资源描述
第,2,章,2.3,双曲线,2.3.1,双曲线的标准方程,1.,掌握双曲线的定义,.,2.,掌握用定义法和待定系数法求双曲线的标准方程,.,3.,理解双曲线标准方程的推导过程，并能运用标准方程解决相关问题,.,学习目标,知识梳理,自主学习,题型探究,重点突破,当堂检测,自查自纠,栏目索引,知识梳理,自主学习,知识点一双曲线的定义,答案,平面内到两个定点,F,1,，,F,2,的距离的,等于常数,(,小于,F,1,F,2,的正数,),的点的轨迹叫做,.,两个定点,F,1,，,F,2,叫做双曲线的,，两焦点间的,距离叫做双曲线的,.,差的绝对值,双曲线,焦点,焦距,答案,知识点二双曲线的标准方程,焦点在,x,轴上,焦点在,y,轴上,标准方程,1,1,焦点,F,1,(,c,0),，,F,2,(,c,0),F,1,，,F,2,焦距,F,1,F,2,2,c,a,、,b,、,c,的关系,c,2,(,a,0,，,b,0),(,a,0,，,b,0),(0,，,c,),(0,，,c),a,2,b,2,思考,(1),双曲线定义中，将,“,小于,F,1,F,2,”,改为,“,等于,F,1,F,2,”,或,“,大于,F,1,F,2,”,的常数，其他条件不变，点的轨迹是什么？,答案,答案,当距离之差等于,F,1,F,2,时，动点的轨迹就是两条射线，,端点分别是,F,1,、,F,2,，当距离之差大于,F,1,F,2,时，动点的轨迹不存在,.,(2),确定双曲线的标准方程需要知道哪些量？,答案,a,，,b,的值及焦点所在的位置,.,返回,例,1,根据下列条件，求双曲线的标准方程,.,题型探究,重点突破,题型一求双曲线的标准方程,解析答案,若焦点在,y,轴上，设双曲线的方程为,解析答案,P,、,Q,两点在双曲线上，,双曲线经过点,(,5,2),，,5,或,30(,舍去,).,反思与感悟,解析答案,求双曲线的标准方程与求椭圆的标准方程的方法相似，可以先根据其焦点位置设出标准方程，然后用待定系数法求出,a,，,b,的值,.,若焦点位置不确定，可按焦点在,x,轴和,y,轴上两种情况讨论求解，此方法思路清晰，但过程复杂，注意到双曲线过两定点，可设其方程为,mx,2,ny,2,1(,mn,0),，通过解方程组即可确定,m,、,n,，避免了讨论，从而简化求解过程,.,反思与感悟,跟踪训练,1,求适合下列条件的双曲线的标准方程：,(1),两个焦点的坐标分别是,(,5,0),，,(5,0),，双曲线上的点与两焦点的距离之差的绝对值等于,8,；,解析答案,解,由双曲线的定义知，,2,a,8,，所以,a,4,，,又知焦点在,x,轴上，且,c,5,，,所以,b,2,c,2,a,2,25,16,9,，,解,因为焦点在,x,轴上，,解得,a,2,8,，,b,2,4,，,解析答案,题型二双曲线定义的应用,解析答案,(1),若双曲线上一点,M,到它的一个焦点的距离等于,16,，求点,M,到另一个焦点的距离；,由双曲线的定义得,|,MF,1,MF,2,|,2,a,6,，,又双曲线上一点,M,到它的一个焦点的距离等于,16,，,假设点,M,到另一个焦点的距离等于,x,，,则,|16,x,|,6,，解得,x,10,或,x,22.,故点,M,到另一个焦点的距离为,10,或,22.,(2),如图，若,P,是双曲线左支上的点，且,PF,1,PF,2,32,，试求,F,1,PF,2,的面积,.,反思与感悟,解析答案,解,将,|,PF,2,PF,1,|,2,a,6,两边平方得,36,2,32,100.,在,F,1,PF,2,中，由余弦定理得,F,1,PF,2,90,，,反思与感悟,(1),求双曲线上一点到某一焦点的距离时，若已知该点的横、纵坐标，则根据两点间距离公式可求结果；若已知该点到另一焦点的距离，则根据,|,PF,1,PF,2,|,2,a,求解，注意对所求结果进行必要的验证,(,负数应该舍去，且所求距离应该不小于,c,a,).,(2),在解决双曲线中与焦点三角形有关的问题时，首先要注意定义中的条件,|,PF,1,PF,2,|,2,a,的应用；其次是要利用余弦定理、勾股定理或三角形面积公式等知识进行运算，在运算中要注意整体思想和一些变形技巧的应用,.,反思与感悟,由双曲线的定义和余弦定理得,PF,1,PF,2,6,，,解析答案,所以,10,2,(,PF,1,PF,2,),2,PF,1,PF,2,，,所以,PF,1,PF,2,64,，,例,3,如图，在,ABC,中，已知,AB,题型三与双曲线有关的轨迹问题,解析答案,反思与感悟,且三个内角,A,，,B,，,C,满足,2sin,A,sin,C,2sin,B,，建立适当的坐标系，求顶点,C,的轨迹方程,.,解析答案,解,以,AB,边所在的直线为,x,轴，,AB,的垂直平分线为,y,轴，建立平面直角坐标系如图所示，,2sin,A,sin,C,2sin,B,，,2,BC,AB,2,AC,，,由双曲线的定义知，点,C,的轨迹为双曲线的右支,(,除去与,x,轴的交点,).,反思与感悟,反思与感悟,(1),求解与双曲线有关的点的轨迹问题，常见的方法有两种：,列出等量关系，化简得到方程；,寻找几何关系，由双曲线的定义，得出对应的方程,.,(2),求解双曲线的轨迹问题时要特别注意：,双曲线的焦点所在的坐标轴；,检验所求的轨迹对应的是双曲线的一支还是两支,.,反思与感悟,跟踪训练,3,如图所示，已知定圆,F,1,：,(,x,5),2,y,2,1,，定圆,F,2,：,(,x,5),2,y,2,4,2,，动圆,M,与定圆,F,1,，,F,2,都外切，求动圆圆心,M,的轨迹方程,.,解析答案,返回,返回,解,圆,F,1,：,(,x,5),2,y,2,1,，圆心,F,1,(,5,0),，半径,r,1,1,；,圆,F,2,：,(,x,5),2,y,2,4,2,，圆心,F,2,(5,0),，半径,r,2,4.,设动圆,M,的半径为,R,，,则有,MF,1,R,1,，,MF,2,R,4,，,MF,2,MF,1,310,F,1,F,2,.,当堂检测,1,2,3,4,5,1.,已知,F,1,(3,3),，,F,2,(,3,3),，动点,P,满足,PF,1,PF,2,4,，则,P,点的轨迹是,_.(,填序号,),双曲线,双曲线的一支,不存在,一条射线,解析答案,解析,因为,PF,1,PF,2,4,，且,4,F,1,F,2,，,由双曲线定义知，,P,点的轨迹是双曲线的一支,.,1,2,3,4,5,解析,由题意知，,34,n,2,n,2,16,，,2,n,2,18,，,n,2,9.,n,3.,解析答案,3,1,2,3,4,5,解析,由标准方程得,a,2,10,，,b,2,2,，,解析答案,1,2,3,4,5,4.,已知双曲线中,a,5,，,c,7,，则该双曲线的标准方程为,_,_.,解析答案,1,2,3,4,5,5.,P,是双曲线,x,2,y,2,16,的左支上一点，,F,1,，,F,2,分别是左，右焦点，则,PF,1,PF,2,_.,解析答案,所以,a,2,16,2,a,8,，,因为,P,点在双曲线左支上，,所以,PF,1,PF,2,8.,8,课堂小结,1.,双曲线定义中,|,PF,1,PF,2,|,2,a,(2,a,b,不一定成立,.,要注意与椭圆中,a,，,b,，,c,的区别,.,在椭圆中,a,2,b,2,c,2,，在双曲线中,c,2,a,2,b,2,.,3.,用待定系数法求双曲线的标准方程时，要先判断焦点所在的位置，设出标准方程后，由条件列出,a,，,b,，,c,的方程组,.,如果焦点不确定要分类讨论，采用待定系数法求方程或用形如,mx,2,ny,2,1(,mn,0),的形式求解,.,返回,本课结束,
展开阅读全文