教育专题：等差数列

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,等差数列,高一数学组 敖长发,复 习,回 顾,数列的定义，通项公式，递推公式,按一定次序排成的一列数叫做,数列,。,一般写成,a,1,a,2,a,3,a,n,，简记为,a,n,。,如果数列,a,n,的第,n,项,a,n,与,n,的关系可以用一个,数学,式,子,来表示，那么这个式,子,就叫做这个数列的,通项公式,。,如果已知数列,a,n,的第1项(或前几项），且任一项,a,n,与它的前一项,a,n-1,(,或前几项）间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式叫做这个数列的,递推公式,。,我们经常这样数数，从,0,开始，每隔,5,数一次，可以得到数列：,0,，,5,，,10,，,15,，,20,，,2000,年，在澳大利亚悉尼举行的奥运会上，女子举重被正式列为比赛项目。该项目共设置了,7,个级别，其中较轻的,4,个级别体重组成数列（单位：,kg,）：,48,，,53,，,58,，,63,.,水库的管理人员为了保证优质鱼类有良好的生活环境，用定期放水清库的办法清理水库中的杂鱼。如果一个水库的水位为,18m,，自然放水每天水位降低,2.5m,，最低降至,5m,。那么从开始放水算起，到可以进行清理工作的那天，水库每天的水位组成数列（单位：,m,）：,18,，,15.5,，,13,，,10.5,，,8,，,5.5,.,我国现行储蓄制度规定银行支付存款利息的方式为单利，即不把利息加入本金计算下一期的利息。按照单利计算本利和的公式是：本利和,=,本金,(1+,利率,存期,),。例如，按活期存入,10000,元钱，年利率是,0.72%,，那么按照单利，,5,年内各年末的本利和（单位：元）组成一个数列：,10072,，,10144,，,10216,，,10288,，,10360.,四,个,实,例,从第二项起，后一项与前一项的差是,5,。,从第二项起，后一项与前一项的差是,5,。,从第二项起，后一项与前一项的差是,-2.5,。,从第二项起，后一项与前一项的差是,72,。,请同学们思考，这四个数列有何共同特点?,一、等差数列的定义,一般地，如果一个数列,a,n,从第2项起每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差。公差通常用字母,d,表示。,定义的符号表示是：,a,n,-,a,n-,1,=,d,(,n,2,n,N,*,),这就是数列的递推公式。,a,n+1,-a,n,=,d(nN,*,),是,不是,练习一,判断下列各组数列中哪些是等差数列，哪些不是？如果是，写出首项,a,1,和公差,d,如果不是，,说明理由。,（1）1，3，5，7，,（2）9，6，3，0，-3,（3）-8，-6，-4，-2，0，,（4）3，3，3，3，,（,5,）15，12，10，8，6，,小结：判断一个数列是不是等差数列，主要是由定义进行判断：,a,n+1,-,a,n,是不是同一个常数？,思 考：在数列（1），,a,100,=,？,我们该如何求解呢？,是,是,是,a,1,=1,d,=2,a,1,=9,d,=-3,a,1,=-8,d,=2,a,1,=3,d,=0,二、通项公式的推导,设一个等差数列,a,n,的首项是,a,1,公差是,d,则有：,a,2,-a,1,=d,a,3,-a,2,=d,a,4,-a,3,=d,所以有：,a,2,=a,1,+d,a,3,=a,2,+d =(a,1,+d)+d =a,1,+2d,a,4,=a,3,+d=,（,a,1,+2d,）,+d=a,1,+3d,a,n,=a,1,+(n-1)d,当,n=1,时，上式也成立。,所以等差数列的通项公式是：,a,n,=a,1,+(n-1)d,（,n,N,*,）,问,a,n,=?,通过观察：,a,2,，,a,3,，,a,4,都可以用,a,1,与,d,表示出来,；,a,1,与,d,的系数有什么特点,？,(a,2,-a,1,)+(a,3,-a,2,)+(a,4,-a,3,),+(a,n,-a,n-1,)=(n-1)d,a,n,-a,1,=(n-1)d,即,a,n,=a,1,+(n-1)d,a,2,-a,1,=d,a,3,-a,2,=d,a,4,-a,3,=d,a,n,-,a,n-1,=,d,a,1,、,a,n,、,n,、,d,知三求一,等差数列,的任意两项 有什么关系呢？,思考,:,a,n,=a,1,+(n-1)d,a,m,=a,1,+(m-1)d,a,m,-a,n,=(,m-n,)d,d=(a,m,-a,n,),/(,m-n,),a,m,=?,a,m,-a,n,=?,a,m,=a,n,+(,m-n,)d,三、等差中项,:,若三个数,a,，,A,，,b,组成等差数列，则数,A,叫做,a,与,b,的等差中项。,由等差数列的定义,不难发现，在一个等差数列中，从第,2,项起，每一项（有穷数列的末项除外）都是它的前一项与后一项的等差中项。,四、例,题,例,1,（1）求等差数列8，5，2，,的第20项；,（2）判断-401是不是等差数列,5,-9,-13,的项?如果是，是第几项，如果不是，说明理由。,分析,（1）,由给出的等差数列前三项，先找到首项,a,1,求出公差,d,写出通项公式，就可以求出第20项,a,20,.,解：(1)由题意得：,a,1,=8,d=5-8=-3,n=20,这个数列的通项公式是：,a,n,=,a,1,+(n-1)d=-3n+11,a,20,=11-320=-49,分析,（2）,要想判断 -401是否为这个数列中的项，关键是要求出通项公式，看是否存在正整数,n,使得,a,n,=-401,。,(2)由题意得：,a,1,=-5,d,=-9-(-5)=-4,这个数列的通项公式是：,a,n,=-5+(,n,-1)(-4)=-4,n,-1,令-401=-4,n-1,得,n=100,-401,是这个数列的第100项。,练习二,（,1,）求等差数列,3,7,11,的第,4,项与第,10,项；,（,2,）判断,100,是不是等差数列,2,，,9,，,16,，,的项？如果是，是第几项，如果不是，说明理由。,解：（1）根据题意得：,a,1,=3,d=7-3=11-7=4,这个数列的通项公式是：,a,n,=,a,1,+(n-1)d=4n-1,a,4,=44-1=15,a,10,=410-1=39.,（2）,由题意得：,a,1,=2,d=9-2=16-9=7,这个数列的通项公式是：,a,n,=2+(n-1)7,=7n-5(n1),令100=7,n-5,得,n=15,100,是这个数列的第15项。,例,2,在等差数列,a,n,中，已知,a,5,=10,a,12,=31,求首项,a,1,与公差,d.,这是一个以,a,1,和,d,为未知数的二元一次方程组，解之得：,解：由题意得：,这个数列的首项,a,1,是-2，公差,d=3.,小结：,已知数列中任意两项，可求出首项和公差，主要是联立二元一次方程组。这种题型有简便方法吗？请同学们思考并做以下练习。,例 题,解法一:依题意得：,a,1,+2d=9,解之得,a,1,=11,a,1,+8d=3 d=-1,这个数列的通项公式是：,a,n,=11-(n-1)=12-n,故,a,12,=0,a,3n,=12 3 n.,已知等差数列,a,n,中，,a,3,=9,a,9,=3,，求,a,12,a,3n,.,解法二：,练习,三,例,3,、三个数成等差数列,它们的和为,18,它们,的平方和为,116,求这三个数,.,解,：,设这三个数为,:,a,-,d,a,a,+,d,则,解得,:a=6,d=,2,这三个数依次为,4,，,6,，,8,或,8,，,6,，,4,注,（,1,）设未知数时尽量减少未知数的个数,.,（,2,）结果应给出由大到小和由小到大两种情况,.,课时小结,1,、,通过本,节,课的学习，,同学们,理解和掌握,了,等差数列的定义及数学表达式：,a,n+1,-,a,n,=d(n1,且,nN,*),;,2,、,其次推导,了,等差数列的通项公式,a,n,=,a,1,+(n-1)d(n1,),3,、,再次了解了等差中项的定义,4,、,本,节,课的重点是通项公式的灵活应用,知道,a,n,a,1,d,n,中任意三个，应用方程的思想，可以求出另外一个。还要注意一重要关系式,，,a,n,=,a,m,+(n-m)d,的理解与应用。,五课后作业,1,、课本,40,页习题,2.2 A,组第一题,2,、请完成导学案上的课后练习,感谢各位老师的光临指导,