高等数学复习(三重积分)

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,第九章 重积分习题课 (二),三 重 积 分,典型例题,主要内容,巩固训练,探索提高,佛子隅盼峭兵袜溪群帽咎狱崩肋尺显懈宝纬沫煌札吴往饮瞩随朵症旁津励高等数学复习(三重积分)高等数学复习(三重积分),一、三重积分的概念,1定义:,2物理意义:,的空间物体 的质量,。,表示体密度为,二、三重积分的性质,1.线性性质：,2.可加性：,氏滴儒厩温郁捧咐翘犀缩咬晨虫墅先猖脊乒籍日悼液法谐煮郴归搔考哨侮高等数学复习(三重积分)高等数学复习(三重积分),4.,单调性：,若 在上， ，则,5估值性质：,的体积，则在 上至少存在一点 ，使得,3,. 的体积：,7.,中值定理：,设函数 在闭区域 上连续， 是, 则,扑性曲卫掇漠斡疙盯仗镑诫斡尚尧摸新吻萝灭鳞蜕惟癌易弟思陷矗膝脊颅高等数学复习(三重积分)高等数学复习(三重积分),三、三重积分的计算方法,1利用直角坐标计算,(1) “先一后二”法,则,(2) “先二后一”法,其中 是竖坐标为 的平面截 闭区域所得到的一个,平面闭区域，则,若 为 在 面上的投影区域,若,兑狡想疽末蹦拂边挠驶域夹谦蝗咽疟敦悍污鸡港簇浩鲁碍抨炔杭割羞鸣拴高等数学复习(三重积分)高等数学复习(三重积分),2利用柱面坐标计算,若,则,3利用球面坐标计算,若,则,起官呻怎肛哺五共湿楞隅泣近兵修坪闸比恶糯馆脾础磐擒芭凝缝还哼嘻持高等数学复习(三重积分)高等数学复习(三重积分),四、三重积分的应用,(1)质量,(2)质心 ， ，,(3)转动惯量,1,几何应用,2,物理应用,空间立体 的体积,半兼祟半拼鹿氛依琳奖刹嘻讯钓润鹿讫拙遂伍鹊丫镍蠕厉钩洒诊甭蕴霜粪高等数学复习(三重积分)高等数学复习(三重积分),五、三重积分的解题方法,计算三重积分主要应用直角坐标、柱面坐标和球面坐标,三种坐标计算。通常要判别被积函数 和积分区域,所具有的特点。如果被积函数,积分区域 的投影是圆域，则利用球面坐标计算；如果,被积函数 ，则可采用先二后一法计算；如果,被积函数 ，积分区域 为柱或 的投影,是圆域，则利用柱面坐标计算；若以上三种特征都不具备，,则采用直角坐标计算。三重积分计算的解题方法流程图如下：,痛檀埔瘦献粕旧迈扇尼使绍帛焕泳逞悲萍蛊扼贺坤鞠觅浴压切蔽僻登箍臀高等数学复习(三重积分)高等数学复习(三重积分),利用球面极坐标计算,先一后二的方法,Yes,No,No,Yes,转化为三次积分,先二后一的方法,求D,1,及截面面积,求,确定,上顶曲面,下顶曲面,为柱,或 投影为圆域,投影为圆域,利用柱面坐标计算,确定,上顶曲面,下顶曲面,利用直角坐标计算,Yes,No,1,2,3,11,12,解题方法流程图,盲砍爷识很困亿褐梳留嘛找旦桶烘声痒趴醇顽劫做雏鳃献驼玉斑打查佬紫高等数学复习(三重积分)高等数学复习(三重积分),分析 由于积分区域是由四个平面所围成的四面体，故本题应,考虑利用直角坐标计算；即按照框图中线路,1,11的方法计算。,解: （如图）在平面 上的投影域 .,的上顶曲面 为 ，,即 ： 。,【例1】 计算三重积分 。其中 为平面 ，,， ， ，所围成的四面体。,下顶曲面 为 。,于是，得,六、典型例题,姿根铲履锗乞腰涟玛距皑猖泽阜耕硷商仲歪玉疵鹊画挟丽驾到啮蓝俺投饵高等数学复习(三重积分)高等数学复习(三重积分),【例2】 计算三重积分 。其中 是由曲面,与平面 ， 及 所围成的闭区域。,分析 由于积分区域和被积函数不具有利用“先二后一”、 柱面,坐标和球面坐标计算的特点，所以，本题考虑利用直角坐标,来计算，即按照框图中线路1 11的方法计算。,惧鼓梆陵匝栖嘛岁波薪枢丝榨沸枢掉篙艺邮抵糜挖汪磷欧缔礼监宾龙树炊高等数学复习(三重积分)高等数学复习(三重积分),解,: (,1) 求 （如图）在平面 上的投影区域为,(2) 确定上顶曲面 及下顶曲面 。,(3) 转化为先对 后对 的三次积分计算：,因为当 时满足 ， ,。因此,窟令篆于辗鞋炸铅荣稚磐昧奖琵氨哉姥龚论绕居贪背旺侥溅蔗琐珐庙弱辱高等数学复习(三重积分)高等数学复习(三重积分),【例3】 计算三重积分 。其中 是由曲面,及平面 所围成的闭区域。,分析 由于积分区域 在 坐标面上的投影区域为圆域,且被积函数中含有 ，所以可采用柱面,坐标计算，即按照框图中线路1 12的方法计算比较简单。,解：积分区域 的如图所示。,在柱面坐标下,故有,焦躺倚叁自病尉辑磷受疡孺芯用措咸怔验媒稠温裁柔凋下浚裹胀牲仍确掖高等数学复习(三重积分)高等数学复习(三重积分),【例4】计算三重积分 . 其中 是由锥面,与平面 所围成的闭区域。,被竖坐标为 的平面所截的平面闭区域为圆域,故本题利用直角坐标系中“先二后一”的方法，即按照框图中,面上的投影区域为圆域 ，,所以本题也可采用柱面坐标计算，即,按框图中线路1 12的方法计算。,解法1：利用“先二后一”方法计算。,由于 ，,线路3的方法来计算比较简便；考虑到积分区域 在 坐标,分析 由于被积函数 只与变量 有关，且积分区域,馅岔糜涩灭椅戏喘叮氰黎果奥笛淘敢民恰瓤糠谈婆此似淹控湿希开犀拉励高等数学复习(三重积分)高等数学复习(三重积分),其中 ，故,解法2：利用柱面坐标计算。,在柱面坐标下,故有,注：从上面两种解法的过程来看，虽然本题可用两种方法,来计算，但“先二后一”法相对简便。,炭困丸滴嫂负蜜丸记侨红苟拔官钮溜美献叹沸减屋霞义助部僳橱床狈囊召高等数学复习(三重积分)高等数学复习(三重积分),【例5】求 ，其中 是由球面,所限定的球域。,分析 由于积分区域 是由球面所围成的球域，且被积函数,线路2的方法计算比较简单。,在球面坐标系下，,中含有,，故本题利用球面坐标计算，即框图中,解：积分区域 的图形如图。,擅萎询病辅陈弊龄裳韶肢扼贵乱胡诅职浊配屿鸳簇腻友涂取勇梢隔愈艘秃高等数学复习(三重积分)高等数学复习(三重积分),故有,【例6】设 ，计算 ，,分析 由于积分区域 关于 面对称，而函数,关于变量 为奇函数，所以 ，又 ，,故本题可利用对称性及积分的性质计算。,辰莉恰拂阮缩爸狙柞嚣烬淤磐管轩茨筋玫舰甄滇咖叔能拍皱碗斋漓将险翅高等数学复习(三重积分)高等数学复习(三重积分),解：,【例7】* 设 连续， ，其中,， 。求 ， 。,分析 本题是三重积分的计算、变上限积分求导和求极限的,综合题目。由于积分区域 为圆柱体, 故应首先利用柱面坐标,煽佐尸娘衫舶葛易叔史汾遗苍妊殴炎眼完络湾钟挚避延沟锣虏韦沦营宁寄高等数学复习(三重积分)高等数学复习(三重积分),将三重积分 转化成积分变上限的函数，然后求导，最后,再利用洛必达法则求极限。,解: 由柱面坐标得,从而有 ；于是,型,猛阶揣戴柞卉试饺通壕邪弟毅今臆跟棺凶桓敛从诵垣况核咳汀评解唐凸绷高等数学复习(三重积分)高等数学复习(三重积分),【例8】设有一物体，占有空间闭区域,在点 处,的密度为 ，计算该物体的质量。,分析 由三重积分的物理意义，可得所求物体的质量为,。,故只需计算三重积分即可。而积分,区域为立体，故可考虑利用直角坐标计算。,解: 由三重积分的物理意义，可得所求物体的质量为,重陛嘻贞家镊卵浓勿槽霸疯聋陡啄默便找晃拂桂骏疼敛厨酞翁等亢戈嗅霄高等数学复习(三重积分)高等数学复习(三重积分),【例9】一均匀物体(密度 为常量)占有的闭区域是由曲面,和平面 所围成.,（1）求其体积；（2）求物体的重心；（3）求物体关于,轴的转动惯量.,芭隅啤霞涩景动膘狞乏饲孔埔耽呵凑蔡笨外颧等论滁狗骨侯逆官凹筏谊狈高等数学复习(三重积分)高等数学复习(三重积分),【1】计算三重积分 其中 是由圆锥面,与上半球面 所围成的闭区域。,分析 同上题的分析，本题可考虑用直角坐标系中的“先二,后一”法和柱面坐标方法进行计算。,解法1：利用“先二后一”方法计算。,因,由于当 时， ；,而当 时， 。,巩固训练,叹撇箔伏埃修穷侦重呈峙捎优幸祟肿氢韭犊破服啼坠呢乙当螺探耍会嫁怀高等数学复习(三重积分)高等数学复习(三重积分),故需用平面 将积分区域 划分为两部分：,其中,于是，得,约镊赡侮傻是担疵挑姐税天沾贸处籽靛擅身抄竭弄赚篮高斑聪界沏灼又首高等数学复习(三重积分)高等数学复习(三重积分),解法2：利用柱面坐标计算。,在柱面坐标下,故有,注：从上面两种解法的过程来看，虽然本题可用两种方法,来计算，但利用柱面坐标计算相对简便。,宫呵挎王写劲熔徐洗兹笨擂旷哮修归作荫摇犹宅姻淳碟映赦嵌碰粟拔侦朝高等数学复习(三重积分)高等数学复习(三重积分),【2】计算三重积分 其中 是由球面,和平面 所确定的闭区域。,分析 由于积分区域 是由两个球面及平面所围成的球壳体，故,本题利用球面坐标计算，即框图中线路2的方法计算比较简单。,解：积分区域 的图形如图。,在球面坐标系下,故有,捕蝉林绍扁裹琐袍叶石穗代爪虱斌吃绦书岗导有佃梨汝眠些赚暮椽阅孕前高等数学复习(三重积分)高等数学复习(三重积分),【3】 计算三重积分 。其中是 两个球体,及 的公共部分。,分析 由于 在 平面上的投影区域为圆域（如图），且,的边界曲面是球面，故很容易联想到用球面坐标和柱面坐标,计算，即框图中线路2和线路112的计算方法。但由于被积,函数 而 的截面面积 又非常容易求, 因此，,又满足框图中线路3的条件，故亦可用“先二后一”法来求解。,解法1：利用球面坐标计算。,用圆锥面 将 分成两部分,其中,肉槐宏栏趁喊陕鸥刘誓猖浦酌尸髓颗札点滤陪赫佰衣社凄铡训篡点夫椿评高等数学复习(三重积分)高等数学复习(三重积分),于是，得,解法2：利用柱面坐标计算。,由于 在 平面的投影区域,；,故在柱面坐标下，,煮恨革晓均聪佐誊析疲信赔右歧恨驱斑数滁配御甚弛沙罢创桃淖秸厢氦豌高等数学复习(三重积分)高等数学复习(三重积分),于是有,经每讳抨抉刁屋枪幽毋排和掸视否榴给披稻曰袄疡枯砚忠萧护尔摇返病茄高等数学复习(三重积分)高等数学复习(三重积分),解法3：用“先二后一”法计算。,用平面 将积分区域 划分为两部分： ，其中,于是，得,注：从上面三种解法的计算过程中不难发现，虽然此题可用,三种方法来求解， 但其中的“先二后一”法最为简便。,兰祟耻底锰舜魄承果七舱瓢巫超滇涪途联帧抢看理禁浪脏砖柳琉绦惭拧码高等数学复习(三重积分)高等数学复习(三重积分),【1】计算三重积分 。其中 为：,分析 由于被积函数中含有绝对值，所以应首先考虑如何去掉,绝对值注意到积分区域 关于三个坐标面均对称，同时被积,可将所求的三重积分简化为如下积分,其中 为 在第一卦限内的区域。而积分 可在直角,函数 关于 都为偶函数，故由三重积分的对称性结论，,坐标系下采用先对 后对 的,“先二后一” 的方法计算。,探索提高,灌路铸哦痉厚剁须遁诽态琼屹克诈吓乌凄帽鸣电统寿他嘶锦玄超侈韭签换高等数学复习(三重积分)高等数学复习(三重积分),注：若本题用球面坐标法计算，尽管积分限很简单，但被积,函数的积分却不易求得。,【2】,计算,其中,是由曲线,绕,轴旋转一周所成的曲面与平面,所围成的闭区域.,馏吃樊箕蹈晋颗逗匀无汪情乃丘协饯撂侮漠显卓卧十豌莫帘驾旁季卞扑发高等数学复习(三重积分)高等数学复习(三重积分),