一维随机变量及其分布

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,第 二 章,离散型随机变量,二,、,离散型随机变量概念,一,、,随机变量的概念,三、离散型随机变量的分布列,2.1,一维随机变量及其分布,四,、,常见离散型随机变量的概率分布,1.,定义,随机变量通常用大写字母,X,Y,Z,或希腊字母, ,.,等表示,.,一、随机变量的概念,随机变量随着试验的结果不同而取不同的值,由于试验的各个结果的出现具有一定的概率,因此随机变量的取值也有一定的概率规律,.,(2),随机变量的取值具有一定的概率规律,随机变量 是一个函数,但它与普通的函数有着本质的差别,普通函数是定义在实数轴上的,而随机变量是定义在样本空间上的,(,每一个试验结果,都由实数 对应,).,2.,说明,(1),随机变量与普通的函数不同,实例,1,掷一个硬币,观察出现的结果,共有两种,情况,:,若用,X,表示掷一个硬币出现正面的次数,则有,即,X,(,e,),是一个随机变量,.,3.,随机变量的分类,离散型,(1),离散型,定义在样本空间 上，取值于实数,R,且只取有限个或可列个,值的随机变量,叫做一维离散型随机变量,.,观察掷一个骰子出现的点数,.,随机变量,X,的可能值是,:,随机变量,实例,1,1, 2, 3, 4, 5, 6,.,连续型,非离散型,其它,实例,2,若随机变量,X,记为 “连续射击,直至命中时的射击次数”,则,X,的可能值是,:,(,2),连续型,随机变量所取的可能值可以连续地充满某个区间,叫做连续型随机变量,.,实例,1,随机变量,X,为“灯泡的寿命”,.,则,X,的取值,实例,2,随机变量,X,为“测量某零件尺寸时的测误差”,.,则,X,的取值范围为,(,a,b,),内的任一值,.,范围是,说明,二、离散型随机变量的分布列（律）,定义,离散型随机变量的分布列也可表示为,或,对于任意的实数,由概率的 可列可加性,三、常见离散型随机变量的概率分布,设随机变量,只可能取,0,与,1,两个值,它的分布列为,2.,两点分布,1.,退化分布,若随机变量,恒取常数值,C,即,则称,服从,退化分布,.,实例,1,“,抛硬币”试验,观察正、反两面情况,.,随机变量,服从,(0-1),分布,.,其分布列为,则称,服从,(0-1),分布,或,两点分布,.,两点分布是最简单的一种分布,任何一个只有两种可能结果的随机现象,比如新生婴儿是男还是女、明天是否下雨、种籽是否发芽等,都属于两点分布,.,说明,3.,二项分布,若分布列为：,称随机变量 服从参数为,n,p,的,二项分布,。,记,:,其中,q,1,p,二项分布,两点分布,(1),非负性,记为,X,b,(1,p,),例,1,在相同条件下相互独立地进行,5,次射击,每次射击时击中目标的概率为,p ,则击中目标的次数,X,服从,b,(5,p),的二项分布,.,分析,这是不放回抽样,.,但由于这批元件的总数很大,且抽查元件的数量相对于元件的总数来说又很小,因而此抽样可近似当作放回抽样来处理,.,例,2,解,图示概率分布,4.,泊,松分布,(Poisson),泊松资料,泊松分布的背景及应用,二十世纪初罗瑟福和盖克两位科学家在观察,与分析放射性物质放出的 粒子个数的情况时,他们做了,2608,次观察,(,每次时间为,7.5,秒,),发现,放射性物质在规定的一段时间内,其放射的粒子,数,X,服从泊松分布,.,地震,在生物学,、,医学,、,工业统计、保险科学及,公用事业的排队等问题中,泊松分布是常见的,.,例如地震、火山爆发、特大洪水、交换台的电,话呼唤次数等,都服从泊松分布,.,火山爆发,特大洪水,电话呼唤次数,交通事故次数,商场接待的顾客数,在生物学,、,医学,、,工业统计、保险科学及,公用事业的排队等问题中,泊松分布是常见的,.,例如地震、火山爆发、特大洪水、交换台的电,话呼唤次数等,都服从泊松分布,.,泊松定理,证明,二项分布,泊松分布,n,很大,p,很小,上面我们提到,设,1000,辆车通过,出事故的次数,为,X,则,可利用泊松定理计算,所求概率为,解,例,3,有一繁忙的汽车站,每天有大量汽车通过,设每辆汽车,在一天的某段时间内出事故的概率为,0.0001,在每天的该段时间内有,1000,辆汽车通过,问出事故的次数不小于,2,的概率是多少,?,例,4,设一个纺织工人照顾,800,个纱锭，在,（,0,，,T,时间内每个纱锭断头的概率为,0.005,，求在（,0,，,T,时间内，断头次数不超过,10,的概率。,例,5,：由该商店过去的销售记录知道，某种商品某月的销售数可以用参数 的泊松分布来描述，为了以,95,以上的把握保证不脱销，问商店在月底至少应进该种商品多少？,解,设该商店每月销售某种商品 件，月底的进货,a,件,则当 时不脱销，因而由题意得：,又已知 服从 的泊松分布，上式为,由附录的泊松分布表知,则这家商店只要在月底进货该种商品,15,件即可。,5.,几何分布,若随机变量,的分布列为,则称 服从,几何分布,.,实例,设某批产品的次品率为,p,对该批产品做有放回的抽样检查,直到第一次抽到一只次品为止,(,在此之前抽到的全是正品,),那么所抽到的产品数目 是一个随机变量,求,的分布列,.,所以,服从几何分布,.,说明,几何分布可作为描述某个试验,“,首次成功,”,的概率模型,.,解,几何分布的性质,-,无记忆性,定理：设,X,Ge,（,P,），则对任意的正整数,n,m,有,P(x=n+mxn)=P(x=m),前,n,次试验中事件,A,没出现，再做,m,次，,A,首次出现在第,m,次的条件概率只与,m,有关，与前,n,次试验无关，好像忘了前,n,次试验的结果，就像重新开始一样，这种性质叫做无记忆性。,超几何分布,数学模型抽象如下：,设一堆同类产品共,N,个，其中有,M,个次品，现从中任取,n,个（假设,n,小于等于,N-M,）则这,n,个中所含的次品数,X,的分布列为,负二项分布,考虑伯努利试验，每次成功的概率为,P,，,0P1,试验进行到累计成功,r,次为止，令,X,表示所需试验次数，则,例,2.2.3,例,2.2.4,两点分布,二项分布,泊松分布,几何分布,二项分布,泊松分布,两点分布,四,.,小结,超几何分布,退化分布,离散随机变量,定义,分布列,负二项分布,例,1,为了保证设备正常工作,需配备适量的维修,工人,(,工人配备多了就浪费,配备少了又要影响生,产,),现有同类型设备,300,台,各台工作是相互独立的,发生故障的概率都是,0.01.,在通常情况下一台设备,的故障可由一个人来处理,(,我们也只考虑这种情况,) ,问至少需配备多少工人,才能保证设备发生故障,但不能及时维修的概率小于,0.01?,解,所需解决的问题,使得,合理配备维修工人问题,由泊松定理得,故有,即,个工人,才能保证设备发生故障但不能及时维修的概率小于,0.01.,故至少需配备,8,例,2,(,人寿保险问题,),在保险公司里 有,2500,个同年龄同社会阶层的人参加了人寿保险,在每一年里每个人死亡的概率为,0.002,每个参加保险的人在,1,月,1,日付,12,元保险费,而在死亡时,家属可在公司里领取,200,元,.,问,(1),保险公司亏本的概率是多少,?,(2),保险公司获利不少于一万元的概率是多少,?,保险公司在,1,月,1,日的收入是,2500,12=30000,元,解 设,X,表示这一年内的死亡人数,则,保险公司这一年里付出,200,X,元,.,假定,200,X,30000,即,X,15,人时公司亏本,.,于是,P,公司亏本,=,P,X,15=1-,P,X,14,由泊松定理得,P,公司亏本,(2),获利不少于一万元,即,30000 -,200,X,10000,即,X,10,P,获利不少于一万元,=,P,X,10,Jacob Bernoulli,Born:,27 Dec 1654 in Basel, Switzerland,Died:,16 Aug 1705 in Basel, Switzerland,伯努利资料,泊松资料,Born:,21 June 1781 in Pithiviers, France,Died:,25 April 1840 in Sceaux (near Paris), France,Simon Poisson,