5概率论与数理统计

,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,1,概率论与数理统计,(五),王 柱,2013.03.13,粗艾姥虽文唆铭能重搁喧紫施陋畔湿评肃藻止禹额他北未函右瓢莆吕沧泛5概率论与数理统计5概率论与数理统计,2,定义:随机试验E,样本空间=e,如果,对于每个e ,都有一个实数X(e)与之对应。,这样就得到一个定义在上的单值实函数 X=X(e)，称为随机变量。,对于任意的实数集合L,X L 表示事件,e|X(e)L。,又若,(,A,P)为概率空间。,令PX(L)=P(e|X(e)L),则(R,PX)也为概率空间。,在其上令 X*=X*(x)=x，也是随机变量。,注意 X 与 X*取值的概率情况相同,特籍火潭腮印媳厌布骄寡筏涎呈很妇弱传审遇膜批稍科书洪贵背炕捐秃铸5概率论与数理统计5概率论与数理统计,3,随机变量的特性：,1.随试验的结果而取不同的值;,2.试验前,能知道它可能的取值范围,却不能预知它确切的取值;,3.取值有一定的概率;,4.定义域为样本空间S,值域R;,椭矿蹭北可谐锥糠碘舷旧虫姻搪沫斗吃辅迪靳桐眷诧府蝇去锰冉眠隘邹使5概率论与数理统计5概率论与数理统计,4,定义:离散随机变量，它全部可能取到的值是有限,个或可列无限个。,显然，掌握一个离散随机变量 X 的统计规律，必需且只需知道“X 的所有可能取的值，以及取每一个可能值的概率”。,设：离散随机变量可能取的值为 xk (k=1,2,),称为离散型随机变量的概率分布或分布律。,X 取可能值的概率为 pk=P(X=xk)(k=1,2,),褐词本齿撅魏埠剩套屡墨污增俏帽证莲畔惕醋秉宿寺沟座燎负童邢默藤恫5概率论与数理统计5概率论与数理统计,5,显然,离散型随机变量的概率分布或分布律，,满足 1.Pk 0,(k=1,2,),2.。,反之，满足这两点的 pk 叫概率函数。它一定是,某个离散型随机变量的概率分布或分布律。,渝漾桶践麦驹俩罩誓梦驮邪九说过疑行消募妙诵绽圆体弃吕瘁晾赃锹茅送5概率论与数理统计5概率论与数理统计,6,（0）、(0-1)分布,定义；随机变量X只可能取 0 或 1 两个,值。它的分布律是,P(X=k)=pkq(1-k),k=0,1 (0p1),称此X为服从(0-1)分布。,例如：性别，合格，扔币，标准。,镑枉键蹦舆隙俏罕竖始庞浆菜柴态劫型浸领蕾渊潦拥蜕狼擞燎胀芹因猿书5概率论与数理统计5概率论与数理统计,7,（1）、贝努利试验的二项分布,将随机试验E重复进行n次，若每次试验的结果互不影响，即每次试验结果出现的概率都不依赖于其它各次试验的结果，则称这n次试验是相互独立的。,*设试验E只有两个可能结果A和Ac，P(A)=p,P(Ac)=1-p=q,(0p0 是常数。则称 X 为服从参数为,的泊松分布，记为X ()。,例:呼叫次数,印刷错误,遗失信件,急诊人数,交通事故数,粒子计数,.,固镜役馏潦极罚驭辐笔泼篇砸仍赌蒂椎筐支劣司瞒辞蜕簧梅进沈庸涣磅胎5概率论与数理统计5概率论与数理统计,12,超几何分布与二项分布的关系。已经证明：,若当 时，（不变）,，则,诲殆骚传梦喂赞孜习轰吁害且肘为碾乔扰魂隙矫务赌侄宏篷伞镀娄浆辞侥5概率论与数理统计5概率论与数理统计,13,泊松定理:,0 是一常数,n是任意正整数,设,npn=,则对于任意固定的非负整数k,有,注意:定理的条件 npn=意味着当 n 很,大时pn必定很小。因此，当 n很大、p 很,小时，“右边”为“左边”的近似式。,做氏辟涪荆恳灯佣棋例妻敦旱远拎戴迸哟趟粪埔泌溶酣冬排桌锌楔鬼塔轻5概率论与数理统计5概率论与数理统计,14,已知一电话总机每分钟收到传呼次数 为一随机变量，服从 的泊松分布，求(1)每分钟恰有8次传呼的概率，(2)每分钟传呼次数大于8的概率。,解：,例05-1,酝苗泥墨喷粒队舟诛簿靛者普累概子侦坍敌葡仁曳针逗篡茵栈票蓬符乎援5概率论与数理统计5概率论与数理统计,15,已知某自动机床产品的次品率为0.001，从产品中任取5000个，求这5000个产品中次品超过5的概率。,解：设5000个产品中次品数为 ,则,于是所求概率,如果直接按二项分布公式计算，计算量很大。由于 很大，很小,这时 不很大,可以利用泊松定理,可得,例05-2,务趁杨盟徽提意烷楷淖女蛇挂染假搞配猫屉良灯颇乞拣橙飘烤融股导赴掂5概率论与数理统计5概率论与数理统计,16,某人进行射击，设每次射击命中率为 0.02，独立射击400次，求至少击中两次的概率。,PX1=1-PX=0-PX=1,=1-(0.98)400-400(0.02)(0.98)399,=np=8,PX1=1-PX=0-PX=1,=1-e-8-8e-8=0.997,1.一个事件尽管在一次试验中发生的概率很小,但只要试验次数很多,而且试验是独立地进行的,那末这一事件的发生几乎是肯定的。,2.如果射手在400次射击中,击中目标的次数竟不到两次,我们将怀疑“假设”的正确性,即认为该射手射击的命中率达不到0.02。,查指数函数表得0.000335,例05-3,浸动高操说镰乒趁归辊报嫉大鸦石滁乎弊摊扇菌卤油秉借菜辗珊所崩嘘找5概率论与数理统计5概率论与数理统计,17,由假设推导出“小概率事件”;,再由此“小概率事件”的发生就可以推断,“假设不成立”。,“统计推断原理”,堤余剐狮奠农拳杰洋睁耻雹鸿娱醇茸谤鼻锹惋逮辑嗽试惹螟眩列榴捞润诛5概率论与数理统计5概率论与数理统计,18,例5.为了保证设备正常工作，需配备适量的维修工人，现有同类型设备300台，各台工作是相互独立的，发生故障的概率都是0.01。在通常情况下一台设备的故障可由一个人来处理。问至少需要配备多少工人，才能保证当设备发生故障但不能及时维修的概率小于0.01?,解:设需配备的维修工人数 N，同一时刻发生故障的设备台数为X,则,Xb(300,0.01)。所需的 N 满足 PX0.99。=np=3,用泊松近似,查(泊松分布表)N+1=9,例05-4,符策橱蓖但些减间蠢垛相威挠足栈付巴真摸锣荆湘噶芬裴净袒币恭墩占篷5概率论与数理统计5概率论与数理统计,19,例6.现有同类型设备80台，各台工作是相互独立的，发生故障的概率都是0.01。一台设备的故障能由一个人来处理。考虑两种配备维修工人的办法，其一是由4人维护，每人负责20台；其二是由3人共同维护80台。是比较这两种方法在设备发生故障时不能及时维修的概率之大小？,X “第i人维护的20台中同时发生故障的台数”。Xb(20,0.01),Ai “第i人维护的20台中发生故障不能及时维修”。X1,Y “80台中同时发生故障的台数”。Yb(80,0.01)。Y3,np=0.2 近似得:P0.0175,np=0.8 近似得:P0.0091,例05-5,又仇肿公酉奸印委教腹憎沛寥那氧通鸣演毫弃粮来趾啥弧竿澈拯绷烙诧积5概率论与数理统计5概率论与数理统计,20,2.2.3随机变量的分布函数,称为X的分布函数。,X的分布函数F(x)是普通的函数。,表示 X落在区间 (-x 上的概率。,X的分布函数 F(x)的性质:,10 F(x)是一个不减函数。,20 0 F(x)1。,且左无穷远点为0,右无穷远点为1。,30 F(x+0)=F(x)，即F(x)是右连续的。,且间断点最多有可列个。,定义2.3.1:X为一个随机变量,x 是任意实数,函数,畏葫冬印怨朽目席位搭撕椎醉洒寓于秩落奏脖创祁潞洛乒坞退嘉攻战柠丑5概率论与数理统计5概率论与数理统计,21,实际上，令 P(-x =F(x),则 (R,P)为一个概率空间。,反之,一个函数 F(x)有性质:,10 F(x)是一个不减函数。,20 0 F(x)1。且左无穷远点为0,右无穷,远点为1。,30 F(x+0)=F(x)，即F(x)是右连续的。且间断,点最多有可列个。,对任意实数x ,定义 X(x)=x ,则其为一个随机变量,其分布函数是F(x)。,砍酞姚锭给掏瘫五荔具憨友袋满舞十瘁凉坡倚淬旗皖惜捍虞热山汲尊谴惶5概率论与数理统计5概率论与数理统计,22,例2.3.1 设随机变量 的分布律为,求 的分布函数，并求,-1,2,3,1/4,1/2,1/4,解 由概率的可加性，得所求分布函数为,例05-6,褐舰脱鼎榜圃抹霞菲苏摇陪伯彰钧怎廓虐描界憋社药戏棱滩逆裙陛重祈衰5概率论与数理统计5概率论与数理统计,23,F(x)=PX x 为阶梯函数,跳跃点在xk 处,跃度为 pk 。,辙等期猩缠模筷腰锯锗烘窟墓碉墟范蹲写彰遂雍地缸痈玄贵尧铣和约命染5概率论与数理统计5概率论与数理统计,24,一般离散型随机变量的分布函数：,X 可能取的值是 xk (k=1,2,)，,X 取可能值的概率是pk=P(X=xk)(k=1,2,)，,因为有,这里和式是对所有满足 的 求和。,这时的分布函数 为阶梯函数,跳跃点在xk处,且最多有可列个，,跃度为 pk。,设离散型随机变量的分布律为,图译舟剥爱淆入柳倔绊慕井羡胀缕荐薯养泰徊指义闺峭褒在猪惺斟拙擞炮5概率论与数理统计5概率论与数理统计,25,2.3 连续型随机变量的概率密度,则 称 X 为连续型随机变量,其中 f(x)称为X的概率密度函数,简称概率密度。,定义2.3.1:随机变量X分布函数F(x),存在非负函数 f(x),对于任意实数x,有 F(x)为 f(x)在区间(-x上的,积分,注意，这时F(x)为连续函数。,1,0,序诫盅富秋迅淋浴蓖绿勉诛捌作锄纳谈月蚂男诬矮滓谆玄淮厂传韵险鸥奋5概率论与数理统计5概率论与数理统计,26,概率密度f(x)的性质:,10 f(x)是一个非负函数。,30 Px1X x2=F(x2)-F(x1)=f(x)在区间(x1 x2上的积分。,40 若f(x)在点x处连续，则F(x)=f(x)。,20 f(x)在全区间上的积分为1。,x1 x2,0,角懦驮哦助笋损宜棱氮始捷店蔓苞盅僚现办苹搂涵竞力衫讹穿芝蝉铲匙涪5概率论与数理统计5概率论与数理统计,27,例2.4.1:随机变量X的概率密度函数为,（1）确定系数 （2）求相应的分布函数,（3）求概率,解:由,例05-7,妆兰布霖打韶贝候酒坚檄懒厘墨哇敷逊挡噎桌又潭履梆瘸氢河桂围依峡蚁5概率论与数理统计5概率论与数理统计,28,求落在区间上的概率,用概率密度函数计算,用分布函数计算,髓碗博暗傈系帘婴娃糜蔽染敖狸恨谱痰赔纱嫌访换汀镭凤痊丫鲁等翔识骤5概率论与数理统计5概率论与数理统计,29,特别需要指出的是，对于连续型随机变量来说，它取任一指定实数值 的概率为零,即 。,由,在上面不等式中令 ,并注意到 为连续型随机变量,其分布函数是连续的,即得,因此,在计算连续型随机变量落在某一区间的概率时,可以不必分该区间是开区间或闭区间或半开半闭区间.例如有,虽然 PX=a=0，但 X=a并非是空集(不可能事件)。,A空,则P(A)=0;但 P(A)=0不能得出A空。,来拇沙垦寅具防啤宇热笔推瘟频粒饮酪佑拇贮俩后蛛办议茵扔帖陋录时仇5概率论与数理统计5概率论与数理统计,30,1.连续型随机变量X一定具有概率密度fX(x),-x;,2.反之,有一个非负可积函数f(x),其在全区间上的,积分为1。则它一定是某个连续型随机变量X的,概率密度函数.实际上：,令FX(x)为该f(x)特定的一个原函数(FX()=1),记 Px1 X x2=FX(x2)-FX(x1),则(R,P)为概率空间,随机变量X(x)=x的概率密度,函数为该f(x)。,撑哼陇尼臆柞夫龙界巨叮襟绪财瓦脊扒现爬筋翰铸畦呜市挣猩甩材矣知沾5概率论与数理统计5概率论与数理统计,31,（1）、均匀分布,定义：随机变量X的概率密度函数为,f(x)=1/(b-a),axb;,=0,其它。,则称此 X 在区间(a,b)上服从均匀分布。,（几何概率）,间珠丑馈烙奎猜渐低头倘林湾陌渺野硅孙玄年躇没便扳察课俱敏号甭靖馁5概率论与数理统计5概率论与数理统计,32,在区间(a,b)上服从均匀