哈密顿算子

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,*,10/4/2024,第一章 矢量分析,20,10/4/2024,第一章 矢量分析,20,哈密顿算子,哈密顿引进了一个矢性微分算子：,称为,哈密顿算子,或,算子,。,算子本身并无意义，而是一种微分运算符,号，,同时又被看作是矢量,。,其运算规则如下：,由此可见，数量场,u,的梯度与矢量场,A,的散度与旋,度都可用 表示。,此外，为了在某些公式中使用方便，我们还引进如下的一,个,数性微分算子,它既可作用在数性函数,u,（,M,）上，又可作用在,矢性函数,B,（,M,）上。如,应当注意,这里 与 是完全不同的。,现在我们把用 表示的一些常见公式列,在下面，以便于查用，其中,u,，,v,是数性函数，,A,，,B,为矢性函数。,（,c,为常数），,（,c,为常数），,（,c,为常数），,（,c,为常矢），,（,c,为常矢），,（其中,u,为调和量）,（其中 ）,在下面的公式中,（,27,）奥氏公式,（,28,）斯托克斯公式,例,1,证明,证,算子 实际上是三个数性微分算子,的线性组合，而这些数性微分算子是服从,乘积的微分法则的，就是当他们作用在两个函数的,乘积时，每次只对其中一个因子运算，而把另一个,因子看作常数。因此作为这些数性微分算子的线性,组合的 ，在其微分性质中，自然也服从乘积的微,分法则。,明确这一点，就可以将例,1,简化成下面的方法来证明。,证,根据 算子的微分性质，并按乘积的微分,法则，有,在上式右端，我们根据乘积的微分法则把暂时看成常数的量，附以下标,c,，待运算结束后，再将其除去。依此，根据公式（,1,）就得到,例,2,证明,证,：根据 算子的微分性质，并按乘积的微分法,则，有,由公式（,2,），（,7,）分别有,所以,例,3,证明,证,根据 算子的微分性质，并按乘积的微分法,则，有,由矢量混合积的轮换性：,将上式两端中的,常矢都轮换到,的前面,，同时使得,变矢都留在,的后面,所以,在 算子的运算中，常常用到三个矢量的混合积公式,这些公式都有几种写法，因此在应用这些公式,时，就要利用它的这个特点，,设法将其中的常,矢都移到的前面，同时使得变矢都留在,的后面。,及二重矢量积公式,例,8,验证,格林第一公式,与,格林第二公式,证,在奥氏公式 中，取,并应用公式（,10,）有,同理,将此两式相减，即得格林第二公式。,