可分离变量微分方程式

单击以编辑,母版标题样式,单击以编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,转化,可分离变量微分方程式,第二节,解答分离变量方程式,可,分离变量方程式,分离变量方程式的解答法,:,设,y,(,x,),是方程式,的解答,两边积分,得,则有恒等式,当,G,(,y,),与,F,(,x,),可微且,G,(,y,),g,(,y,)0,时,说明由,确定的隐函数,y,(,x,),是,的解答,.,则有,称,为方程式,的,隐式通解答,.,同样,当,F,(,x,),=,f,(,x,)0,时,上述过程可逆,由,确定的隐函数,x,(,y,),也是,的解答,.,例,1.,求微分方程式,的通解答,.,解答,:,分离变量得,两边积分,得,即,(,C,为任意常数,),或,例,2.,解答,初值问题,解答,:,分离变量得,两边积分得,即,由初始条件得,C,= 1,(,C,为任意常数,),故所求特解答为,例,3.,求下述微分方程式的通解答,:,解答,:,令,则,故有,即,解答得,(,C,为任意常数,),所求通解答,:,练习,:,解答,分离变量,即,(,C, 0,),例,4.,子的含量,M,成正比,求在,衰变过程中铀含量,M,(,t,),随时间,t,的变化规律,.,解答,:,按照,题意,有,(,初始条件,),对方程式分离变量,即,利用初始条件,得,故所求铀的变化规律为,然后积分,:,已知,t,= 0,时铀的含量为,已知放射性元素铀的衰变速度与当时未衰变原,例,5.,成正比,求,解答,:,按照,牛顿第二定律列方程式,初始条件为,对方程式分离变量,然后积分,:,得,利用初始条件,得,代入上式后化简,得特解答,并设降落伞离开跳伞塔时,(,t,= 0 ),速度为,0,设降落伞从跳伞塔下落后所受空气阻力与速度,降落伞下落速度与时间的函数关系,.,t,足够大时,内容小结,1.,微分方程式的概念,微分方程式,;,定解答条件,;,2.,可分离变量方程式的求解答方案,:,说明,:,通解答不一定是方程式的全部解答,.,有解答,后者是通解答,但不包含前一个解答,.,例如,方程式,分离变量后积分,;,按照定解答条件定常数,.,解答,;,阶,;,通解答,;,特解答,y = x,及,y = C,发现,事物的共性及可贯穿于全过程的规律列方程式,.,常用的方案,:,1),按照,几何关系列方程式,2),按照,物理规律列方程式,3),按照,微量分析平衡关系列方程式,(,如,:,例,6 ),(2),利用反映事物个性的特殊状态确定定解答条件,.,(3),求通解答,并按照定解答条件确定特解答,.,3.,解答,微分方程式应用题的方案和步骤,思考与练习,求下列方程式的通解答,:,提示,:,(1),分离变量,(,2),方程式变,为,