圆周角定理及其运用101718

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,24.1.4,圆周角,西闫一中 张军超,复习旧知：请说说我们是如何给,圆心角下定义的，试回答？,顶点在圆心的角叫圆心角。,能仿照圆心角的定义，,给下图中象,ACB,这样的角下个定义吗？,顶点,在,圆,上，并且,两边,都和,圆相交,的角叫做,圆周角,问题探讨：,判断下列图形中所画的,P,是否为圆周角？并说明理由。,P,P,P,P,不是,是,不是,不是,顶点不在圆上。,顶点在圆上，两边和圆相交。,两边不和圆相交。,有一边和圆不相交。,有没有圆周角？,有没有圆心角？,它们有什么共同的特点？,它们都对着,同一条弧,当球员在,B,D,E,处射门时,他所处的位置对球门,AC,分别形成三个张角,ABC, ADC,AEC.,这三个角的大小有什么关系,?.,B,A,C,D,E,E,O,B,D,C,A,你能发现什么规律？,AC,所对的圆周角,AEC ABC,ADC,的大小有什么关系？,实践活动,画,一个圆,再任意画一个圆周角,看一下圆心在什么位置,?,圆心在一边上,圆心在角内,圆心在角外,如图,观察圆周角,ABC,与圆心角,AOC,它们的大小有什么关系,?,O,A,B,C,O,A,B,C,O,A,B,C,圆周角,和,圆心角,的关系,1,.,首先考虑第一种情况：,当,圆心,O,在,圆周角,(ABC),的一边,(BC),上时,圆周角,ABC,与圆心角,AOC,的大小关系,.,AOC,是,ABO,的外角，,AOC=B+A.,OA=OB，,O,A,B,C,A=B.,AOC=2B.,即 ,ABC = AOC.,你能写出这个命题吗,?,同弧,所对的,圆周角,等于它所对的,圆心角的一半,.,期望,:,你可要理解并掌握这个模型,.,第二种情况：,如果圆心不在圆周角的一边上,结果会怎样,?,2.,当,圆心,O,在圆周角,(ABC),的内部时,圆周角,ABC,与圆心角,AOC,的大小关系会怎样,?,提示,:,能否转化为,1,的情况,?,过点,B,作直径,BD.,由,1,可得,:,O,ABC = AOC.,能写出这个命题吗,?,同弧,所对的,圆周角,等于它所对的,圆心角,的一半,.,A,B,C,D,ABD = AOD, CBD = COD,O,A,B,C,第三种情况：,如果圆心不在圆周角的一边上,结果会怎样,?,3.,当,圆心,O,在圆周角,(ABC),的外部时,圆周角,ABC,与圆心角,AOC,的大小关系会怎样,?,提示,:,能否也转化为,1,的情况,?,过点,B,作直径,BD.,由,1,可得,:,O,ABC = AOC.,你能写出这个命题吗,?,同弧,所对的,圆周角,等于它所对的,圆心角,的一半,.,D,ABD = AOD,CBD = COD,A,B,C,O,A,B,C,巩固练习：,如图，点,A,B,C,D,在同一个圆上，四,边形,ABCD,的对角线把,4,个内角分成,8,个角，这些角中哪些是相等的角？,A,B,C,D,1,2,3,4,5,6,7,8,.,O,B,C,圆心角的度数和它所对的弧的度数的关系,我们把顶点在圆心的周角等分成,360,份时，每一份的,圆心角,是,1,的角。,在同圆或等圆中，圆心角的度数和它所对的弧的度数相等,。,因为同圆中相等的圆心角所对的弧相等，所以整个圆也被等分成,360,份。我们把每一份这样的,弧,叫做,1,的弧。,在同圆或等圆中，,D,A,B,C,1,O,C,2,C,3,归纳：,在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半,定 理,半圆（或直径）所对的圆周角是直角,;,90,的圆周角所对的弦是直径,在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等,推 论,练习：,2.,如图，圆心角,AOB=100,，,则,ACB=_,。,O,A,B,C,B,A,O,.,70,x,1.,求圆中角,X,的度数,A,O,.,X,120,A,O,.,X,120,C,C,D,B,在同圆或等圆中，如果两个圆周角相等，它们所对弧一定相等吗？为什么？,在同圆或等圆中，如果两个,圆周角,相等，它们所对的,弧,一定相等,当球员在,B,D,E,处射门时,他所处的位置对球门,AC,分别形成三个张角,ABC, ADC,AEC.,这三个角的大小有什么关系,?.,B,A,C,D,E,E,O,B,D,C,A,规律：都相等，都等于圆心角,AOC,的一半,AC,所对的圆周角,AEC ABC ADC,的大小有什么关系？,结论：,同弧或等弧,所对的圆周角相等。,问题,1,：如图，,AB,是,O,的直径，请问：,C,1,、,C,2,、,C,3,的度数是,。,A,B,O,C,1,C,2,C,3,推论：半圆（或直径）所对的圆周角是,直角,；,90,的圆周角所对的弦是,直径,。,问题,2,： 若,C,1,、,C,2,、,C,3,是直角，那么,AOB,是,。,90,180,探究与思考：,练一练,1,、如图，在,O,中，,ABC=50,，,则,AOC,等于（ ）,A,、,50,；,B,、,80,；,C,、,90,；,D,、,100,A,C,B,O,D,2,、如图，,ABC,是等边三角形，,动点,P,在圆周的劣弧,AB,上，且不,与,A,、,B,重合，则,BPC,等于（ ）,A,、,30,；,B,、,60,；,C,、,90,；,D,、,45,C,A,B,P,B,练一练,3,、如图，,A=50,， ,ABC=60 ,BD,是,O,的直径，则,AEB,等于（ ）,A,、,70,；,B,、,110,；,C,、,90,；,D,、,120,B,4,、如图，,ABC,的顶点,A,、,B,、,C,都在,O,上，,C,30 ,，,AB,2,，,则,O,的半径是,。,A,C,B,O,D,E,C,A,B,O,解：连接,OA,、,OB,C=30 ,，,AOB=60 ,又,OA=OB,，,AOB,是等边三角形,OA=OB=AB=2,，即半径为,2,。,2,3,：已知,O,中弦,AB,的等于半径，,求弦,AB,所对的圆心角和圆周角的度数。,O,A,B,圆心角为,60,度,圆周角为,30,度,或,150,度。,在,O,中，,CBD=30 ,BDC=20,求,A,在,O,中，,CBD=30 ,BDC=20,求,A,5.,如图，你能设法确定一个圆形纸片的圆心吗？你有多少种方法？与同学交流一下,D,A,B,C,O,O,O,方法一,方法二,方法三,方法四,A,B,练 习,第二课时应用,回顾：圆周角定理及推论？,思考：判断正误：,1.,同弧或等弧所对的圆周角相等（）,2.,相等的圆周角所对的弧相等（）,3.90,角所对的弦是直径（）,4.,直径所对的角等于,90,（,）,5.,长等于半径的弦所对的圆周角等于,30,（,）,练习,:,如图,AB,是,O,的直径, C ,D,是圆上的两点,若,ABD=40,则,BCD=,.,A,B,O,C,D,40,例,如图，,O,直径,AB,为,10,cm,，弦,AC,为,6,cm,，,ACB,的平分线交,O,于,D,，求,BC,、,AD,、,BD,的长,又在,Rt,ABD,中，,AD,2,+,BD,2,=AB,2,，,解：,AB,是直径，, ,ACB,= ,ADB,=90,在,Rt,ABC,中，,CD,平分,ACB,，,AD=BD,.,例题,3.,求证：如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形（提示：作出以这条边为直径的圆,.,）,A,B,C,O,求证：,ABC,为直角三角形,.,证明：,CO= AB,以,AB,为直径作,O,，,AO=BO,，,AO=BO=CO.,点,C,在,O,上,.,又,AB,为直径,ACB,= 180= 90.,已知：,ABC,中，,CO,为,AB,边上的中线，,且,CO= AB,ABC,为直角三角形,.,课本练 习,课堂练习,1.,如图，,OA,、,OB,、,OC,都是,O,的半径，,AOB=2BOC,，,ACB,与,BAC,的大小有什么关系？为什么？,2.,如图，,A,、,B,、,C,、,D,是,O,上的四个点，且,BCD=100,，求,BOD,（ 所对的圆心角）,和,BAD,的大小。,A,B,E,C,O,D,如图所示，已知,ABC,的三个顶点都在,O,上，,AD,是,ABC,的高，,AE,是,O,的直径,.,求证：,BAE,CAD,探究,3,、如图，,AB,是,O,的直径，,BD,是,O,的弦，延长,BD,到点,C,，使,DC=BD,，连接,AC,交,O,于点,F,，点,F,不与点,A,重合。,（,1,）,AB,与,AC,的大小有什么关系？为什么？,（,2,）按角的大小分类，请你判断,ABC,属于哪一类三角形，并说明理由。,A,C,B,D,F,O,ABC,是锐角三角形,解：（,1,）,AB=AC,。,证明：连接,AD,又,DC=BD,，,AB=AC,。,（,2,）,ABC,是锐角三角形。,由（,1,）知，,B=C,90 ,连接,BF,，则,AFB=90 ,，,A,90 ,AB,是直径，,ADB=90,，,1.AB、AC为O的两条弦，延长CA到D，使 AD=AB，如果ADB=35,，,求BOC的度数。,2、如图，在O中，BC=2DE， BOC=84,，,求 A的度数。,BOC =140,A=21,4、在O中，一条弧所对的圆心角和圆周角分别为(2x+100),和(5x-30),，则x=,_ _,；,3. 如图，在直径为AB的半圆中，O为圆心，C、D,为半圆上的两点，COD=50,，则,CAD=_；,20,50,拓展练习,如图,点,P,是,O,外一点,点,A,、,B,、,Q,是,O,上的点。（,1,）求证,P,AQB,（,2,）如果点,P,在,O,内，,P,与,AQB,有怎样的关系？为什么？,拓展练习：如图，在,O,中，,AB,为直径，,CB = CF,弦,CGAB,，交,AB,于,D,，交,BF,于,E,求证：,BE=EC,