车辆随机振动(下)课件

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,频域的作用初探：,所以很多在时域看似不可能做到的数学操作，在频域相反很容易。这就是需要傅里叶变换,（和其他变换）,的地方。,从某条曲线中去除一些特定的频率成分，这在工程上称为滤波，是信号处理最重要的概念之一，只有在频域才能轻松的做到。如：,sin,（,3x,）,+sin,（,5x,）的曲线图，现在需要你把,sin,（,5x,）从图里拿出去，看看剩下的是什么。时域这基本是不可能做到的。 但是在频域呢？则简单的很，无非就是几条竖线而已。,求解微分方程。傅里叶变换,（和其他变换）,则可以让微分和积分在频域中变为乘法和除法。,第,5,章 随机振动的频率特性,一、什么是频域,以时间作为参照来观察动态世界的方法我们称其为时域分析。世间万物都在随着时间不停的改变，并且永远不会静止下来。,第,5,章 随机振动的频率特性,一、什么是频域,用另一种方法来观察世界的话，你会发现,世界是永恒不变的,，这个静止的世界就叫做频域。,将以上两图简化：,时域：,频域：,你眼中看似落叶纷飞变化无常的世界，实际只是躺在上帝怀中一份早已谱好的乐章。,傅里叶公式,-,任何周期函数，都可以看作是不同振幅，不同相位正弦波的叠加。,在第一个例子里我们可以理解为，利用对不同琴键不同力度，不同时间点的敲击，可以组合出任何一首乐曲。,而贯穿时域与频域的方法之一，就是傅里叶分析。傅里叶分析可分为傅里叶级数（,Fourier Serie,）和傅里叶变换,(Fourier Transformation),。,二、傅里叶级数,(Fourier Series),的频谱,用前面说的正弦曲线波叠加出一个带,90,度角的矩形波来，你会相信吗？,随着正弦波数量逐渐的增长，他们最终会叠加成一个标准的矩形。,随着叠加的递增，所有正弦波中上升的部分逐渐让原本缓慢增加的曲线不断变陡，而所有正弦波中下降的部分又抵消了上升到最高处时继续上升的部分使其变为水平线。一个矩形就这么叠加而成了。,但是要多少个正弦波叠加起来才能形成一个标准,90,度角的矩形波呢？,不幸的告诉大家，答案是无穷多个。,不仅仅是矩形，你能想到的任何波形都是可以如此方法用正弦波叠加起来的。,一个复杂的信号可以分解成不同频率的正弦信号，反之亦然。,在信号研究和处理中采用分解过程比合成更多一些。,一个复杂的振动信号，可以看成是由许多简谐分量叠加而成；那许多简谐分量及其各自的振幅、频率和初相，就叫做那复杂振动的,频谱。把,第一个频率最低的频率分量看作“,1”,，基频。,信号的合成和分解,狄利克莱（,Dirichlet),条件,不是所有的信号都可以分解（哪怕无限多个）简谐振动。数学上确立了确切的条件，,狄利克莱（,Dirichlet),条件，任意一个区段内，,1),信号,f(t),除有限个间断点外都连续，,2),仅有有限个极大和极小值。,这是傅里叶级数展开的充分必要条件。,能分解的振动曲线,不能分解的振动曲线,时间差并不是相位差。如果将全部周期看作,2Pi,或者,360,度的话，相位差则是时间差在一个周期中所占的比例。将时间差除周期再乘,2Pi,，就得到了相位差。,频谱的表示,讨论周期函数（设自变量是时间,t,）的付立叶展开。所谓周期函数，就是满足下列条件的函数：,n=0,，士,1,，士,2,，,T,是常量，单位为秒，是物理量,u,的振动（视）周期。周期函数是无始无终的，它的变化情况，可以用一个周期内的变化情况来完全地反映。,付立叶分析理论，满足狄利克莱条件的任意周期函数，都可以展成付立叶级数，也就是展成许多谐振动函数的和。,谐振动函数表示,同一个谐振动，可以用形式不同的函数来表示。,式中,A,、,和,分别是振幅、圆频率和初相位。如果按三角学公式将上式展开，又可以写成,其中,是两个常量。上式实际上是两个初相为零的谐振动的叠加，,a,、,b,是它们的振幅。,谐振动函数欧拉表示,如果引用复数，用欧拉（,Euler,）公式得到,式中,为振动函数,u,1,(t),的基频，基频的倍数,n,称泛频,欧拉式关键的作用，是将正弦波统一成了简单的指数形式。,欧拉公式所描绘的，是一个随着时间变化，在复平面上做圆周运动的点，随着时间的改变，在时间轴上就成了一条螺旋线。如果只看它的实数部分，也就是螺旋线在左侧的投影，就是一个最基础的余弦函数。而右侧的投影则是一个正弦函数。,一个复杂信号,u,（,t,）的傅立叶级数也有三种表示方法，三种开展式且完全等效。注意系数,C,n,一般是复数,傅里叶级数，在时域是一个周期且连续的函数，而在频域是一个非周期离散的函数。,周期信号只有在基频的整数倍处才存在,Cn,频谱的图示,周期函数的分立谱,(,离散谱,),注意：图中横坐标是用基频的整数倍表示。,频谱分析,当,当幅值为零时,第一次幅值为零时,当 谱线加密，成为连续谱。,5.2,傅里叶变换及其性质,5.2.1,傅里叶变换的引入,傅里叶变换，则是将一个时域非周期的连续信号，转换为一个在频域非周期的连续信号（傅里叶变换实际上是对一个周期无限大的函数进行傅里叶变换）,当信号周期无限大时，基频变得无限小，离散的正弦波离得越来越近，逐渐变得连续,5.2,傅里叶变换及其性质,5.2.1,傅里叶变换,原来离散谱的叠加，变成了连续谱的累积。所以在计算上也从求和符号变成了积分符号,。,5.2.2,傅立叶变换,傅立叶变换将原来难以处理的时域信号转换成了易于分析的频域信号（信号的频谱）,可以利用一些工具对这些频域信号进行处理、加工。,离散形式的傅立叶的物理系统内,频率是个不变的性质,从而系统对于复杂激励的响应可以通过组合其对不同频率正弦信号的响应来获取,;,。,上面两式分别为傅立叶变换和傅立叶逆变换。,在频谱分析中,傅氏变换,F,(,),又称为,f,(,t,),的频谱函,数,而它的模,|,F,(,),|,称为,f,(,t,),的振幅频谱,(,亦简称为频谱,).,由于,是连续变化的,我们称之为连续频谱,对一个时间,函数,f,(,t,),作傅氏变换,就是求这个时间函数,f,(,t,),的频谱,.,5.2.3,傅立叶变换的基本性质,对称性和叠加性,奇偶虚实性,尺度变换特性,时移特性和频移特性,微分和积分特性,卷积,一、对称性,若已知,则,证明：,若,f(t),为偶函数，则时域和频域完全对称直流和冲激函数的频谱的对称性是一例子,FT,对称性,t,换成,换成,二、线性（叠加性）,若,则,三、 奇偶虚实性,无论,f(t),是实函数还是复函数，下面均成立,时域反摺,频域也反摺,实偶函数的傅立叶变换仍为实偶函数,f(t),0,t,0,四、尺度变换特性,若,则,时域中的压缩（扩展）等于频域中的扩展（压缩）,f(t/2),压缩,扩展,五、时移特性,若,则,证明：,带有尺度变换的时移特性,若,a 0,， ，求过程的功率谱密度。,解：应将积分按 和 分成两部分进行,例：设 为随机相位随机过程,其中， 为实常数 为随机相位，在 均匀分布。可以推导出这个过程为广义平稳随机过程，自相关函数为,求 的功率谱密度,。,解：注意此时 不是有限值，即不可积，因此 的付氏变换不存在，需要引入 函数。,上式表示的功率集中在处，功率谱密度为在处的函数。,O,例：设随机过程,其中 皆为常数， 为具有功率谱密度 的平稳随机过程。求过程 的功率谱密度。,解：,下表给出了平稳随机过程、自相关函数和功率谱密度之间的对应关系。这些关系的证明可根据维纳,辛钦定理及傅里叶变换的初等性质得到。,右,表列出了,几,种常见的自相关函数及其所对应的功率谱密度。,求自相关函数,所对应谱密度,解,所要求的谱密度为,相应的谱密度如图所示,:,此图说明了谱密度,是如何表明噪声以,外的周期信号的,.,已知谱密度,求平稳过程,X,(,t,),的自相关函数和均方值,.,解,由公式知自相关函数,利用留数定理,可算得,均方值为,说明,有理谱密度,方法,2,5.5.2,功率谱密度函数性质,（,1,） 是偶函数。,（,2,）,是非负函数。,（,3,）,（,4,）,证明：,5.6,窄带与宽带随机过程,（,1,）了解何为窄带、宽带随机过程？,（,2,）何为白噪声？,（,3,）能计算几种典型信号的相关函数、功率谱密度。,5.7,互功率谱密度和想干函数（自学）,5.6,窄带与宽带随机过程,由于自功率谱密度函数,S,xx,(,f,),（或,G,xx,(,f,),）反映了平稳随机过程的平均能量随频率分布的特性，可以根据它分类一些典型平稳随机振动过程，以便把握它们的本质特征。,1),窄带平稳过程,典型谱密度函数，相关函数和时域样本函数分别如下图,(a),，,(b),和（,c,）。谱带宽相比于它的中心频率,w,c,大概要小一个数量级。谱分量主要集中在中心频率附近，说明振动能量主要在,w,c,附近。,图,(a),窄带过程单边谱,(b),相关函数,R,x,(,t,),(c),时域样本函数,x,(,t,),一般随机振动经过缓冲系统后，响应往往是窄带随机振动。,例如汽车在凹凸不平的道路上行驶时，车身的振动即为窄带随机振动。这是因为汽车具有缓冲系统，只有车身部件的固有频率附近频带的振动才能传至车身，使车身在比较窄的频带范围振动。,观察窄带随机振动的时域历程曲线可以发现，它的峰值变化是随机的，但却近似地具有周期性，好像是峰值随时间随机变化的正弦振动，所以有时也称它为准正弦振动。,2),宽带平稳过程,宽带平稳过程的谱带宽分布于较宽的范围，带宽与中心频率相比是同数量级的，或更大。其典型谱密度函数，相关函数和时域样本函数分别如下图。,图,(a),宽,带过程单边谱,(b),相关函数,R,x,(,t,),(c),时域样本函数,x,(,t,),3),理想白噪声过程,白噪声过程是宽带平稳过程的极限特例。对此过程有,S,xx,(,f,)=,S,o,(,或,G,xx,(,f,)=2,S,o,),，,S,o,为常数。谱密度在整个频率轴,(,),上均匀分布，即频带宽达整个频率轴。,白噪声过程的自相关函数为,R,xx,(,t,)=2,p,S,0,d,(,t,),，是集中在,t,=0,处强度为,2,p,S,o,的脉冲函数。,而,t,=0,处等于无穷大，,t,0,处都等于零的,d,函数性质说明白噪声过程,“,自己,”,与,“,自己,”,的相关性为无穷大，任何不是,“,自己,”,的两点间的相关性为零。,由于能量被要求均匀分布于整个频率轴，白噪声过程的均方值为,s,xx,2,=,E,x,2,(,t,)=,R,xx,(0)=,。这要求其平均能量为无穷大，这在物理上是不可实现的。因此理想白噪声只有理论上的意义。,在某一有限频带内有常数谱密度,S,o,的有限带宽白噪声过程物理上是可能实现；如果该有限频带带宽,“,相对,”,较大，可以一定程度上视为理想白噪声过程。,第六章,线性系统动态特性,任何振动系统都有输入，输出和系统特性三个部分,系统的输入输出对于工程实际对象而言又可称为系统的,激励,和,响应,激励指外界干扰或初始干扰，响应是系统在输入作用下的输出,振动研究的主要问题之一是分析系统在激励作用下的响应分析系统的响应首先要掌握系统动态特性，而线性系统是最基本的系统，因此我们开始学习线性系统动态特性,6-1,随机振动的分类,1.,按自由度分,（）,单自由度,(SDOF),（）,多自由度,(MDOF),.,按统计特性分,（）,平稳随机振动：统计特征与时间无关,（）非,平稳随机振动：统计特征与时间有关,如车辆匀速行驶的振动,如发动机加速的振动，地震波,.,按系统本身特性分,（）,线性随机振动,（）非,线性随机振动,6-, 频率响应函数,对于任一线性系统，如图所示系统的时域输入，输出为和，系统的频域输入，输出为和当时，振幅相位发生变化，系统输出的变化由系统动态特性决定要同时描述系统的输入，输出振幅和相位的变化只能引入复数而频率响应函数恰恰是为此而提出的,在一般情况下，频率响应函数是一个复数，记为,为幅频特性，为相频特性,频率响应函数是用频率描述系统动态特性的函数，即反映系统输入，输出之间振幅和相位的变化,例,:,求单质量车辆振动系统的幅频特性,解：,振动微分方程为,是系统本身固有的特性,如图：,当时，是静态特性；,当时，系统共振，最大,令,6-, 脉冲响应函数及其频率响应函数关系,6-,., 脉冲响应函数,脉冲响应函数是系统在单位脉冲作用下的响应，即当时，,6-,., 单自由度有阻尼系统的脉冲响应函数,振动微分方程为,表明，的强迫振动相当于具有初始条件的自由振动,初始条件为：,令，则,由，得,于是，有,6-,., 脉冲响应函数与频率响应函数的关系,根据傅立叶变换可知：,当时，因此,于是有,6-, 系统在任意输入下的响应,当系统在任意输入作用下时，系统的响应不能直接求解，需要把任意函数看成一系列脉冲的叠加,系统的任意输入,令，则,该式为系统在任意输入下的响应该式表明：若已知系统的脉冲响应函数，则脉冲响应函数与系统输入的卷积即为系统的响应,6.5,线性系统在随机激励下的响应,设系统受到的平稳随机激励为 ，它的一个,样本函数 ，引起的响应可根据,Duhamel,积分,得到：,讨论线性振动系统只受一个平稳随机激励时的情况。,所有的样本函数引起的响应的全体 为一个随机过程，讨论： 统计性质以及它与,激励 的统计性质的关系。,1,响应的均值,对于平稳过程：,因此,2.,响应的自相关函数,根据,Duhamel,积分，有,因此,线性振动系统受到平稳过程激励后的响应也是平稳过程。,如果激励是各态遍历过程，则响应也是各态遍历过程。,3.,响应的自谱以及均方值,在上面的证明过程中用到了傅里叶变换的性质：,响应的均方值,4.,激励与响应的互相关函数和互谱,激励与响应的互相关函数为,例,5,如果激励为白噪声，求激励与响应的互相关,函数。,激励的自相关函数为,激励为白噪声时激励与响应的互相关函数,在白噪声激励下激励与响应的互相关函数与系统的脉冲响应成正比。,在实际中可以用这个性质来测定系统的脉冲响应。,激励与响应的互谱,例,6,：,求单自由度系统的基础以白噪声运动时,响应的自谱和均方值,解：,基础运动的自谱为,基础运动时系统的频响函数为,因此响应的自谱为,响应的均方值为：,大作业,1,：,汽车的二自由度模型,为悬挂质量（车身质量）， 为非悬挂质量,（车轮质量）， 为悬挂刚度， 悬挂阻尼系数，,为车轮刚度,推导：,1,运动微分方程,2,固有频率和振型,3,车身位移,对 的频响函数,4,车身加速度 对 的频响函数,5,悬挂动位移 对 的频响函数,6,悬挂动速度 对 的频响函数,大作业,2,：,汽车的单自由度模型,路面功率谱密度,其中，,路面不平度系数,参考空间频率，,B,级路面：,F,级路面：,1,证明：,路面速度谱,2,求,车身位移,响应的自谱和均方值,3,求,车身加速度,响应的自谱和均方值,2021,