1.4.1 排列组合综合问题

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,简单计数问题,红旗中学 姚辉,分类加法计数原理,完成一件事，可以有类办法，在第一类办法中有种方法，在第二类办法中有种方法，,，在第类办法中有种方法，那么，完成这件事,种方法。,复 习,分步乘法计数原理,个步骤，缺一不可，做第一步有种方法，做第二步有种方法，,，做第步有种方法，那么完成这件事共有,种方法。,1.,认真审题弄清要做什么事；,解决排列组合综合性问题的一般过程如下,:,2.,怎样做才能完成所要做的事,即,采取分步还是分类,或是分步与分类同时进行,确定分多少步及多少类；,3.,确定每一步或每一类是排列问题,(,有序,),还是组合,(,无序,),问题,元素总数是多少及取出多少个元素；,4.,解决排列组合综合性问题，往往类与步交叉，,因此必须掌握一些常用的解题策略。,一、特殊元素和特殊位置优先策略,例,1.,由,0,1,2,3,4,5,可以组成多少个没有重复数字五位奇数,.,位置分析法和元素分析法是解决排列组合,问题，最常用也是最基本的方法,若以元素,分析为主,需先安排特殊元素,再处理其它元,素,.,若以位置分析为主,需先满足特殊位置的,要求,再处理其它位置。若有多个约束条件,往往是考虑一个约束条件的同时还要兼顾,其它条件。,练习题,:,7,种不同的花种在排成一列的花盆里,若两种,葵花不种在中间，也不种在两端的花盆里，问有多少,不同的种法？,二、相邻元素捆绑策略,例,2,. 7,人站成一排,其中甲乙相邻且丙丁相邻,共有多少,种不同的排法,.,要求某几个元素必须排在一起的问题,可以用捆绑法来解决问题,即将需要相邻的元素合并为一个元素,再与其它元素一起作排列,同时要注意合并元素内部也必须排列。,练习题,:,某人射击,8,枪，命中,4,枪，,4,枪命中恰好有,3,枪,连在一起的情形的不同种数为,_,20,三、不相邻问题插空策略,例,3.,一个晚会的节目有,4,个舞蹈,2,个相声,3,个独唱,舞蹈节目不能连续出场,则节目的出场顺序有多少种？,元素相离问题可先把没有位置要求的元素进行排队,再把不相邻元素插入中间和两端,练习题：,某班新年联欢会原定的,5,个节目已排成节目单,开演前又增加了两个新节目,.,如果将这两个新节目插入原,节目单中，且两个新节目不相邻，那么不同插法的种数,为,_,30,四、定序问题倍缩空位插入策略,例,4.,7,人排队,其中甲乙丙,3,人顺序一定共有多少不同的排法,倍缩法,空位法,定序问题可以用倍缩法，还可转化为占位法,练习题,:,10,人身高各不相等,排成前后排，每排,5,人,要求从左至右身高逐渐增加，共有多少排法？,五、重排问题求幂策略,例,5.,把,6,名实习生分配到,7,个车间实习,共有多少种不同的,分法？,允许重复的排列问题的特点是以元素为研究对象，元素不受位置,的约束，可以逐一安排各个元素的位置，一般地,不同的元素没有,限制地安排在,个位置上的排列为 种,练习题：,某班新年联欢会原定的,5,个节目已排成节目单，,开演前又增加了两个新节目,.,如果将这两个节目插入原节,目单中，那么不同插法的种数为,_,42,六、环排问题线排策略,例,6.,8,人围桌而坐,共有多少种坐法,?,一般地,n,个不同元素作圆形排列,共有,(n-1)!,种排法,.,如果,从,n,个不同元素中取出,m,个元素作圆形排列共有,练习题：,6,颗颜色不同的钻石，可穿成几种钻石圈,9,七、多排问题直排策略,例,7.,8,人排成前后两排,每排,4,人,其中甲乙在前排,丙在,后排,共有多少排法？,一般地,元素分成多排的排列问题,可归结为一排考虑,再分段研究,练习题：,有两排座位，前排,11,个座位，后排,12,个座位，,现安排,2,人就座规定前排中间的,3,个座位不能坐，并且,这,2,人不左右相邻，那么不同排法的种数是,_,346,八、排列组合混合问题先选后排策略,例,8.,有,5,个不同的小球,装入,4,个不同的盒内,每盒至少装,一个球,共有多少不同的装法,解决排列组合混合问题,先选后排是最基本的指导思想,练习题：,一个班有,6,名战士,其中正副班长各,1,人现从,中选,4,人完成四种不同的任务,每人完成一种任务,且,正副班长有且只有,1,人参加,则不同的选法有,_,种,192,九、小集团问题先整体后局部策略,例,9.,5,男生和女生站成一排照像,男生相邻,女生,也相邻的排法有,_,种,小集团排列问题中，先整体后局部，再结合其它策略,进行处理。,练习题：,计划展出,10,幅不同的画,其中,1,幅水彩画,幅,油画,幅国画,排成一行陈列,要求同一品种的必须连在,一起，并且水彩画不在两端，那么共有陈列方式的,种数为,十、元素相同问题隔板策略,例,10.,有,10,个运动员名额，分给,7,个班，每班至少一个,有多少种分配方案？,将,n,个相同的元素分成,m,份（,n,，,m,为正整数）,每份至少一个元素,可以用,m-1,块隔板，插入,n,个元素排成一排的,n-1,个空隙中，所有,分法数为,练习题：,10,个相同的球装,5,个盒中,每盒至少一有,多少装法？,十一、正难则反总体淘汰策略,例,11.,从,0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,这十个数字中取出三个数，,使其和为不小于,10,的偶数,不同的取法有多少种？,有些排列组合问题,正面直接考虑比较复杂,而它的反面往往,比较简捷,可以先求出它的反面,再从整体中淘汰,.,练习题：,我们班里有,43,位同学,从中任抽,5,人,正、副,班长、团支部书记至少有一人在内的抽法有多少种,?,十二、平均分组问题除法策略,例,12.,6,本不同的书平均分成,3,堆,每堆,2,本共有多少分法？,平均分成的组,不管它们的顺序如何,都是一种情况,所以分组后要,一定要除以,( n,为均分的组数,),避免重复计数。,练习题：,将,13,个球队分成,3,组,一组,5,个队,其它两组,4,个队,有多少分法？,十三、合理分类与分步策略,例,13.,在一次演唱会上共,10,名演员,其中,8,人能能唱歌,5,人会跳舞,现要演出一个,2,人唱歌,2,人伴舞的节目,有,多少选派方法？,解含有约束条件的排列组合问题，可按元素的性质进行分类，,按事件发生的连续过程分步，做到标准明确。分步层次清楚，,不重不漏，分类标准一旦确定要贯穿于解题过程的始终。,练习题：,从,4,名男生和,3,名女生中选出,4,人参加某个座,谈会，若这,4,人中必须既有男生又有女生，则不同的,选法共有,_,十四、构造模型策略,例,14.,马路上有编号为,1,2,3,4,5,6,7,8,9,的九只路灯,现要,关掉其中的,3,盏,但不能关掉相邻的,2,盏或,3,盏,也不能关,掉两端的,2,盏,求满足条件的关灯方法有多少种？,把此问题当作一个排队模型在,6,盏亮灯的,5,个空隙中,插入,3,个不亮的灯有,种。,一些不易理解的排列组合题如果能转化为非常熟悉的模型，,如占位填空模型，排队模型，装盒模型等，可使问题直观解决,十五,、,实际操作穷举策略,例15.,设有编号1,2,3,4,5的五个球和编号1,2,3,4,5的五个盒子,现将5个球投入这五个盒子内,要求每个盒子放一个球，并且恰好有两个球的编号与盒子的编号相同,有多少投法,？,对于条件比较复杂的排列组合问题，不易用公式进行运算，,往往利用穷举法或画出树状图会收到意想不到的结果,3号盒,4号盒,5号盒,练习：,给,图中区域涂色,要求相邻,区,域不同,色,现有4种,颜料,可选,，共有多少不同的涂色方法？,十六,、,分解与合成策略,例16.,30030能被多少个不同的偶数整除,？,解与合成策略是排列组合问题的一种最基本的解题策略,把一个复杂问题分解成几个小问题逐一解决,然后依据问题分解后的结构,用分类计数原理和分步计数原理将问题合成,从而得到问题的答案,每个比较复杂的问题都要用到这种解题策略,练习:,正方体的8个顶点可连成多少对异面直线,？,十七,、,化归策略,例17.,25人排成55方阵,现从中选3人,要求3人不在同一行也不在同一列,不同的选法有多少种？,处理复杂的排列组合问题时可以把一个问题退化成一个简要的问题，通过解决这个简要的问题的解决找到解题方法，从而进下一步解决原来的问题,练习题:,某城市的街区由12个全等的矩形区组成其,中实线表示马路，从A走到B的最短路径有多少种？,十八,、,数字排序问题查字典策略,例18,由0，1，2，3，4，5六个数字可以组成多少个,没有重复的比324105大的数？,数字排序问题可用查字典法,查字典的法应从高位向低位查,依次求出其符合要求的个数,根据分类计数原理求出其总数,。,练习:,用0,1,2,3,4,5这六个数字组成没有重复的四位偶数,将这些数字从小到大排列起来,第71个数是,_,。,3140,十九,、,树图策略,例19,人相互传球,由甲开始发球,并作为第一次传球,经过次传求后,球仍回到甲的手中,则不同的传球方式,有_,。,对于条件比较复杂的排列组合问题，不易用公式进行运算，树图会收到意想不到的结果,练习:,分别编有1，2，3，4，5号码的人与椅，,其中,号人不坐,号椅,的不同坐法有多少种？,10,二十,、,复杂分类问题表格策略,例20,有红、黄、兰色的球各5只,分别标有A、B、C,、D、E五个字母,现从中取5只,要求各字母均有且三,色齐备,则共有多少种不同的取法,？,一些复杂的分类选取题,要满足的条件比较多,无从入手,经常出现重复遗漏的情况,用表格法,则分类明确,能保证题中须满足的条件,能达到好的效,二十一,、,住店法策略,解决,“,允许重复排列问题,”,要注意区分两类元素：一类元素可以重,复，另一类不能重复，把不能重复的元素看作,“,客,”,，能重复的元,素看作,“,店,”,，再利用乘法原理直接求解.,例21.,七名学生争夺五项冠军，每项冠军只能由一人获得，获得冠军的可能的种数有,.,本节课，我们对有关排列组合的几种常见的解题策略加以复习巩固。排列组合历来是学习中的难点，通过我们平时做的练习题，不难发现排列组合题的特点是条件隐晦，不易挖掘，题目多变，解法独特，数字庞大，难以验证。同学们只有对基本的解题策略熟练掌握。根据它们的条件,我们就可以选取不同的技巧来解决问题,.,对于一些比较复杂的问题,我们可以将几种策略结合起来应用把复杂的问题简单化，举一反三，触类旁通，进而为后续学习打下坚实的基础。,小结,