每一部分,(,物体,),的转动惯量,然后再加起来就是整个物体的转动惯量。若物体有空心部分,要把此部分的转动惯量视为负值来处理。,动力学,4,计算转动惯量的组合法,解,：,例,2,钟摆：均质直杆,m,1,l,；,均质圆盘：,m,2,R,。,求,I,O,。,19,13-5,质点系相对于质心的动量矩定理,刚体平面运动微分方程,一质点系动量矩,质点系相对于质心和固定点的动量矩定理，具有完全相似的数学形式，而对于质心以外的其它动点，一般并不存在这种简单的关系,。,动力学,二质点系相对质心的动量矩定理,质点系相对于质心的动量矩的改变，只与作用在质点系上的外力有关，而与内力无关。,20,三刚体平面运动微分方程,设有一平面运动刚体具有质量对称平面，力系,可以简化为该平面内的一个力系。取质量对称平面为平面图形,S,，,质心一定位于,S,内。,动力学,取质心,C,为动系原点，则此平面运动可分解为,随质心,C,的平动,(,x,C,y,C,),绕质心,C,的平动 （,）,可通过质心运动定理和相对质心的动量矩定理来确定。,21,写成,投影形式,或,上式称为,平面运动微分方程,。,动力学,22,例,4,质量为,m,半径为,R,的均质圆轮置放于倾角为,的斜面上，在重力作用下由静止开始运动。设轮与斜面间的静、动滑动摩擦系数为,f,、,f,，,不计滚动摩阻，试分析轮的运动。,动力学,解,：取轮为研究对象。,受力分析如图示。,运动分析：取直角坐标系,Oxy,a,C y,=0,，,a,C x,=,a,C,，,一般情况下轮作平面运动。,根据平面运动微分方程，有,由式得,，,两式中含有三个未知数,a,C,、,F,、,，,需补充附加条件。,23,1,设接触面绝对光滑。,因为轮由静止开始运动，故,0,，轮沿斜面平动下滑。,2,设接触面足够粗糙。轮作纯滚动，所以可解得,动力学,3,设轮与斜面间有滑动，轮又滚又滑。,F=fN,，,可解得,轮作纯滚动的条件：,表明：当时，解答,3,适用；,当时，解答,2,适用；,f=0,时解答,1,适用。,24,动力学,第十三章结束,25,
展开阅读全文