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单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,解析几何第一讲,主讲：上大附中 李昉,平面解析几何的本质是用代数的方法来研究几何的问题。在坐标系中是将平面上的点与有序实数对之间建立起对应关系，进而是将直线、曲线与方程之间建立起对应关系，从而将“数”与“形”结合了起来，那么我们就可以用代数的方法去研究几何的问题了。这里的第一讲，希望同学们理解并掌握以下这几个问题：,一两解问题,例：,aR,+,，,求直线,l,，,使得两点,A(4,3),B(-4,-3),到,l,的距离都是,a,解：,（1）点,A,B,在直线,l,的同侧。,由题意知：,l,/AB，,k,AB,=3/4,故所求的直线的方程为：,故设,l,的方程为：,（,2,）点,A,B,在直线,l,的异侧。,由题意知：,l,必过,AB,的,中点即坐标原点,若直线,l,的斜率不存在，则直线,l,的方程为,x=0，,此时,a,=4,化简得：,当,a,=4,时，则,得,l,的方程为：,当,a,4,时，则,若直线,l,的斜率为,k,，,设,l,的方程为：,kx,-y=0,(,i),a,5,则0,，,这样的直线不存在,(,ii),a,=5,则 ，即,l,的方程为,4,x+3y,=0,由题意得:,(,iii)0,a,5,时，满足条件的直线有2条：,注意,：在与直线相关的问题中，还有许多出,现两解的情况，如：,（,1,）求直线 的倾斜角范围。,（,2,）求通过点,P(2,5),且倾斜角的正弦值为,4/5的直线方程。,（,3,）求斜率为1/6，且与坐标轴围成的三角,形面积为,3,的直线方程。,（,4,）过原点的直线,l,分别与,交成45,o,角，求直线,l,的方程。,（,5,）求过,A(-3,-1),B(-1,5),的中点,M，,且,在,x,轴上的截距,a,是在,y,轴上的截距,b,的,2,倍的直线方程。,（,6,）设,F,1,F,2,为椭圆 的两个焦点，,P,为椭圆上的一点，已知,P,F,1,F,2,是一个,直角三角形的三个顶点,且 ，求 的值。,二直线与圆,1直线与圆的位置关系：,例1：直线,ax-y-2a-2,=0,与圆,(,x-1),2,+(y-1),2,=4,在第二,象限有公共点，求实数,a,的取值范围,解：由题意：,y=a(x-2)-2,即直线过定点,P(2,-2),且,P,在圆外，,a,是直线的斜率，如图,设圆与,x,轴的左交点为,A、,与,y,轴的上交点为,B，,则 ，,连接,AP,BP,得,AP,BP,的斜率分别为：，,由图形可知：,（1）已知定直线,l,和定圆圆心,C，C,到,l,的距离为,d，,若圆上点要满足到直线,l,的距离为,d/2，,当这样的点有0个、1个、2个、3个、4个时，求半径,r,的范围,（2）,已知圆,C,方程为,:,(,x+1),2,+(y-3),2,=4,，,过点,A(1,0),的直线,l,的斜率为,k,，,当圆,C,上到直线,l,的距离为,1,的点的个数分别为,0,个、,1,个、,2,个、,3,个、,4,个时，求,k,的范围,例2：,解：（,1,）,作,l,1,l,l,2,l,且与,l,相距都是,d/2,，,如图，,显然，当,l,1,l,2,是圆的切线时满足题意的圆上的点有,1,个和,3,个，此时半径,r=d/2,和,3,d/2,，,当符合条件的点有,2,个时，半径介于这两者之间，,所以,当,rd/2,时这样的点有0个；,当,r=d/2,时有1个；,当,d/2,r3d/2,时有4个,解:（,2,）,设,C,到,l,的距离为,d,，,那么当点的个数为,1,时，,d,=3，,当点的个数为,3,时，,d,=1，,此时,直线,l,的斜率存在,设方程为:,y=k(x-1),即,kx,-y-k=0,，,当,d,=3,时,则有 或,k=12/5,当,d,=1,时同理可得：,综上所述，,当 时满足题意的点有,0,个；,当,k,=0,或 时有,1,个；,当,k12/5,或 或 时有,2,个；,当 时有3个；,当 时有4个；,(,1)设圆方程为：,或 ，,则过圆外一点,P,(,x,0,y,0,),所引的圆的切线长为,或,2,相关结论,：,(2),已知一个圆的直径端点是,A(,x,1,y,1,),B(,x,2,y,2,),则圆的方程为：,(3),已知点,M,(,x,0,y,0,),是圆 上一点，则过该点圆的切线方程为：对于点,M,(,x,0,y,0,),在圆外的情况，应该有两条切线，可利用圆心到切线的距离等于半径求得切线方程。,(,4)设,P,(,m,n,),为圆 外一点，过,P,作圆两条切线,PA,PB,，,切点为,A,B,，,则直线,AB,的方程为：,（利用,P,A,C,B,四点共圆得：,A,B,在以,P,C,为直径的圆上，其方程可由上述结论,（,2,）,得出，而,A,B,又在已知圆上，两圆方程相减即可得直线,AB,的方程）；,(5)设,P,(,m,n,),在圆 内部且,mn,0,过,P,作直线,l,与圆交于,A,B,两点，经过,A,B,分别作两条与圆相切的切线,MA,MB,，,则切线交点,M,的轨迹方程为：,例,1：已知圆,M,:x,2,+(y-2),2,=1,Q,是,x,轴上的动点，,QA,QB,分别切圆,M,于,A,B,两点,（1）若 ，求直线,MQ,的方程,（2）求证：直线,AB,恒过定点,解,：(1),由题意：,QA,QB,分别切圆,M,于,A，B,两点，,设,Q(a,0),，,AB,的中点为,P，,因为,可求得：,由,从而得直线的方程为：,则,可知,M,P,Q,三点共线且,M,Q,AB,，,连接,MB,得,M,B,BQ,，,(2),由上述结论(4)知：直线,AB,方程为：,ax-2y+3=0,则直线恒过定点,例2,：已知椭圆 ，圆,O,：,x,2,+y,2,=4,P,C,PA,PB,是圆的任意切线,A,B,为切点，,求,AB,中点,M,的轨迹方程,。,解：设点,P,(,x,0,y,0,)，,由上述结论（,4,）可知：,直线,AB,的方程为,x,0,x+y y,0,=4,当,y,0,0,时，则,直线,AB,的,斜率为,由,题意知点,P,M,O,共,线，且,OM,AB，,设,M(x,y),(,x,0),则,因为点,M,在,AB,上，故点,M,的坐标也满足直线,AB,的方程，两式联立可解得：,，代入椭圆方程,得：,当,y,0,=0,时,也满足题意;,x=,0,时,也满足题意,这就是所求的点的轨迹方程,例,3：,已知圆 ，从圆外一,点,P,(,x,0,y,0,),向圆引一条切线，切点为,M，O,为坐,标原点，且有,|,PM,|=|,PO,|，,求|,PM,|,的最小值,解：因为,|,PM,|=|,PO,|，,由上述结论（,1,）知：,得：,即点,P,在直线 上运动，,因为,|,PM,|=|,PO,|，,故,|,PM,|,的最小值就是,|,PO,|,的最小值,也就是点,O,到直线 的距离,故所求最小值为,三圆与圆,例:（1）已知圆,C,1,:,x,2,+y,2,=25,圆,C,2,:,(x-2),2,+y,2,=1,求与圆,C,2,外切且与圆,C,1,内切的动圆圆心,M,的轨迹方程（,O,为坐标原点，下同）,（,2,）已知圆,C,1,:x,2,+y,2,=4,圆,C,2,:(x-4),2,+y,2,=1,求与,圆,C,2,外切且与,圆,C,1,内切的动圆圆心,M,的轨迹方程,解：（,1,）设圆心,M(x,y),半径为,r,由题意知：,得：,由椭圆定义知点,M,的轨迹是椭圆，且以,C,1,、,C,2,为焦点，,则所求的点,M,的轨迹方程为：,解：（,2,）设圆心,M(x,y),半径为,r,由题意知：,得：,由双曲线的定义知点,M,的轨迹为双曲线的左支，且以,C,1,、,C,2,为焦点,则所求的点,M,的轨迹方程为：,（,1,）给出两相离定圆，圆心为,C,1,、,C,2,半径为,r,1,、,r,2,设动圆圆心为,M,，,半径为,R,，,若动圆与两相离定圆都内切,有:,若动圆与两相离定圆都外切,有:,若动圆与两相离定圆内外切（举一种情况），则有：,显然，它们的轨迹都符合双曲线的定义形式，且,C,1,、,C,2,恰为两焦点，需要注意的是，这类轨迹往往只是双曲线的单支,（,2,）给出两内含定圆，圆心为,C,1,、,C,2,半径为,r,1,、,r,2,设动圆圆心为,M,，,半径为,R,，,若动圆与两内含定圆都内切,有:,若动圆与两内含定圆内外切,（举一种情况），则有：,显然，它们的轨迹都符合椭圆的定义形式，且,C,1,、,C,2,恰为两焦点,这里，双曲线型与椭圆型轨迹的建立，等式都构造在动圆自身半径的相同上，其他情况可相仿讨论。,四关于对称问题,解析几何中的对称结构问题要点：,1,.已知曲线(直线),求曲线(直线),C,的方程,(,1)若,C,与,C,关于,x,轴对称：则,C,方程为,(,2)若,C,与,C,关于,y,轴对称：则,C,方程为,(,3)若,C,与,C,关于原点对称：则,C,方程为,(,4)若,C,与,C,关于直线,y=x,对称：则,C,方程为,(,5)若,C,与,C,关于直线,y=-x,对称：则,C,方程为,(,6)若,C,与,C,关于直线,y=x+m,对称：,则,C,方程为,(,7)若,C,与,C,关于直线,y=-x+m,对称：,则,C,方程为,2,已知直线,l,1,:,y=k,1,x+b,1,l,2,:,y=k,2,x+b,2,求,k,1，,k,2,的关系,(1),若,l,1,l,2,关于直线,x=m,或,y=n,（,包括,mn,=0,即,x,轴或,y,轴）,对称，则有：,(2),若,l,1,l,2,关于直线,y=,x+m,(,m,R),对称，,则有：,例,1,：自点,A(-3,3),出发的光线,l,射到,x,轴上并被,x,轴反射，其反射光线,l,所在的直线与圆,相切，,求入射光线,l,和反射光线,l,所在的直线方程,解：由题意知，入射光线,l,和反射光线,l,的斜率都存在，,点,A(-3,3),关于,x,轴的,对称点为,A(-3,-3),射光线,l,上，,设反射光线,l,的方程为：,即：,得：或,由题意知，入射光线,l,和反射光线,l,的斜率互为相反数，,得,入射光线,l,的斜率为 或,因此，所求的入射光线,l,和反射光线,l,的方程分别为：,或,且点,A,在反,此题也可先求出圆心,C(2,2),关于,x,轴的对称点,C(2,-2)，,由题意知入射光线,l,与圆,C,相切，同样可用上述解法求出所求的直线方程。,例,2,：已知椭圆,，试确定实数,m,的取,值范围，使得在椭圆,C,上有不同的两点关于,直线,l,:,y=4x+m,对称,解法,1,：设椭圆,C,上,相异两点,P,1,(,x,1,y,1,),P,2,(,x,2,y,2,),关,于直线,l,对称，,线段,P,1,P,2,中点为,P,0,(,x,0,y,0,)，,由,将两式相减可,得：,即,因为,P,1,P,2,l,得：,又点,P,0,在,l,上,得：,得,P,0,(,-m,-3m,),又点,P,0,在椭圆,C,内,得：,解法,2,：设椭圆,C,上,相异两点,P,1,(,x,1,y,1,),P,2,(,x,2,y,2,),关,于直线,l,对称，,线段,P,1,P,2,中点为,P,0,(,x,0,y,0,)，,因为,P,1,P,2,l，,设,P,1,P,2,的方程为：,代入椭圆方程中得：,因为直线,P,1,P,2,与椭圆,C,有两个不同的交点，则,又由于,得,因为点,P,0,在直线,l,上代入得：,例,3,：一动圆被两直线,3,x+y=0,3x-y=0,截得的弦分别,为,8,和,4,，求动圆圆心关于直线,x+y-1=0,的,对称点的轨迹方程,解：,设动圆圆心,C,(,x,y,),到两直线的距离分别为,d,1,d,2,动圆半径为,r,设动圆圆心,C,关于,直线,x+y-1=0,的对称点为,C(x,y,),由题意知：,则 ,代入得：,即为所求的轨迹方程,例,
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