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单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,*,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,主讲老师 潘学国,解三角形,1.2 应用举例,第一课时,1.2.1 应用举例,解三角形的方法在度量工件、测量距离和高度及工程建筑等生产实际中，有广泛的应用，在物理学中，有关向量的计算也要用到解三角形的方法。,我国古代很早就有测量方面的知识，公元一世纪的,周髀算经,里，已有关于平面测量的记载，公元三世纪，我国数学家刘徽在计算圆内接正六边形、正十二边形的边长时，就已经取得了某些特殊角的正弦,正弦定理,余弦定理,（,R,为三角形的外接圆半径）,A,B,C,a,c,b,例,1,：,设,A,、,B,两点在河的两岸，要测量两点之间的距离。,测量者在,A,的同测，在所在的河岸边选定一点,C,，,测出,AC,的距离是,55cm,，,BAC,51,o,，,ACB,75,o,，求,A,、,B,两点间的距离（精确到,0.1m,）,分析：已知两角一边，可以用正弦定理解三角形,一、测量距离的问题,解：根据正弦定理，得,答：,A,B,两点间的距离为,65.7,米。,例,2,：,A,、,B,两点都在河的对岸（不可到达），设计一种测量两点间的距离的方法。,分析：,用例,1,的方法，可以计算出河的这一岸的一点,C,到对岸两点的距离，再测出,BCA,的大小，借助于余弦定理可以计算出,A,、,B,两点间的距离。,解：测量者可以在河岸边选定两点,C,、,D,，测得,CD=a,并且在,C,、,D,两点分别测得,BCA=,ACD=,CDB=,BDA=,.,在,ADC,和,BDC,中，应用正弦定理得,计算出,AC,和,BC,后，再在,ABC,中，应用余弦定理计算出,AB,两点间的距离,练,1,：,海上有,A,、,B,两个小岛相距,10,海里，从,A,岛望,C,岛和,B,岛成,60,的视角，从,B,岛望,C,岛和,A,岛成,75,的视角，那么,B,岛和,C,岛间的距离是,。,A,C,B,10,海里,60,75,答：,海里,解：应用正弦定理，,C=45,BC/sin60=10/sin45,BC=10sin60/sin45,练,2,：,一艘船以,32.2n mile/hr,的速度向正北航行。在,A,处看灯塔,S,在船的北偏东,20,o,的方向，,30min,后航行到,B,处，在,B,处看灯塔在船的北偏东,65,o,的方向，已知距离此灯塔,6.5n mile,以外的海区为航行安全区域，这艘船可以继续沿正北方向航行吗？,练,5,：,自动卸货汽车的车厢采用液压机构。设计时需要计算,油泵顶杆,BC,的长度已知车厢的最大仰角是,60,，油泵顶点,B,与车厢支点,A,之间的距离为,1.95m,，,AB,与水平线之间的夹角为,6,20,，,AC,长为,1.40m,，,计算,BC,的长（精确到,0.01m,）,最大角度,最大角度,最大角度,最大角度,分析：,已知,ABC,中,AB,1.95m,，,AC,1.40m,，夹角,C,AB,6620,，,求,BC,解：由余弦定理，得,答：顶杆,BC,约长,1.89m,。,C,A,B,例,3,：,AB,是底部,B,不可到达的一个建筑物，,A,为建筑物的最高点，设计一种测量建筑物高度,AB,的方法。,分析：,由于建筑物的底部,B,是不可到达的，所以不能直接测量出建筑物的高。由解直角三角形的知识，只要能测出一点,C,到建筑物的顶部,A,的距离,CA,并测出由点,C,观察,A,的仰角，就可以计算出建筑物的高。所以应该设法借助解三角形的知识测出,CA,的长,。,二、测量高度的问题,解：,选择一条水平基线,HG,使,H,G,B,三点在同一条直线上。由在,H,G,两点用测角仪器测得,A,的仰角分别是,，,，,CD=a,测角仪器的高是,h.,那么，在,ACD,中，根据正弦定理可得,例,4,：,在山顶铁塔上,B,处测得地面上一点,A,的俯角,54,40,，在塔底,C,处测得,A,处的俯角,50,1,。已知铁塔,BC,部分的高为,27.3m,，求出山高,CD(,精确到,1m),分析：,根据已知条件，应该设法计算出,AB,或,AC,的长。,解：在,ABC,中，,BCA=90+,ABC=90,-,BAC=,-,BAD=,.,根据正弦定理，,CD=BD-BC177-27.3=150(m),答：山的高度约为,150,米。,例,5,：,一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到,A,处时测得公路北侧远处一山顶,D,在西偏北,15,的方向上，行驶,5km,后到达,B,处，测得此山顶在西偏北,25,的方向上，仰角,8,，求此山的高度,CD.,分析：,要测出高,CD,只要测出高所在的直角三角形的另一条直角边或斜边的长。根据已知条件，可以计算出,BC,的长。,解：在,ABC,中，,A=15,C=25-15=10.,根据正弦定理，,CD=BCtanDBCBCtan81047(m),答：山的高度约为,1047,米。,A,Q,C,P,B,g,a,b,a,练习,（,1,）,A,B,C,D,a,b,（,2,）,A,B,C,D,30,o,45,o,200m,30,o,45,o,h,（,3,）,例,6,：,一艘海轮从,A,出发，沿北偏东,75,的方向航行,67.5n mile,后到达海岛,B,然后从,B,出发，沿北偏东,32,的方向航行,54.0n mile,后到达海岛,C.,如果下次航行直接从,A,出发到达,C,此船应该沿怎样的方向航行，需要航行多少距离（角度精确到,0.1,距离精确到,0.01n mile,）,?,解：在,ABC,中，,ABC,180,75,32,137,，根据余弦定理，,三、测量角度的问题,所以，,CAB=19.0,75,CAB=56.0.,答：此船应该沿北偏东,56.0,的方向航行，需要航行,113.15n mile.,练习：,3.5m,长的木棒斜靠在石堤旁，棒的一端离堤足,1.2m,的地面上，另一端沿堤上,2.8m,的地方，求堤对地面的倾斜角。,四、三角形的面积问题,例,7,：,在,ABC,中，根据下列条件，求三角形的面积,S(,精确到,0.1cm,),（,1,）已知,a=14.8cm,c=23.5cm,B=148.5;,（,2,）已知,B=62.7,C=65.8,b=3.16cm;,（,3,）已知三边的长分别为,a=41.4cm,b=27.3cm,c=38.7cm.,例,8,：,在某市进行城市环境建设中，要把一个三角形的区域改造成市内公园，经过测量得到这个三角形区域的三条边长分别为,68m,88m,127m,，这个区域的面积是多少（精确到,0.1cm,）,?,解：设,a=68m,b=88m,c=127m,根据余弦定理的推论，,五、三角形的综合问题,作业,-,Thanks for your coming!,
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