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单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,1.4,一元二次方程的,根与系数的关系,韦达,一元二次方程,ax,2,+bx+c=0(a0),的求根公式：,x=,(b,2,-4ac0),（,1,）,x,2,-7x+12=0,(2)x,2,+3x-4=0,(4) 2x,2,+3x-2=0,解,下列方程并完成填空：,方程,两根,两根和,X,1,+x,2,两根积,x,1,x,2,x,1,x,2,x,2,-7x+12=0,x,2,+3x-4=0,3x,2,-4x+1=0,2x,2,+3x-2=0,3,4,12,7,1,-3,- 4,- 4,-1,-,-2,算一算：,（,3,）,3x,2,-4x+1=0,1,方程,两根,两根和,X,1,+x,2,两根积,x,1,x,2,x,1,x,2,x,2,-7x+12=0,x,2,+3x-4=0,3x,2,-4x+1=0,2x,2,+3x-2=0,-,3,4,12,7,1,-3,- 4,- 4,-1,-2,1,若一元二次方程,ax,2,+bx+c=0(a0),的两根为,x,1,、,x,2,则,.,.,X,1,+x,2,=,+,=,=,-,X,1,x,2,=,=,=,=,证明：,设,ax,2,+bx+c=0(a0),的两根为,x,1,、,x,2,则,一元二次方程的,根与,系数的关系：,如果方程,ax,2,+bx+c=0(a0),的,两个根是,x,1, x,2,那么,x,1,+x,2,= , x,1,x,2,=,-,注：能用公式的前提条件为,=b,2,-4ac0,在使用根与系数的关系时，应注意：,不是一般式的要先化成一般式；,在使用,X,1,+X,2,=,时，,注意“,”不要漏写。,如果方程,x,2,+px+q=0,的两根是,X,1,，,X,2,，那么,X,1,+X,2,= , X,1,X,2,= .,P,q,一元二次方程,根与系数的关系,是,法国数学家“,韦达,”发现的,所以我们又,称之为,韦达定理,.,说出下列各方程的,两根之和,与,两根之积,：,(1) x,2,- 2x - 1=0,(3) 2x,2,- 6x =0,(4) 3x,2,= 4,(2) 2x,2,- 3x + =0,x,1,+x,2,=2,x,1,x,2,=-1,x,1,+x,2,=,x,1,+x,2,=3,x,1,+x,2,=0,x,1,x,2,=,x,1,x,2,=0,x,1,x,2,= -,说一说：,例,1,、已知方程,x,2,-(k+1)x+3k=0,的,一个根是,2 ,求,它的另一个根及,k,的值,.,解法一,：,设,方程的另一个根为,x,2,.,由根与系数的关系，得,2,x,2,= k+1,2 x,2,= 3k,解这方程组，得,x,2,=3,k =2,答：方程的另一个根是,3 , k,的值是,2.,例,1,、已知方程,x,2,-(k+1)x+3k=0,的,一个根是,2 ,求,它的另一个根及,k,的值。,解法二,：,设,方程的另一个根为,x,2,.,把,x=2,代入方程，得,4-2(k+1)+3k=0,解这方程，得,k= - 2,由根与系数的关系，得,2 x,2,3k,即,2 x,2,6,x,2,3,答：方程的另一个根是,3 , k,的值是,2.,例,2,、方程,2x,2,-3x+1=0,的两根记作,x,1,x,2,，,不解方程，求：,（,1,）,;,（,2) ;,; (4),.,另外几种常见的,求值,:,1,、已知方程,3x,2,19x+m=0,的一个根是,1,，,求它的另一个根及,m,的值。,2,、设,x,1,x,2,是方程,2x,2,4x,3=0,的两个根，求,(x,1,+1)(x,2,+1),的值,.,解：设方程的另一个根为,x,2,则,x,2,+1= , x,2,= ,又,x,2,1= , m= 3x,2,= 16,解：,由根与系数的关系,得,x,1,+x,2,= - 2 , x,1,x,2,=, (x,1,+1)(x,2,+1) = x,1,x,2,+ (x,1,+x,2,)+1 =-2+( )+1=,试一试：,4,1,14,12,则：,求与方程的根有关的代数式的值时,一般先将所求的代数式化成含两根之和,两根之积的形式,再整体代入.,4.,已,知方程的两个实数根,是,且,，,求,k,的值,.,解：由根与系数的关系得,x,1,+x,2,=-k， x,1,x,2,=k+2,又 x,1,2,+,x,2,2,= 4,即(,x,1,+,x,2,),2,-2,x,1,x,2,=4,K,2,- 2(k+2）=4,K,2,-2k-8=0, ,=,K,2,-4k-8,当,k=4,时，,=-8,0,k=4(,舍去）,当,k=-2,时,，,=4,0,k=-2,解得：k=4 或k=2,探究：,6.,已知关于,x,的方程,x,2,+(2m-1)x+m,2,=0,有两个实数根,x,1,、,x,2.,（,1,）求实数,m,的取值范围；,（,2,）当,x,1,2,-x,2,2,=0,时，求,m,的值,.,6.,（,2013,荆州）已知：关于,x,的方程,kx,2,(3,k,1),x,+2(,k,1)=0,（,1,）求证：无论,k,为何实数，方程总有实数根；,（,2,）若此方程有两个实数根,x,1,，,x,2,且,x,1,x,2,=2,求,k,的值,.,2,、,熟练掌握根与系数的关系；,3,、,灵活运用根与系数关系解决,问题,.,1.,一元二次方程根与系数的关系？,小结：,17.4一元二次方程的根与系数的关系,（第二课时）,下,列方程的两,根的和,与两,根的积,各是多少？,.X,2,3X+1=0 .3X,2,2X=2,.2X,2,+3X=0 .3X,2,=1,基本知识,在使用根与系数的关系时，应,注意,：,不是一般式的要先化成一般式；,在使用,X,1,+X,2,=,时，,注意“,”不要,漏写,.,练习1,已知关于x的方程,当m=,时,此方程的两根互为相反数.,当m=,时,此方程的两根互为倒数.,1,1,分析:1.,2.,练习2,设 的两个实数根,为 则: 的值为( ),A. 1 B. 1 C. D.,A,以 为两根的一元二次方程,(二次项系数为1)为:,二、,已知两根求作新的方程,题5,以方程X,2,+3X-5=0的两个根的相反数为根的方程是（ ）,A、,y,2,3y-5=0 B、 y,2,3y-5=0,C、,y,2,3y5=0 D、 y,2,3y5=0,B,分析:设原方程两根为 则:,新方程的两根之和为,新方程的两根之积为,求作新的一元二次方程时:,1.先求原方程的两根和与两根积.,2.利用新方程的两根与原方程的两根之,间的关系,求新方程的两根和与两根积.,(或由已知求新方程的两根和与两根积),3.利用新方程的两根和与两根积,求作新的一元二次方程.,练习:,1.以2和 为根的一元二次方程,（二次项系数为）为：,题6 已知两个数的和是1，积是-2，则两 个数是,。,2和-1,解法(一):设两数分别为x,y则:,解得:,x=2,y=1,或,1,y=2,解法(二):设两数分别为一个一元二次方程,的两根则:,求得,两数为2,三已知两个数的和与积，求两数,题7 如果1是方程,的一个根，则另一个根是_=_。,（还有其他解法吗？),-3,四求方程中的待定系数,小结：,1、熟练掌握根与系数的关系；,2、灵活运用根与系数关系解决问题；,3、探索解题思路，归纳解题思想方法。,8,、已知关于,X,的方程,mx,2,-(2m-1)x+m-2=0(m,0),(1),此方程有实数根吗？,（,2,）如果这个方程的两个实数根分别为,x,1,，,x,2,，且 （,x,1,-3)(,x,2,-3)=,m,，求,m,的值。,拓广探究,题9 方程,有一个正根，一个负根，求m的取值范围。,解:由已知,=,即,m0,m-10,0m1,一正根，一负根,0,X,1,X,2,0,两个正根,0,X,1,X,2,0,X,1,+X,2,0,两个负根,0,X,1,X,2,0,X,1,+X,2,0,请阅读下列材料：,问题：已知方程,x,2,x,1,0,，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的,2,倍,解：设所求方程的根为,y,，则,y,2,x,，所以,x,把,x,代入已知方程，得,( ),2,1,0,化简，得,y,2,2,y,4,0,故所求方程为,y,2,2,y,4,0,这种利用方程根的代换求新方程的方法，我们称为“换根法”,请用阅读材料提供的“换根法”求新方程（要求：把所求方程化为一般形式）；,（,1,）已知方程,x,2,x,2,0,，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的相反数，则所求方程为,_,；,（,2,）已知关于,x,的一元二次方程,ax,2,bx,c,0,（,a,0,）有两个不等于零的实数根，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的倒数,_,年,_,月,_,日 星期,_,天气,_,学习课题,:_,知识归纳与整理,:_,_,自我评价,:_,悄悄话,:,老师我想对你说,_,_,_,_,有那些数学思想方法,_,我的收获与困惑,_,数学日记,
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