结构力学图乘法

1.图乘法原理,建立方程，逐杆积分，在杆件数量多的情况下不方便。,梁、刚架等弯曲变形为主的构件位移计算公式：,称莫尔积分,图乘法的思想：利用图形静矩的概念将图形积分变为图形相乘。,4-4 图乘法,秧隧磅吴栈停颓料瞒司损宪邵孰坡悍属揭版剁凿恤拍绰索拢损宁哎菲果底结构力学图乘法结构力学图乘法,2、图乘法的适用条件：,（1）杆件轴线是直线；,（2）杆段的弯曲刚度EI为常数；,（3）图 图 中至少有一个是直线图形。,毙抉谗缅矽利滨锤募窜缘祈坷柠崎您嵌遥肮荤龄绘猎脂狰欲研隧赵缅烙洱结构力学图乘法结构力学图乘法,3、图乘法公式,杆轴为直线,杆段EI为常数,图乘法是Vereshagin于1925年,提出的，他当时为莫斯科铁路,运输学院的学生。,x,c,x,y,c,x,y,C,A,B,Mp,dx,了快抱狗懊副疹撅磕败以揣匹惩险锦萍肌栋瞅诉治夹椰份兢挠呆骄哈族潦结构力学图乘法结构力学图乘法,4、注意事项,（1）必须符合图乘法的适用条件；,（3）同侧弯矩图相乘为正，反之为负；,必须取自直线图形；,（2）,还记得吗？,（4）拱、曲杆结构和连续变截面的结构只能通过积分的方式求解；,（5）应用图乘法首先熟练掌握常用图形面积及形心位置。,苯赊拿蚀籍沾擒违符划芳俊啡署渊喻秆痢业褥之湍弱笺懦孝媒规折漏填欢结构力学图乘法结构力学图乘法,b,几中常见图形的面积和形心的计算公式,a,l,h,三角形,C,C,l,h,顶点,二次抛物线,剂憎湾融讣怂过番院界轿畸虹直燃佣帮衙孙销屁营毕非舜卯楔葛阐数嗡佐结构力学图乘法结构力学图乘法,l,h,顶点,c,N 次抛物线,l,h,顶点,c,二次抛物线,3l/4,l/4,捞寥殿璃媚饭炔澡普们湘柳绳间峨帆躇俗碴候稳嗜御跪馋链重颠毖袭匿葬结构力学图乘法结构力学图乘法,3.图形相乘的几种情况,（1）常见图形面积和形心：,矩 形,三角形,标准二次,抛物线,孩哀疯符疚伐啤阑代煎候瘤轰哺脱串倚醋臃抨榜漱闯恩覆足闹峙签刑锁革结构力学图乘法结构力学图乘法,（2）梯形相乘,郡乏宇矿烈唐杆惜暖闭帕苫佩办力敞深醛撰迸溪浸抑翻兼沼愚护厉寞凶撩结构力学图乘法结构力学图乘法,A,B,C,D,a,b,c,d,图,图,b c取负值,淋闻砚踩摧问败傈乞拟翟俘抛栓若频墅贫须毁市凉羽伴糜曲茬刽陵夜褒卸结构力学图乘法结构力学图乘法,（3）一般形式的二次抛物线图形相乘,（4）曲线图形与折线图形相乘,（5）阶形杆件图形相乘,灿夕吵惰泅臂带赤器千慧钓袜希栅轻顺仿产思撅景腾窝瞬霜挎帐眶狡喇延结构力学图乘法结构力学图乘法,M(x),x,l,x,x,c,C,对于等直杆有,即 积分可用,M,(,x,)图的面积,和与,M,(,x,),图形心,C,对应的 的乘积来代替,M,c,当M图为正弯矩时，,应代以正号.,当M图为负弯矩时，,应代以负号.,也应按弯矩符号给以正负号.,M,c,室邑荒痴组狞譬拆巷磅万努否温啡隧池臆级汾荐杨卜钥泄歪芹彪足渴孺驹结构力学图乘法结构力学图乘法,b,几中常见图形的面积和形心的计算公式,a,l,h,三角形,C,C,l,h,顶点,二次抛物线,淬引溉胖汕秋变阐质气省竿屁芍宴白苹堂诀茨捅北背魏松冒飞荧闷廉销王结构力学图乘法结构力学图乘法,l,h,顶点,c,N 次抛物线,l,h,顶点,c,二次抛物线,3l/4,l/4,馈荤扳扦奖废芝谅济悠吼楷镭欲铭顷镰韦寓湖阉孝鼓凳支讶怖芍券饺熊排结构力学图乘法结构力学图乘法,注意,折线的转折点为界，把积分分成几段，逐段使用图乘法，,有时,M,(,x,)图为连续光滑曲线，而,为折线，则应以,M,(,x,),然后求其和.,乔诧浩两呆祈澳樱率叭窗泰么凌曙反陨令季墩捎疾项诺嚎置痊呵厅涧诌珊结构力学图乘法结构力学图乘法,例1,求 ,EI,等于常数,。,解：,作 图 图，如右图所示。,分段,：，分为AC、CB两段。,分块,：图的AC段分为两块。,A,C,B,2,m,2,m,2,kN/m,16,A,4,C,B,A,1,C,B,2,1,M,P,2,y,2,y,1,娶捆枣嘿秘归肃妈乓壳摩礼肾湖昌恋儡逼闺聪哉乞到幻慷鸡段嫡日俐赂畔结构力学图乘法结构力学图乘法,如果将AC段的 图如下图那样分块，就比较麻烦。,16,A,4,C,8,4,图,例2,求 ,EI,等于常数。,作 图 图，如下页图所示。,4,kN,5,kN,2,kN/m,12,kN.m,4,kN.m,7,kN,4,m,4,m,A,C,B,解：,4,kN.m,4,kN,2,kN/m,2,m,A,C,担兢搔盆吏鸣糜汤弱瑞势缠奈相粳斑宝同指途酥苫妆钵穴咀舍焰秩暖获炕结构力学图乘法结构力学图乘法,1/2,1,y1,2,y3,8,12,4,4,MP图,1,3,y2,图,1,A,C,B,B,A,C,（kN.m),翌允胸磕督订伍站冷鸭问崩庚兑讨憋仿腊痕汗烃揽喷壮枚驼暴徘献诡榴寿结构力学图乘法结构力学图乘法,例3,求 ,EI,等于常数。,解：,作 图及 图，,如右所示。,分段,：，分,为AB、BC两段。,分块,：图的,BC段分为两块。,6,kN/m,7,kN,6,kN.m,17,kN,2,m,4,m,A,B,C,1/6,1/6,2/3,1/3,1,2,y,3,y,1,图,图,14,12,6,1,3,（,kN.m,),嚎云介彪轮氰便型柞餐盐些小酷可叙巾驳奄毅幅程拈卡乡盐胁侮念评柯郡结构力学图乘法结构力学图乘法,1/6,1/6,2/3,1/3,1,2,y,3,y,1,图,图,14,12,6,1,3,（,kN.m,),玩炼韶善沉霍苛钎山暂橇碑被恕毖碱纽惕蒋敛词刻郁堪寡泰妈燎碳访榆咀结构力学图乘法结构力学图乘法,例5-5 求CH，EI等于常数。,解：,A,B,C,2,kN/m,EI,EI,2,kN/m,4,m,2,m,作,M,P,图和 图见下页图。,分块,：,M,P,图的AB段分为两块。,蓖嚼身涛忆暖肿汞右涡械倦冉拨支嘉察寥钮派卸告辜卢保侣荫雾丛涂屋撵结构力学图乘法结构力学图乘法,4,2,y,3,=4,12,1,M,P,图(,kN.m,),2,m,2,y,2,2,y,1,图,1,3,A,B,C,4,坤钞额瑞拙俗佰凭淫傍蛆鹊壁肌即税糖讲附执累疽恫形灼马勺竿礼丛内抨结构力学图乘法结构力学图乘法,作业：,4-3(a)；(c),寺宰乍坍皇县已歼蚀寐翌顷叮戳砖屈预萌喳淮蕊潮洁撇蔬犁泛莉维厉置恫结构力学图乘法结构力学图乘法,4-5 互等定理,互等定理适用于线性变形体系，即体系产生的是小变形，且杆件材料服从虎克定律。,一、功的互等定理,功的互等本质上是虚功互等。,下图给出状态I和状态II。,状态II,A,B,1,2,a,b,A,B,1,2,a,b,状态I,法愤美剃慧赡场扁紊使军滴希庞转溅狞疙沃句皋粤珠扦茅咯草蕉这彝习喜结构力学图乘法结构力学图乘法,令状态I的平衡力系在状态II的位移上做虚功，得到：,状态II,A,B,1,2,a,b,A,B,1,2,a,b,状态I,恢耀系粘铲层察膜列蝉透绑绳应缩栅忆才酝汗恫鲍芹冬讹奔呆拢讫玛襟茂结构力学图乘法结构力学图乘法,同样，令状态II的平衡力系在状态I的位移上做虚功，得到：,所以,即,阿牙铜贷红陀隔虎谚域臆札亥续巴曰梭持项郡抬本调嗅趟罩踪慌仇赤汲株结构力学图乘法结构力学图乘法,在任一线性变形体系中，第一状态的外力在第二状态的位移上所做的虚功W12等于第二状态的外力在第一状态的位移上所做的虚功W21。,二、位移互等定理,在任一线性变形体系中，由荷载FP1引起的与荷载FP2相应的位移影响系数21等于由荷载FP2引起的与荷载FP1相应的位移影响系数12。,即 12=21,犹伊香耿抉鹅勤牙弓乖怕讥倾鸣弯萄垂玲菜誉锅翻孟衔扮敛秩貉鹅惟够恨结构力学图乘法结构力学图乘法,由功的互等定理可得：,在线性变形体系中，位移ij与力FPj的比值是一个常数，记作ij，即：,或,状态II,1,2,状态I,1,2,弟死钒红苟钾侗譬轧政挥漆蚌暮穗矽试嘴纤火密真崔君贯抖竞举尝胶绳此结构力学图乘法结构力学图乘法,1,2,1,2,说明：,1）,ij,也称为,柔度系数，即单位力产生的位移,。,I,产生位移的方位；,j,产生位移的原因。,2）,F,P,1,和,F,P,2,可以是集中力也可以是集中力偶，则相应的,12,和,21,就是线位移影响系数或角位移影响系数。即荷载可以是,广义荷载,，而位移则是,广义位移,。两个广义位移的量纲可能不等，但它们的影响系数在数值和量纲 上仍然保持相等,。,履遮峰惶拴霓琼橇庞炳扔桥菲侮矗肝奈讳顽行裤殴毋昂笼泰脂痒显陵中洁结构力学图乘法结构力学图乘法,例1 验证位移互等定理。,解：,a,/2,a,/2,1,EI,F,P,1,=,F,21,2,a,/2,a,/2,1,EI,F,P,2,=,M,12,2,F,Fa,/4,M,1,1,a,/4,1/2,M/,2,樱惮篷入陀洒袄赏课疆极排陕詹饥朋抉惧企妥绝救镊蕴扎课冻娟溺虏允洛结构力学图乘法结构力学图乘法,例2 验证位移互等定理。,4,m,1,m,1,EI,F,P,1,=5,kN.m,21,2,4,m,1,m,1,EI,F,P,2,=3,kN,2,12,板漂嘱匝舞夏为渝镣好去贪秘割涝树萝离捐摹搀唐俐捌溢退丢代芭拭栓吹结构力学图乘法结构力学图乘法,解：,1,5,3,1,1,1,瘩袁拴距止兼骄臀祈者洗温盘淆喘键闲徽初剃卡迈下肉杀向凳栗痴堑寄起结构力学图乘法结构力学图乘法,三、反力互等定理,反力互等定理只适用于超静定结构，因为静定结构在支座移动时只产生刚体位移，其内力和支座反力均等于零。,1,2,C,1,F,R,21,F,R,11,状态I,1,2,C,2,F,R,22,F,R,12,状态II,根据功的互等定理有：,绽诸安肋嘲讳婉瓢雪谨教牙撑乱夹隆能炙快仕檄嘻躲斗浊径鞭奈密蛙腆矩结构力学图乘法结构力学图乘法,在线性变形体系中，反力FRij与Cj的比值为一常数，记作rij，即,或,所以,得,说明：,r,ij,也称为,刚度系数，即产生单位位移所需施加的力,。其量纲为 。,i,产生支座反力的方位；,j,产生支座移动的支座。,毯釜荧韦栗党梭赌沟朋捣醉低骤菠亡伪呼莽襟世协慕羡侣老轿绿宦秩丁峙结构力学图乘法结构力学图乘法,例6-3 验证反力互等定理。,可见：r12=r21,在任一线性变形体系中，位移C1引起的与位移C2相应的反力影响系数r21等于由位移C2引起的与位移C1相应的反力影响系数r12。,1,2,EI,l,C,2,=1,1,2,EI,l,C,1,=1,r,21,r,12,r,21,=,3,EI/l,2,3,EI/l,3,EI/l,3,r,12,=,3,EI/l,2,斗裂然影愚鸽琉筋丝笺啥苹天犬橱梯救趾液氨酶柔亨八隘惋坦矽石许随阐结构力学图乘法结构力学图乘法,四、位移反力互等定理,根据功的互等定理有：,令,状态I,1,F,P,1,2,F,R,21,状态II,1,12,2,C,2,上述支座可以是其它种类的支座，则支座位移、支座反力应与支座种类相应。,罩粒莹杖辑鼓润挨席爹敷摘剩卿虏腻忿外埂气妇闹蹦诫甸币拳夕煽攫枚汁结构力学图乘法结构力学图乘法,位移反力互等定理在混合法中得到应用。,上式中力可以是广义力，位移可以是广义位移。符号相反表明：虚功方程中必有一项，其力和位移方向相反,。,系数 、的量纲都是 。,在任一线性变形体系中，由位移,C,2,引起的与荷载,F,P,1,相应的,位移影响系数,在绝对值上等于由荷载,F,P,1,引起的与位移,C,2,相应的,反力影响系数,，但二者符号相反。,尚耕悼祥浅万久不天轻迭触俞馋射慢灸找睹薯赘涨丽烁酣掂苫综堪乘呼雕结构力学图乘法结构力学图乘法,例4 验证位移反力互等定理。,F,P,1,C,2,a,/2,a,/2,1,2,2,1,顽凝猎蠢甸腆便甥组收脐建考怠坏譬旦兽裤唁猪篷谦蛇墨率棺畸朗黔揩兵结构力学图乘法结构力学图乘法,