教育专题：125数学归纳法 (2)

第,5,课时,数学归纳法,(,理科,),(,一,),考纲点击,1,了,解数学归纳法的原理；,2,能用数学归纳法证明一些简单的数学命题,(,二,),命题趋势,1,从,考查内容看，本考点主要考查数学归纳法的原理和证题步骤，一般不单独命题,2,从考查形式看，题型一般为解答题，常与不等式、数列等结合在一起命题，难度中上，考查归纳,猜想,证明的推理证明方法,数学归纳法,一,般地，证明一个与正整数,n,有关的命题，可按下列步骤进行：,(1)(,归纳奠基,),证明当,n,时命题成立；,(2)(,归纳递推,),假设,n,k,(,k,n,0,，,k,N,*,),时命题成立，证明当,时命题也成立,取第一个值,n,0,(,n,0,N,*,),n,k,1,只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从,n,0,开始的所有正整数,n,都成立上述证明方法叫做数学归纳法,解析：,因为假设,n,k,(,k,2,且,k,为偶数,),，故下一个偶数为,k,2,，故选,B.,答案：,B,1,数学归纳法的应用,(1),数学归纳法是一种只适用于与正整数有关的命题的证明方法，它们的表述严格而且规范，两个步骤缺一不可第一步是递推的基础，验算,n,n,0,的,n,0,不一定为,1,，而是根据题目要求，选择合适的起始值第二步是递推的依据，第二步中，归纳假设起着,“,已知条件,”,的作用，在,n,k,1,时一定要运用它，否则就不是数学归纳法第二步的关键是,“,一凑假设，二凑结论,”,(2),在用数学归纳法证明问题的过程中，要注意从,k,到,k,1,时命题中的项与项数的变化，防止对项数估算错误,2,归纳,猜想,证明属于探索性问题的一种，一般经过计算、观察、归纳，然后猜想出结论，再用数学归纳法证明由于,“,猜想,”,是,“,证明,”,的前提和,“,对象,”,，务必保证猜想的正确性，同时必须注意数学归纳法步骤的书写,当,n,k,1,时结论仍然成立,由,(1)(2),可知：,f,(1),f,(2),f,(,n,1),n,f,(,n,),1(,n,2,，,n,N,*,),【,归纳提升,】,(1),用数学归纳法证明等式问题是常见题型，其关键点在于弄清等式两边的构成规律，等式两边各有多少项，初始值,n,0,是几；,(2),由,n,k,到,n,k,1,时，除等式两边变化的项外还要充分利用,n,k,时的式子即充分利用假设，正确写出归纳证明的步骤，从而使问题得以证明,【,归纳提升,】,1.,用数学归纳法证明与,n,有关的不等式一般有两种具体形式：一是直接给出不等式，按要求进行证明；二是给出两个式子，按要求比较它们的大小，对第二类形式往往要先对,n,取前几个值的情况分别验证比较，以免出现判断失误，最后猜出从某个,n,值开始都成立的结论，常用数学归纳法证明,2,用数学归纳法证明不等式的关键是由,n,k,时成立得,n,k,1,时成立，主要方法有：,(1),放缩法；,(2),利用基本不等式法；,(3),作差比较法等,【,归纳提升,】,“,归纳,猜想,证明,”,的模式，是不完全归纳法与数学归纳法综合应用的解题模式其一般思路是：通过观察有限个特例，猜想出一般性的结论，然后用数学归纳法证明这种方法在解决探索性问题、存在性问题或与正整数有关的命题中有着广泛的应用其关键是归纳、猜想出公式,易错易混：数学归纳法证明命题中的易误点,【,典例,】,(2014,九江模拟,),设,数列,a,n,的前,n,项和为,S,n,，并且满足,2,S,n,a,n,，,a,n,0(,n,N,*,),猜想,a,n,的通项公式，并用数学归纳法加以证明,点击进入,专项训练,