二项式定理的推广

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,*,二项式定理的发现与推广,倪致祥,科学发现系列讲座,二项式定理的发现,通过探索,13,世纪阿拉伯人已经知道两项和的,n,次方的展开结果,:,二项式定理的发现,为了便于看出规律，我们把它补充完整,:,二项式定理的发现,为了便于研究其中的规律,1544,年,Stifel,把公式中字母的系数提取出来,称为二项式系数,.,他发现其中每个数是其上方紧邻两数之和,.,用公式表示为,:,这个结果，中国数学家杨辉早在,13,世纪就发现了。,二项式定理的发现,通过进一步研究，,1654,年,Pascal,发现二项式系数的规律,即通项公式,:,1713,年,Bernoulli,对上面的公式给出了证明。,二项式定理的推广,1,上面得到的结果只适用于指数为自然数的情况，能否把二项式定理推广到非自然数的情况呢,?,1665,年，牛顿对此进行了研究。,他考虑了已知的无穷递缩等比数列的求和公式：,为了便于比较，我们把二项式定理改写为：,二项式定理的推广,1,经过仔细比较，不难发现上式中取,n=-1,时，自动成为无穷递缩等比数列求和公式。,这说明二项式定理的新形式在,n=-1,时也成立。,这个结果有没有一般性？牛顿大胆的猜想：二项式定理的新形式对于任意有理指数都是正确的，即：,二项式定理的推广,1,这个猜想是否正确？牛顿对此进行了验证。当指数为,1/2,时，有：,验证的结果与猜想一致。牛顿还对指数为,1/3,、,2/3,等情况进行了验证，结果也与猜想一致。,二项式定理的推广,1,然而，仅仅凭着有限的验证能够保证结论的普遍正确性吗？还要不要严格的证明？,牛顿认为这已经足够了，不需要进一步证明，他也没有给出证明。,1811,年，高斯对此进行了严格的证明，结果表明牛顿的猜想是正确的。,二项式定理在组合理论、开高次方、高阶等差数列求和，以及差分法中有广泛的应用。,现在，人们已经把二项式定理推广到了指数为任意的实数，甚至复数时的情况。,二项式定理的推广,2,二项式定理给出了两项和的,n,次幂的展开公式，有时我们也需要计算三项或多项和的,n,次幂，这时该怎么办？,最容易想到的办法是多次应用二项式定理，即先把后几项合并成一项，应用二项式定理，再对式子中出现的后几项的幂进行类似处理。,例如，对于三项和的,n,次幂，可以如下计算,二项式定理的推广,2,具体写出来是,二项式定理的推广,2,为了保持展开后的对称性，我们把展开式写成,二项式定理的推广,2,把公式中字母的系数提取出来,经过仔细观察，我们发现上一三角形可以摞在下一三角形的上方，构成一个正四面体。,四面体中的每一个数等于其肩上三个数之和。,二项式定理的推广,2,同样的方法，我们可以得到四项和的,n,次幂的计算公式,二项式定理的推广,2,为了看出多项和,n,次幂的计算公式的一般规律，我们把前面得到的结果列在一起：,二项式定理的推广,2,通过认真观察，我们不难发现以下规律：,1,）展开式中各个字母的指数和为,n,；,1,）系数的分子都是,n,！，分母为指数阶乘之积；,3,）求和条件为各指数均非负，且和为,n,于是，我们可以把这些展开式统一表达为,二项式定理的推广,3,上面得到的就是多项式定理，你能把它推广到负指数和分数指数的情况吗？,大胆的试试看，你的创造力会得到激发和锻炼。,